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【例2】探究二次函数 $y=2(x-3)^2-1$ 及其图象的性质,请填空:
(1)图象的开口方向是________;
(2)图象的对称轴为直线________;
(3)图象与$y$轴的交点坐标为________;
(4)当$x=\_\_\_\_\_\_$时,函数$y$有最小值,最小值为________.
规律总结 (1)在二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 中,$a$决定抛物线的开口方向和开口大小,$h,k$决定抛物线的位置.
(2)由于从 $y=a(x-h)^2+k$ 中可以直接看出抛物线的顶点坐标$(h,k)$,所以通常把表达式 $y=a(x-h)^2+k$ 叫作二次函数的顶点式.
(1)图象的开口方向是________;
(2)图象的对称轴为直线________;
(3)图象与$y$轴的交点坐标为________;
(4)当$x=\_\_\_\_\_\_$时,函数$y$有最小值,最小值为________.
规律总结 (1)在二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 中,$a$决定抛物线的开口方向和开口大小,$h,k$决定抛物线的位置.
(2)由于从 $y=a(x-h)^2+k$ 中可以直接看出抛物线的顶点坐标$(h,k)$,所以通常把表达式 $y=a(x-h)^2+k$ 叫作二次函数的顶点式.
答案
(1) 向上
(2) $x=3$
(3) $(0,17)$
(4) 3 $-1$
(2) $x=3$
(3) $(0,17)$
(4) 3 $-1$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：①$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点为函数最小值点，开口向下时顶点为最大值点；③求函数与y轴交点时，令$x=0$代入表达式计算y的值即可得到交点坐标。按照这个思路逐小问求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=2(x-3)^2-1$中$a=2＞0$，因此图象开口方向向上；
(2) 根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h$，此处$h=3$，因此对称轴为直线$x=3$；
(3) 求图象与y轴的交点，令$x=0$，代入表达式得：
$y=2×(0-3)^2 -1 = 2×9 -1 = 17$，因此交点坐标为$(0,17)$；
(4) 由于图象开口向上，顶点为函数的最小值点，顶点横坐标为$h=3$，纵坐标为$k=-1$，因此当$x=3$时，函数y有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) 向上
(2) $x=3$
(3) $(0,17)$
(4) $3$；$-1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数与图象性质的对应关系，只要熟练掌握顶点式的相关规律，即可快速作答，计算与y轴交点时要注意代入求值的准确性。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：①$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点为函数最小值点，开口向下时顶点为最大值点；③求函数与y轴交点时，令$x=0$代入表达式计算y的值即可得到交点坐标。按照这个思路逐小问求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=2(x-3)^2-1$中$a=2＞0$，因此图象开口方向向上；
(2) 根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h$，此处$h=3$，因此对称轴为直线$x=3$；
(3) 求图象与y轴的交点，令$x=0$，代入表达式得：
$y=2×(0-3)^2 -1 = 2×9 -1 = 17$，因此交点坐标为$(0,17)$；
(4) 由于图象开口向上，顶点为函数的最小值点，顶点横坐标为$h=3$，纵坐标为$k=-1$，因此当$x=3$时，函数y有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) 向上
(2) $x=3$
(3) $(0,17)$
(4) $3$；$-1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数与图象性质的对应关系，只要熟练掌握顶点式的相关规律，即可快速作答，计算与y轴交点时要注意代入求值的准确性。
【难度系数】
0.9
【变式1】已知抛物线$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.顶点坐标是$(3,\frac{1}{2})$
D.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.顶点坐标是$(3,\frac{1}{2})$
D.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
C
解析
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，解题时需先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-1$，$h=3$，$k=\frac{1}{2}$：
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=3$，不是$x=-3$，B错误；
3. 判断选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,\frac{1}{2})$，C正确；
4. 判断选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为$x=3$，$\therefore$当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，$x＜-3$属于$x＜3$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是准确掌握顶点式中各参数对应的图象特征，避免混淆对称轴的符号。
【难度系数】
0.8
本题给出的是二次函数的顶点式，解题时需先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+\frac{1}{2}$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-1$，$h=3$，$k=\frac{1}{2}$：
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=3$，不是$x=-3$，B错误；
3. 判断选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,\frac{1}{2})$，C正确；
4. 判断选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为$x=3$，$\therefore$当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，$x＜-3$属于$x＜3$的范围，此时$y$随$x$的增大而增大，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是准确掌握顶点式中各参数对应的图象特征，避免混淆对称轴的符号。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2025新余月考)已知点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在抛物线$y=-(x+1)^2+3$上，则$y_2,y_1,3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜3$
。答案
$y_2＜y_1＜3$
解析
【分析】
要比较抛物线上点的函数值大小，有两种常用思路：①直接将各点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应函数值后比较大小；②先分析抛物线的开口方向、对称轴，利用二次函数的增减性判断大小。本题抛物线为顶点式，两种方法都适用，计算难度较低。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-(x+1)^2+3$，得：
$y_1=-(1+1)^2+3=-4+3=-1$
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y_2=-(2+1)^2+3=-9+3=-6$
$\because -6 ＜ -1 ＜ 3$
$\therefore y_2 ＜ y_1 ＜ 3$
方法二：利用二次函数性质判断
由抛物线解析式$y=-(x+1)^2+3$可知：
$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$，即当$x=-1$时，$y$取最大值3。
抛物线开口向下时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，
$\because 1＜2$，且1、2都在对称轴$x=-1$的右侧，
$\therefore y_1 ＞ y_2$，且$y_1、y_2$都小于最大值3，
$\therefore y_2 ＜ y_1 ＜ 3$
【答案】
$y_2＜y_1＜3$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数值比较
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的增减性和最值性质判断，熟练掌握二次函数顶点式的相关性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上点的函数值大小，有两种常用思路：①直接将各点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应函数值后比较大小；②先分析抛物线的开口方向、对称轴，利用二次函数的增减性判断大小。本题抛物线为顶点式，两种方法都适用，计算难度较低。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-(x+1)^2+3$，得：
$y_1=-(1+1)^2+3=-4+3=-1$
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y_2=-(2+1)^2+3=-9+3=-6$
$\because -6 ＜ -1 ＜ 3$
$\therefore y_2 ＜ y_1 ＜ 3$
方法二：利用二次函数性质判断
由抛物线解析式$y=-(x+1)^2+3$可知：
$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$，即当$x=-1$时，$y$取最大值3。
抛物线开口向下时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，
$\because 1＜2$，且1、2都在对称轴$x=-1$的右侧，
$\therefore y_1 ＞ y_2$，且$y_1、y_2$都小于最大值3，
$\therefore y_2 ＜ y_1 ＜ 3$
【答案】
$y_2＜y_1＜3$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数值比较
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的增减性和最值性质判断，熟练掌握二次函数顶点式的相关性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
1. (2025长沙期末)函数 $y=-3(x-2)^2 -4$ 的图象的顶点坐标是 （
A.$(3,4)$
B.$(-2,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,-4)$
D
）A.$(3,4)$
B.$(-2,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,-4)$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干中的函数与标准顶点式对照，找准对应参数的取值，注意参数的符号不要判断错误，最后得出顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下函数图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干函数$y=-3(x-2)^2 -4$与顶点式对照可得：$h=2$，$k=-4$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题时需重点注意顶点式中$h$、$k$的符号，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，再将题干中的函数与标准顶点式对照，找准对应参数的取值，注意参数的符号不要判断错误，最后得出顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下函数图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干函数$y=-3(x-2)^2 -4$与顶点式对照可得：$h=2$，$k=-4$，因此该函数图象的顶点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题时需重点注意顶点式中$h$、$k$的符号，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.9
2. 下列二次函数中，图象以直线 $ x=2 $ 为对称轴，且经过点(0,1)的是 (
A.$ y=(x-2)^2 +1 $
B.$ y=(x+2)^2 +1 $
C.$ y=(x-2)^2 -3 $
D.$ y=(x+2)^2 -3 $
C
)A.$ y=(x-2)^2 +1 $
B.$ y=(x+2)^2 +1 $
C.$ y=(x-2)^2 -3 $
D.$ y=(x+2)^2 -3 $
答案
2. C
解析
【分析】
解题需同时满足两个条件：①图象对称轴为直线$x=2$；②函数图象经过点$(0,1)$。首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，先根据对称轴条件排除不符合的选项，再将点$(0,1)$代入剩余选项验证，即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其图象的对称轴为直线$x=h$。
1. 根据对称轴为$x=2$的条件筛选：
选项A：$h=2$，对称轴为$x=2$，符合要求；
选项B：$h=-2$，对称轴为$x=-2$，不符合，排除；
选项C：$h=2$，对称轴为$x=2$，符合要求；
选项D：$h=-2$，对称轴为$x=-2$，不符合，排除。
2. 将点$(0,1)$代入剩余的A、C选项验证：
代入A：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合要求，排除；
代入C：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合两个条件。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式中对称轴的识别方法，以及利用函数图象上的点验证解析式的方法，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需同时满足两个条件：①图象对称轴为直线$x=2$；②函数图象经过点$(0,1)$。首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，先根据对称轴条件排除不符合的选项，再将点$(0,1)$代入剩余选项验证，即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其图象的对称轴为直线$x=h$。
1. 根据对称轴为$x=2$的条件筛选：
选项A：$h=2$，对称轴为$x=2$，符合要求；
选项B：$h=-2$，对称轴为$x=-2$，不符合，排除；
选项C：$h=2$，对称轴为$x=2$，符合要求；
选项D：$h=-2$，对称轴为$x=-2$，不符合，排除。
2. 将点$(0,1)$代入剩余的A、C选项验证：
代入A：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合要求，排除；
代入C：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合两个条件。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式中对称轴的识别方法，以及利用函数图象上的点验证解析式的方法，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 把抛物线$y=(x+2)^2$向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（
A.$y=(x+3)^2 -2$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x+3)^2 +2$
D.$y=(x+1)^2 -2$
D
）A.$y=(x+3)^2 -2$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x+3)^2 +2$
D.$y=(x+1)^2 -2$
答案
3. D
解析
【分析】
解决这道题需用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，按照题目给出的平移顺序逐步变换即可。首先要明确规则：“上加下减”是针对函数整体的数值变化，向下平移就在函数式末尾减平移单位；“左加右减”是针对自变量x的变化，向右平移就给x减平移单位，按先向下、再向右的顺序依次变换原抛物线表达式即可得到结果。
【解析】
原抛物线表达式为$y=(x+2)^2$。
1. 第一步向下平移2个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式后直接减2，可得：
$y=(x+2)^2 - 2$
2. 第二步向右平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将表达式中的$x$替换为$x-1$，可得：
$y=[(x-1)+2]^2 - 2$
化简后得到：$y=(x+1)^2 - 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数表达式变换
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题，牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，区分针对自变量和函数整体的操作，避免加减方向混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题需用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，按照题目给出的平移顺序逐步变换即可。首先要明确规则：“上加下减”是针对函数整体的数值变化，向下平移就在函数式末尾减平移单位；“左加右减”是针对自变量x的变化，向右平移就给x减平移单位，按先向下、再向右的顺序依次变换原抛物线表达式即可得到结果。
【解析】
原抛物线表达式为$y=(x+2)^2$。
1. 第一步向下平移2个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式后直接减2，可得：
$y=(x+2)^2 - 2$
2. 第二步向右平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将表达式中的$x$替换为$x-1$，可得：
$y=[(x-1)+2]^2 - 2$
化简后得到：$y=(x+1)^2 - 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数表达式变换
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题，牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，区分针对自变量和函数整体的操作，避免加减方向混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 关于抛物线 $y=(x-2)^2 -1$，下列说法中错误的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=2$
C.顶点坐标是 $(2,-1)$
D.当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=2$
C.顶点坐标是 $(2,-1)$
D.当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对选项找出错误的说法即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对应可得$a=1$，$h=2$，$k=-1$。
选项A：因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,-1)$，C说法正确，不符合题意；
选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，并非减小，D说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数增减性
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式各参数对应性质的掌握，熟练记忆开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对选项找出错误的说法即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对应可得$a=1$，$h=2$，$k=-1$。
选项A：因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,-1)$，C说法正确，不符合题意；
选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，并非减小，D说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；二次函数增减性
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式各参数对应性质的掌握，熟练记忆开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 二次函数 $y=-(x-6)^2+8$ 的最大值是
8
.答案
5. 8
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数的解析式形式，本题给出的是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为函数的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值。接下来对应本题的解析式找到$a$和$k$的值，即可直接得出最大值。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-6)^2+8$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-1＜0$，顶点坐标为$(6,8)$。
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，即最大值是$8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确二次项系数符号与开口方向、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察二次函数的解析式形式，本题给出的是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为函数的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值。接下来对应本题的解析式找到$a$和$k$的值，即可直接得出最大值。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-6)^2+8$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-1＜0$，顶点坐标为$(6,8)$。
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，即最大值是$8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确二次项系数符号与开口方向、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.将抛物线$y=(x+m)^2+5$向右平移3个单位长度后，对称轴是y轴，则m的值是
3
答案
6. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，先写出平移后的抛物线解析式；再结合顶点式二次函数的对称轴公式，利用“平移后对称轴是y轴（即直线x=0）”的条件列等式，即可求出m的值。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=(x+m)^2+5$，根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，将其向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x+m-3)^2+5$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=3-m$。
由题意，平移后对称轴是y轴，即$x=0$，因此可得：
$3-m=0$
解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的对称轴
【点评】
本题重点考查二次函数图象平移规律和顶点式的性质，熟练掌握“左加右减”的平移规则、熟记顶点式二次函数对称轴的求法是解题的关键，考查内容基础，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，先写出平移后的抛物线解析式；再结合顶点式二次函数的对称轴公式，利用“平移后对称轴是y轴（即直线x=0）”的条件列等式，即可求出m的值。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=(x+m)^2+5$，根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，将其向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=(x+m-3)^2+5$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=3-m$。
由题意，平移后对称轴是y轴，即$x=0$，因此可得：
$3-m=0$
解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的对称轴
【点评】
本题重点考查二次函数图象平移规律和顶点式的性质，熟练掌握“左加右减”的平移规则、熟记顶点式二次函数对称轴的求法是解题的关键，考查内容基础，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
7.已知函数$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$.
(1)函数图象的开口方向是________,对称轴是________,顶点坐标是________;
(2)当$x$ ______时,$y$随$x$的增大而减小;
(3)抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向左平移________个单位长度,再向上平移________个单位长度,就可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$.
(1)函数图象的开口方向是________,对称轴是________,顶点坐标是________;
(2)当$x$ ______时,$y$随$x$的增大而减小;
(3)抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向左平移________个单位长度,再向上平移________个单位长度,就可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$.
答案
7. (1) 向下 直线$x=-2$ $(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2 1
(2) $＞-2$
(3) 2 1
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质与图象平移规律，解题时先明确所给函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再结合各参数的含义逐一求解即可：(1)根据$a$的符号判断开口方向，直接由顶点式得对称轴和顶点坐标；(2)结合开口方向和对称轴判断函数的增减性；(3)根据二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规律求解平移距离。
【解析】
已知函数为二次函数顶点式$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=-\frac{1}{2}$，$h=-2$，$k=1$。
(1) 因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以函数图象开口向下；二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=-2$；顶点坐标为$(h,k)$，即$(-2,1)$。
(2) 开口向下的二次函数，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 二次函数图象平移规律为“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$变为$x+2$，说明向左平移了2个单位长度；函数整体加1，说明再向上平移了1个单位长度，即可得到目标抛物线。
【答案】
(1) 向下；直线$x=-2$；$(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2；1
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式中各参数的几何意义以及图象平移的规律，熟练掌握相关基础结论即可快速解题，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的相关性质与图象平移规律，解题时先明确所给函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再结合各参数的含义逐一求解即可：(1)根据$a$的符号判断开口方向，直接由顶点式得对称轴和顶点坐标；(2)结合开口方向和对称轴判断函数的增减性；(3)根据二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规律求解平移距离。
【解析】
已知函数为二次函数顶点式$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=-\frac{1}{2}$，$h=-2$，$k=1$。
(1) 因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以函数图象开口向下；二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=-2$；顶点坐标为$(h,k)$，即$(-2,1)$。
(2) 开口向下的二次函数，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 二次函数图象平移规律为“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”：抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$变为$x+2$，说明向左平移了2个单位长度；函数整体加1，说明再向上平移了1个单位长度，即可得到目标抛物线。
【答案】
(1) 向下；直线$x=-2$；$(-2,1)$
(2) $＞-2$
(3) 2；1
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式中各参数的几何意义以及图象平移的规律，熟练掌握相关基础结论即可快速解题，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.85
