登录
17.若$\sqrt{a+1}+(b+1)^2+\sqrt{(c-2)^2}=0$，求$a^2+b^2+c^3$的值.
答案
17. 10
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解，我们学过的算术平方根、完全平方数、绝对值都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。首先识别题中三个项的非负属性：$\sqrt{a+1}$是算术平方根，结果非负；$(b+1)^2$是完全平方数，结果非负；$\sqrt{(c-2)^2}$化简后是绝对值，结果非负。据此列出关于a、b、c的等式，分别求出三者的值，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}\sqrt{a+1}=0 \\(b+1)^2=0 \\\sqrt{(c-2)^2}=0\end{cases}$
分别化简得：
$\begin{cases}a+1=0 \\b+1=0 \\c-2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-1 \\b=-1 \\c=2\end{cases}$
将a、b、c的值代入$a^2+b^2+c^3$得：
原式$=(-1)^2+(-1)^2+2^3=1+1+8=10$
【答案】
10
【知识点】
非负数的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的核心是掌握非负数的性质，熟记常见的三类非负数（算术平方根、偶次幂、绝对值），求出未知数后代入计算即可，注意计算乘方时符号的处理，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解，我们学过的算术平方根、完全平方数、绝对值都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。首先识别题中三个项的非负属性：$\sqrt{a+1}$是算术平方根，结果非负；$(b+1)^2$是完全平方数，结果非负；$\sqrt{(c-2)^2}$化简后是绝对值，结果非负。据此列出关于a、b、c的等式，分别求出三者的值，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}\sqrt{a+1}=0 \\(b+1)^2=0 \\\sqrt{(c-2)^2}=0\end{cases}$
分别化简得：
$\begin{cases}a+1=0 \\b+1=0 \\c-2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-1 \\b=-1 \\c=2\end{cases}$
将a、b、c的值代入$a^2+b^2+c^3$得：
原式$=(-1)^2+(-1)^2+2^3=1+1+8=10$
【答案】
10
【知识点】
非负数的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的核心是掌握非负数的性质，熟记常见的三类非负数（算术平方根、偶次幂、绝对值），求出未知数后代入计算即可，注意计算乘方时符号的处理，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
18.若$|2 - a| + \sqrt{a - 3} = a$，利用二次根式有意义的条件求$a$的值.
答案
18. 7
解析
【分析】
解题时首先要利用二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号；最后将化简后的式子代入原方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，可得被开方数$a-3≥0$，解得$a≥3$。
第二步：由$a≥3$，可知$2-a＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|2-a|=a-2$。
第三步：将$|2-a|=a-2$代入原方程，得：
$a-2 + \sqrt{a-3} = a$
移项化简得：
$\sqrt{a-3}=2$
两边同时平方，得：
$a-3=4$
解得$a=7$。
检验：当$a=7$时，$a-3=4≥0$，符合二次根式有意义的条件，因此$a=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；解无理方程
【点评】
本题的核心是挖掘二次根式有意义的隐含条件，先确定参数的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子，进而求解方程，解题时要注意最后验证结果是否符合隐含的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号；最后将化简后的式子代入原方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，可得被开方数$a-3≥0$，解得$a≥3$。
第二步：由$a≥3$，可知$2-a＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|2-a|=a-2$。
第三步：将$|2-a|=a-2$代入原方程，得：
$a-2 + \sqrt{a-3} = a$
移项化简得：
$\sqrt{a-3}=2$
两边同时平方，得：
$a-3=4$
解得$a=7$。
检验：当$a=7$时，$a-3=4≥0$，符合二次根式有意义的条件，因此$a=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；解无理方程
【点评】
本题的核心是挖掘二次根式有意义的隐含条件，先确定参数的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子，进而求解方程，解题时要注意最后验证结果是否符合隐含的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
19. 利用二次根式有意义的条件求$\sqrt{a - 4} - \sqrt{9 - 2a} + \sqrt{4 - a} - \sqrt{a^2}$的值.
答案
$-5$
解析
【分析】
要计算该代数式的值，首先需根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）确定字母a的取值：观察式中$\sqrt{a-4}$和$\sqrt{4-a}$的被开方数互为相反数，二者同时非负的唯一可能是均等于0，即可直接求出a的值，再将a代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
要使原式中所有二次根式有意义，需满足各被开方数非负：
$\begin{cases}a-4≥0 \\4-a≥0 \\9-2a≥0 \\a^2≥0\end{cases}$
解不等式$a-4≥0$得$a≥4$，解不等式$4-a≥0$得$a≤4$，因此$a=4$，且$a=4$满足$9-2a=1≥0$、$a^2=16≥0$，符合要求。
将$a=4$代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{4-4}-\sqrt{9-2×4}+\sqrt{4-4}-\sqrt{4^2} \\&=0-\sqrt{1}+0-\sqrt{16} \\&=0-1+0-4 \\&=-5\end{aligned}$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题型，解题核心是牢牢把握二次根式被开方数为非负数的性质，通过多个限制条件确定未知数的唯一取值，再代入计算即可，难度不大，重在对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
要计算该代数式的值，首先需根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）确定字母a的取值：观察式中$\sqrt{a-4}$和$\sqrt{4-a}$的被开方数互为相反数，二者同时非负的唯一可能是均等于0，即可直接求出a的值，再将a代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
要使原式中所有二次根式有意义，需满足各被开方数非负：
$\begin{cases}a-4≥0 \\4-a≥0 \\9-2a≥0 \\a^2≥0\end{cases}$
解不等式$a-4≥0$得$a≥4$，解不等式$4-a≥0$得$a≤4$，因此$a=4$，且$a=4$满足$9-2a=1≥0$、$a^2=16≥0$，符合要求。
将$a=4$代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{4-4}-\sqrt{9-2×4}+\sqrt{4-4}-\sqrt{4^2} \\&=0-\sqrt{1}+0-\sqrt{16} \\&=0-1+0-4 \\&=-5\end{aligned}$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题型，解题核心是牢牢把握二次根式被开方数为非负数的性质，通过多个限制条件确定未知数的唯一取值，再代入计算即可，难度不大，重在对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
20.已知$x＜1$，化简$\sqrt{x^2 - 2x +1}$。
答案
提示:原式 $=\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$；由于 $x ＜ 1$，$\therefore |x-1|=-x+1$。
解析
【分析】
拿到这道二次根式化简题，我们可以按三步思考：第一步先观察根号内的整式，$x^2-2x+1$符合完全平方公式的结构，先利用完全平方公式对根号内的式子因式分解；第二步回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值形式；第三步结合题目给出的$x＜1$的条件，判断绝对值内的$x-1$的正负性，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：先对根号内的多项式因式分解：
$\sqrt{x^2 - 2x +1} = \sqrt{(x-1)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），可得：
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
已知$x＜1$，因此$x-1＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得：
$|x-1|=-(x-1)=1-x$
【答案】
$1-x$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的核心是明确二次根式的化简结果为非负数，开方后要先转化为绝对值形式，再结合给定的取值范围判断符号后去绝对值，避免未判断符号直接开方出现错误。
【难度系数】
0.8
拿到这道二次根式化简题，我们可以按三步思考：第一步先观察根号内的整式，$x^2-2x+1$符合完全平方公式的结构，先利用完全平方公式对根号内的式子因式分解；第二步回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值形式；第三步结合题目给出的$x＜1$的条件，判断绝对值内的$x-1$的正负性，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：先对根号内的多项式因式分解：
$\sqrt{x^2 - 2x +1} = \sqrt{(x-1)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），可得：
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
已知$x＜1$，因此$x-1＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得：
$|x-1|=-(x-1)=1-x$
【答案】
$1-x$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的核心是明确二次根式的化简结果为非负数，开方后要先转化为绝对值形式，再结合给定的取值范围判断符号后去绝对值，避免未判断符号直接开方出现错误。
【难度系数】
0.8
21. 实数$a,b,c$在数轴上的位置如图1-1-2，化简$\sqrt{(a-b)^2} + |-b| - \sqrt{(c-a)^2}$.
答案
$-2a + 2b + c$
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式；再结合数轴上$a,b,c$的位置，判断各绝对值内代数式的正负性；之后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，因此可得：
$a-b＜0$，$-b＜0$，$c-a＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a-b| + |-b| - |c-a|\\&=(b-a) + b - (a-c)\\&=b - a + b - a + c\\&=-2a + 2b + c\end{aligned}$
【答案】
$-2a + 2b + c$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，将二次根式的性质与绝对值、数轴知识点结合考察，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，准确判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并计算，注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式；再结合数轴上$a,b,c$的位置，判断各绝对值内代数式的正负性；之后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，因此可得：
$a-b＜0$，$-b＜0$，$c-a＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a-b| + |-b| - |c-a|\\&=(b-a) + b - (a-c)\\&=b - a + b - a + c\\&=-2a + 2b + c\end{aligned}$
【答案】
$-2a + 2b + c$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，将二次根式的性质与绝对值、数轴知识点结合考察，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，准确判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并计算，注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.7
22.阅读下面的内容,回答后续问题.
题目: "已知 $ a + \sqrt{1 - 6a + 9a^2} $，其中 $ a = 5 $. 请你先化简,再求值."
甲的解答是:
原式$ = a + \sqrt{(1 - 3a)^2} = a + 1 - 3a $
$ = 1 - 2a = 1 - 2 × 5 = -9 $.
乙的解答是:
原式$ = a + \sqrt{(1 - 3a)^2} = a + 3a - 1 $
$ = 4a - 1 = 4 × 5 - 1 = 19 $.
(1) 你认为解答错误的是 . (填"甲"或"乙")
(2) 解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质: .
(3) 请你先化简,再求值:
$ |1 - a| + \sqrt{1 - 8a + 16a^2} $，其中 $ a = 2 $.
题目: "已知 $ a + \sqrt{1 - 6a + 9a^2} $，其中 $ a = 5 $. 请你先化简,再求值."
甲的解答是:
原式$ = a + \sqrt{(1 - 3a)^2} = a + 1 - 3a $
$ = 1 - 2a = 1 - 2 × 5 = -9 $.
乙的解答是:
原式$ = a + \sqrt{(1 - 3a)^2} = a + 3a - 1 $
$ = 4a - 1 = 4 × 5 - 1 = 19 $.
(1) 你认为解答错误的是 . (填"甲"或"乙")
(2) 解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质: .
(3) 请你先化简,再求值:
$ |1 - a| + \sqrt{1 - 8a + 16a^2} $，其中 $ a = 2 $.
答案
22. (1) 甲. (2)$\sqrt{a^2} = |a|$. (3)$5a-2;8$.
解析
【分析】
解题时首先明确二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，去根号时需先判断根号内完全平方式的底数的正负，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号。(1)问先代入$a=5$判断$1-3a$的正负，即可判断甲乙对错；(2)问对应二次根式的性质即可；(3)问先将根号内的多项式因式分解为完全平方形式，转化为绝对值，再代入$a=2$判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后化简代值计算即可。
【解析】
(1) 当$a=5$时，$1-3a=1-15=-14＜0$，根据二次根式性质$\sqrt{(1-3a)^2}=|1-3a|=3a-1$，甲直接将$\sqrt{(1-3a)^2}$化简为$1-3a$，不符合性质，故解答错误的是甲。
(2) 错误原因是未能正确运用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$）。
(3) 先化简：
$\sqrt{1-8a+16a^2}=\sqrt{(1-4a)^2}=|1-4a|$，
故原式$=|1-a|+|1-4a|$。
当$a=2$时，$1-a=1-2=-1＜0$，$1-4a=1-8=-7＜0$，
去绝对值得：
$|1-a|=a-1$，$|1-4a|=4a-1$，
则原式$=(a-1)+(4a-1)=5a-2$，
代入$a=2$得：$5×2-2=8$。
【答案】
(1) 甲
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$
(3) 化简结果为$5a-2$，求值结果为$8$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题重点考查二次根式的化简计算，易错点是去二次根号时忽略判断底数的正负，直接去掉根号导致符号错误。解题时要牢记二次根式的非负性，先将根号下的完全平方式转化为绝对值，再判断符号后化简即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，去根号时需先判断根号内完全平方式的底数的正负，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号。(1)问先代入$a=5$判断$1-3a$的正负，即可判断甲乙对错；(2)问对应二次根式的性质即可；(3)问先将根号内的多项式因式分解为完全平方形式，转化为绝对值，再代入$a=2$判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后化简代值计算即可。
【解析】
(1) 当$a=5$时，$1-3a=1-15=-14＜0$，根据二次根式性质$\sqrt{(1-3a)^2}=|1-3a|=3a-1$，甲直接将$\sqrt{(1-3a)^2}$化简为$1-3a$，不符合性质，故解答错误的是甲。
(2) 错误原因是未能正确运用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$）。
(3) 先化简：
$\sqrt{1-8a+16a^2}=\sqrt{(1-4a)^2}=|1-4a|$，
故原式$=|1-a|+|1-4a|$。
当$a=2$时，$1-a=1-2=-1＜0$，$1-4a=1-8=-7＜0$，
去绝对值得：
$|1-a|=a-1$，$|1-4a|=4a-1$，
则原式$=(a-1)+(4a-1)=5a-2$，
代入$a=2$得：$5×2-2=8$。
【答案】
(1) 甲
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$
(3) 化简结果为$5a-2$，求值结果为$8$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题重点考查二次根式的化简计算，易错点是去二次根号时忽略判断底数的正负，直接去掉根号导致符号错误。解题时要牢记二次根式的非负性，先将根号下的完全平方式转化为绝对值，再判断符号后化简即可。
【难度系数】
0.7
