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【例1】画出函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。怎样移动抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$就可以得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$？
方法技巧 二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象平移规律可总结为“上加下减”和“左加右减”，即向上平移时，$y$加上一个正数，向下平移时，$y$减去一个正数；向左平移时，$x$加上一个正数，向右平移时，$x$减去一个正数。
方法技巧 二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象平移规律可总结为“上加下减”和“左加右减”，即向上平移时，$y$加上一个正数，向下平移时，$y$减去一个正数；向左平移时，$x$加上一个正数，向右平移时，$x$减去一个正数。
答案
函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象如图所示
。抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的开口向下,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-1)$。
把抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,就得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：1. 由$a$的正负判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。再结合图象平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的表达式，即可得到平移方式。
【解析】
1. 判断开口方向：对于函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下。
2. 求对称轴和顶点坐标：将表达式整理为顶点式标准形式$y=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2 + (-1)$，可得$h=-1$，$k=-1$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$。
3. 分析平移方式：对比抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$和目标抛物线，首先自变量$x$替换为$x+1$，根据“左加右减”的规律，对应向左平移1个单位长度；表达式整体减去1，根据“上加下减”的规律，对应再向下平移1个单位长度，即可得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【答案】
函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象如图所示。
抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的开口向下,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-1)$。
把抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,就得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中各参数的几何意义和图象平移的规律，掌握“左加右减、上加下减”的平移口诀和顶点式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：1. 由$a$的正负判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。再结合图象平移“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的表达式，即可得到平移方式。
【解析】
1. 判断开口方向：对于函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下。
2. 求对称轴和顶点坐标：将表达式整理为顶点式标准形式$y=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2 + (-1)$，可得$h=-1$，$k=-1$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$。
3. 分析平移方式：对比抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$和目标抛物线，首先自变量$x$替换为$x+1$，根据“左加右减”的规律，对应向左平移1个单位长度；表达式整体减去1，根据“上加下减”的规律，对应再向下平移1个单位长度，即可得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【答案】
函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象如图所示
。抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的开口向下,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-1)$。
把抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,就得到抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中各参数的几何意义和图象平移的规律，掌握“左加右减、上加下减”的平移口诀和顶点式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025济南月考)将抛物线$y=-x^2$先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（
A.$y=-(x-3)^2-2$
B.$y=-(x+3)^2-2$
C.$y=(x+3)^2-2$
D.$y=-(x+2)^2-3$
B
）A.$y=-(x-3)^2-2$
B.$y=-(x+3)^2-2$
C.$y=(x+3)^2-2$
D.$y=-(x+2)^2-3$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移问题，解题核心是牢记平移规律：“左加右减，上加下减”。思考步骤如下：首先，平移不改变抛物线的形状和开口方向，所以原抛物线的二次项系数-1保持不变，可直接排除二次项系数为正的选项；其次，“左加右减”是针对自变量x本身的操作，向左平移3个单位，需要把原式中的x替换为(x+3)；最后“上加下减”是针对函数整体的操作，向下平移2个单位，就在平移后的式子末尾减2，按此逻辑即可推出新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律解题：
1. 原抛物线为$y=-x^2$，平移不改变抛物线的形状和开口方向，因此新抛物线的二次项系数仍为-1，直接排除C选项；
2. 第一步向左平移3个单位，将原式中的$x$替换为$x+3$，得到抛物线$y=-(x+3)^2$；
3. 第二步向下平移2个单位，将上述表达式整体减去2，得到最终新抛物线表达式：$y=-(x+3)^2-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；抛物线平移性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题，核心考察对“左加右减、上加下减”平移规则的掌握，需注意左右平移是对自变量x本身进行加减，不要混淆加减方向，熟练掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移问题，解题核心是牢记平移规律：“左加右减，上加下减”。思考步骤如下：首先，平移不改变抛物线的形状和开口方向，所以原抛物线的二次项系数-1保持不变，可直接排除二次项系数为正的选项；其次，“左加右减”是针对自变量x本身的操作，向左平移3个单位，需要把原式中的x替换为(x+3)；最后“上加下减”是针对函数整体的操作，向下平移2个单位，就在平移后的式子末尾减2，按此逻辑即可推出新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律解题：
1. 原抛物线为$y=-x^2$，平移不改变抛物线的形状和开口方向，因此新抛物线的二次项系数仍为-1，直接排除C选项；
2. 第一步向左平移3个单位，将原式中的$x$替换为$x+3$，得到抛物线$y=-(x+3)^2$；
3. 第二步向下平移2个单位，将上述表达式整体减去2，得到最终新抛物线表达式：$y=-(x+3)^2-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；抛物线平移性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题，核心考察对“左加右减、上加下减”平移规则的掌握，需注意左右平移是对自变量x本身进行加减，不要混淆加减方向，熟练掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】把二次函数$y=2(x+3)^2 -1$先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后的表达式为
$y=2(x+2)^2 -4$
。答案
$y=2(x+2)^2 -4$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图像的平移规律：左右平移针对自变量x操作，遵循“左加右减”，上下平移针对函数整体操作，遵循“上加下减”，且平移不改变二次项系数a的大小。本题给出的二次函数是顶点式，既可以直接用平移规则对原式变形，也可以先确定原顶点坐标，计算平移后的顶点坐标再代入顶点式求解，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律解题：
1. 先处理向右平移1个单位长度的操作：将原函数$y=2(x+3)^2 -1$中的x替换为$x-1$，可得平移后的解析式为：
$y=2[(x-1)+3]^2 -1=2(x+2)^2 -1$
2. 再处理向下平移3个单位长度的操作：在上述解析式的基础上整体减3，可得最终解析式为：
$y=2(x+2)^2 -1-3=2(x+2)^2 -4$
【答案】
$y=2(x+2)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础类的平移变换题型，核心考查对二次函数平移规则的理解和应用，只要牢记平移规律，注意左右平移仅对自变量x本身进行加减，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数图像的平移规律：左右平移针对自变量x操作，遵循“左加右减”，上下平移针对函数整体操作，遵循“上加下减”，且平移不改变二次项系数a的大小。本题给出的二次函数是顶点式，既可以直接用平移规则对原式变形，也可以先确定原顶点坐标，计算平移后的顶点坐标再代入顶点式求解，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律解题：
1. 先处理向右平移1个单位长度的操作：将原函数$y=2(x+3)^2 -1$中的x替换为$x-1$，可得平移后的解析式为：
$y=2[(x-1)+3]^2 -1=2(x+2)^2 -1$
2. 再处理向下平移3个单位长度的操作：在上述解析式的基础上整体减3，可得最终解析式为：
$y=2(x+2)^2 -1-3=2(x+2)^2 -4$
【答案】
$y=2(x+2)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础类的平移变换题型，核心考查对二次函数平移规则的理解和应用，只要牢记平移规律，注意左右平移仅对自变量x本身进行加减，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
