3. 如图8,在平面直角坐标系中,点A的坐标是$(20,0)$,点B的坐标是$(16,0)$,点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,求点C的坐标.

3. $\because$四边形OCDB是平行四边形,$B(16,0),\therefore CD// OA,CD=OB=16$. 如图,
过点M作$MF⊥ CD$于点F,则$CF=\frac{1}{2}CD=8$. 过点C作$CE⊥ OA$于点E,$\because MF⊥ CD,CD// OB,\therefore MF⊥ OB,\therefore ∠ CFM=∠ EMF=90°$,$\therefore$四边形CEMF是矩形.
$\because A(20,0),\therefore OE=OM-ME=OM-CF=10-8=2$. 连接MC,则$MC=\frac{1}{2}OA=10$.
在Rt△CMF中,由勾股定理得$MF=\sqrt{MC^2-CF^2}=6$,$\therefore$点C的坐标为$(2,6)$.

【分析】
要推导点C的坐标，我们可以按以下思路分析：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到CD与OB的长度关系、CD与OA的位置关系；其次结合CD是半圆M的弦，利用垂径定理，过圆心M作CD的垂线，可得到弦CD一半的长度；再通过作x轴的垂线构造矩形，完成线段的转化，求出点C的横坐标；最后连接半径构造直角三角形，用勾股定理求出点C的纵坐标，即可得到C点坐标。
【解析】
∵四边形OCDB是平行四边形，$B(16,0)$，
∴$CD// OA$，$CD=OB=16$。
如图，过点M作$MF⊥ CD$于点F，由垂径定理得$CF=\frac{1}{2}CD=8$。
过点C作$CE⊥ OA$于点E，
∵$MF⊥ CD$，$CD// OB$，
∴$MF⊥ OB$，
∴$∠ CFM=∠ EMF=∠ CEM=90°$，
∴四边形CEMF是矩形，$\therefore ME=CF=8$。
∵$A(20,0)$，OA为半圆M的直径，
∴半圆M的半径$MC=OM=\frac{1}{2}OA=10$，
∴点C的横坐标$OE=OM-ME=10-8=2$。
在$\mathrm{Rt}△ CMF$中，由勾股定理得：
$MF=\sqrt{MC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∴点C的纵坐标为6。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$
【知识点】
平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了平行四边形、圆、直角三角形的相关性质，解题的核心是合理构造辅助线，借助垂径定理和矩形的性质完成线段的转化，进而求出点的坐标。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 如果两个圆心角相等，那么()

A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对

1. D

【分析】
我们首先回忆圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距才分别相等。解题时先明确题目给出的条件，本题仅说明两个圆心角相等，未提及它们所在的圆是否为同圆或等圆，所以需要逐个判断选项：如果两个圆半径不相等，即使圆心角相等，对应的弦长、弧长、弦心距都不会相等，因此A、B、C三个选项的说法都缺少成立前提，无法成立，最终选D。
【解析】
解：圆心角、弧、弦、弦心距的相等关系成立的前提是同圆或等圆。
本题仅给出两个圆心角相等，没有说明两个圆心角所在的圆是同圆或等圆：
若两圆半径不同，相等的圆心角所对的弦长度不相等，故A错误；
若两圆半径不同，相等的圆心角所对的弧长度不相等，故B错误；
若两圆半径不同，相等的圆心角所对的弦的弦心距也不相等，故C错误。
因此A、B、C说法均错误，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆心角定理
2. 弧与圆心角的关系
3. 弦与圆心角的关系
【点评】
本题是易错题，核心考查圆心角相关性质的适用前提，解题时很容易忽略“同圆或等圆”这个必要条件，误选A、B、C选项，学习定理时要牢记其成立的前提条件，避免粗心失分。
【难度系数】
0.6

2. 如图1,在$\odot O$中,如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,那么()

A.$AB=AC$
B.$AB=2AC$
C.$AB＜2AC$
D.$AB＞2AC$

2. C

【分析】
拿到这道题，首先要避免走入“弧的倍数关系等于对应弦的倍数关系”的误区。解题思路如下：第一步，我们可以通过取弧的中点，将2倍的$\overset{\frown}{AB}$拆分为两段和$\overset{\frown}{AC}$相等的弧；第二步，利用同圆中等弧对等弦的性质，得到相等的弦；第三步，将相关弦放入同一个三角形中，借助三角形三边关系比较$AB$和$2AC$的大小。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连接$AD$、$BD$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，且$D$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$。
∵在同圆中，等弧对应的弦相等，
∴$AD=BD=AC$。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$。
将$AD=BD=AC$代入上式，得$AC+AC＞AB$，即$AB＜2AC$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同圆中弧弦对应关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是圆的基本性质的常见题型，易错点是直接认为弧的倍数关系等价于弦的倍数关系。解题的关键是通过构造弧的中点，将弧的数量关系转化为弦的数量关系，再结合三角形三边关系求解，能很好地考查对圆的核心性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

3. 如图2，$\odot O$的半径是10 cm，$∠ AOB=120°$，那么圆心O到弦AB的距离是()



A.5 cm
B.$5\sqrt{3}$ cm
C.$10\sqrt{3}$ cm
D.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$ cm

3. A

【分析】
要求圆心到弦的距离，首先作辅助线：过O作OC⊥AB于C，OC即为所求的距离。已知OA、OB都是圆的半径，因此△AOB是等腰三角形，结合顶角∠AOB=120°可算出底角度数，再利用直角三角形中30°角的性质即可求出OC的长度，是这类弦心距计算的常规思路。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，OC就是圆心O到弦AB的距离。
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为10cm，
∴ $OA=OB=10\mathrm{cm}$，$△ AOB$为等腰三角形。
∵ $∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAC=\frac{180°-∠ AOB}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$Rt△ AOC$中，$∠ ACO=90°$，$∠ OAC=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦心距计算的基础题型，解题核心是作弦心距构造直角三角形，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，属于需要熟练掌握的常规考点。
【难度系数】
0.8

4. 等于半径的弦所对的圆心角等于()

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

4. C

【分析】
我们可以通过构造辅助线求解：首先连接圆心和弦的两个端点，这两条连线都是圆的半径，题目明确弦长等于半径，因此构造出的三角形三条边长度相等，属于等边三角形，再利用等边三角形的内角性质就能求出对应圆心角的度数。
【解析】
设该圆的半径为r，由题意可知弦的长度等于半径，即弦长也为r。
分别连接圆心与弦的两个端点，得到一个三角形，该三角形的三条边长分别为r、r、r，因此这个三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角均为60°，因此这条等于半径的弦所对的圆心角为60°。
【答案】
C
【知识点】
圆心角的定义；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是通过连接圆心和弦的端点构造出特殊三角形，结合等边三角形的性质即可快速求解，思路较为直接。
【难度系数】
0.8

5. 已知AB,CD是两个不同圆的弦,如AB=CD,那么$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的关系是()

A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AB}＞\overset{\frown}{CD}$
C.$\overset{\frown}{AB}＜\overset{\frown}{CD}$
D.不能确定

5. D

【分析】
解题时首先回忆弧、弦的关系定理：该定理成立的前提是在同圆或等圆中，只有满足这个前提，相等的弦所对应的弧才相等。本题明确说明AB、CD是两个不同圆的弦，缺少“同圆或等圆”的前提条件，此时即使弦长相等，由于两个圆的半径不确定，对应的弧长也无法比较大小，因此不能确定两段弧的关系。
【解析】
弧、弦的对应相等关系有明确的适用前提：必须在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆里，相等的弦所对的优弧、劣弧才分别相等。
本题中AB和CD属于两个不同圆的弦，两个圆的半径不一定相等，虽然弦长AB=CD，但两段弧所在圆的半径、对应圆心角都无法确定，因此无法比较$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$的大小关系。
【答案】
D
【知识点】
1. 弧与弦的关系
2. 弧长的影响因素
【点评】
本题属于易错题，核心考查对弧弦关系定理适用前提的掌握，做题时要注意不要忽略“同圆或等圆”这个关键前提条件，避免直接根据弦相等就判定弧相等。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 如图3，AB，CD是$\odot O$的两条弦.
（1）如果$AB=CD$，那么 = ， = ；
（2）如果$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，那么 = ， = ；
（3）如果$∠ AOB=∠ COD$，那么 = ， = .

1. (1) ∠AOB, ∠COD, $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{CD}$ (2) ∠AOB, ∠COD, AB, CD (3) $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{CD}$, AB, CD

【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦三者的关系定理，解题时先回忆定理核心内容：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中，只要有一组量相等，它们对应的其余各组量也分别相等。接下来结合每个小问的已知条件推导即可：（1）已知弦相等，可推对应圆心角、对应弧相等；（2）已知弧相等，可推对应圆心角、对应弦相等；（3）已知圆心角相等，可推对应弧、对应弦相等。
【解析】
根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理：
（1）若弦$AB=CD$，则二者所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，二者所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
（2）若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，则二者所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，二者所对的弦相等，即$AB=CD$；
（3）若$∠ AOB=∠ COD$，则二者所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，二者所对的弦相等，即$AB=CD$。
【答案】
1. (1) $∠ AOB$, $∠ COD$, $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{CD}$ (2) $∠ AOB$, $∠ COD$, $AB$, $CD$ (3) $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{CD}$, $AB$, $CD$
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是基础概念类题型，直接考查同圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系，熟练掌握相关定理即可快速作答，是圆的基本性质模块的常见基础考点。
【难度系数】
0.9