5. 对于二次函数 $ y=9(x-1)^2 $ 的图象与性质，下列结论正确的是（）

A.$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C.当 $ x＞-1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.当 $ x＞1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

5. D

【分析】
解题思路：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，先确定本题函数的开口方向、对称轴，再根据开口方向判断对称轴两侧的增减性规律，最后逐一核对选项选出正确结论。步骤：1. 提取函数的二次项系数$a$和对称轴；2. 根据$a$的正负判断开口方向，明确增减性的分界为对称轴；3. 对比各选项给出的x取值范围，判断是否符合增减性规律。
【解析】
对于二次函数$y=9(x-1)^2$：
1. 确定图象基本特征：二次项系数$a=9＞0$，因此抛物线开口向上；该函数为顶点式，对称轴为直线$x=1$。
2. 推导增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而增大。
3. 逐一判断选项：
A选项：未限定x的范围，整个定义域内$y$不是始终随$x$增大而增大，错误；
B选项：当$0＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，因此“$x＞0$时$y$随$x$增大而增大”的结论不成立，错误；
C选项：当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，因此“$x＞-1$时$y$随$x$增大而增大”的结论不成立，错误；
D选项：$x＞1$属于对称轴右侧范围，此时$y$随$x$增大而增大，结论正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，明确开口方向和对称轴是判断二次函数增减性的核心依据。
【难度系数】
0.8

6.将抛物线$y=m(x+n)^2$向右平移3个单位长度后，得到抛物线$y=-4(x-4)^2$，则$m=$，$n=$。

6. $m=-4$，$n=-1$

【分析】
这道题考查二次函数图象的平移规律，解题思路分为两步：第一步，明确抛物线平移仅改变位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数不变，可直接确定m的值；第二步，牢记“左加右减”的平移规则（平移仅针对自变量x进行），写出原抛物线平移后的解析式，再和题目给出的平移后解析式对比系数，即可求出n的值。
【解析】
解：① 抛物线平移不改变开口方向和大小，因此二次项系数$m$与平移后的二次项系数相等，可得$m=-4$。
② 根据“右减”的平移规则，将抛物线$y=m(x+n)^2$向右平移3个单位长度，需给自变量$x$减去3，平移后的解析式为：
$y=m[(x-3)+n]^2 = m(x + n - 3)^2$
已知平移后解析式为$y=-4(x-4)^2$，将$m=-4$代入后对比$x$的一次项部分可得：
$n - 3 = -4$
解得$n=-1$。
【答案】
$m=-4$，$n=-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规则，注意平移操作是仅针对自变量$x$进行的，不要混淆平移方向和加减的对应关系。
【难度系数】
0.9

7. 画出二次函数 $y=(x-1)^2$ 的图象，并解答下列问题.
(1)写出图象的顶点坐标与对称轴；
(2)写出函数的最大值或最小值；
(3)写出当 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，$x$ 的取值范围.

7. 解:函数图象如图所示.
(1) 顶点坐标是$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) $\because$ 顶点$(1,0)$是图象上的最低点，$\therefore$ 当$x=1$时，函数$y$有最小值$0$。
(3) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。

【分析】
本题给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题时可先结合顶点式的性质对应分析，再结合给出的函数图象验证结论：
1. 对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；
2. 由$a=1＞0$可知抛物线开口向上，因此顶点是图象的最低点，对应函数的最小值；
3. 开口向上的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，据此可得到$y$随$x$增大而减小时$x$的取值范围。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-1)^2$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=1＞0$，$h=1$，$k=0$：
(1) 根据顶点式的性质，顶点坐标为$(h,k)=(1,0)$，对称轴为直线$x=h=1$；
(2) 因为$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点$(1,0)$是图象的最低点，因此函数存在最小值，当$x=1$时，$y$的最小值为$0$；
(3) 开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
7. 解:函数图象如图所示.
(1) 顶点坐标是$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) $\because$ 顶点$(1,0)$是图象上的最低点，$\therefore$ 当$x=1$时，函数$y$有最小值$0$。
(3) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式各参数对应的图象性质，也可结合给出的函数图象直观得到相关结论，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 已知$A(-4,y_1)$，$B(-3,y_2)$，$C(3,y_3)$三点都在抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为（用“＜”连接）。

8. $y_3＜y_1＜y_2$

【分析】
解题可从两种思路切入：①代入求值法：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别算出对应的y值，再比较大小即可；②性质判断法：先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的二次函数，图象上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小，计算三点到对称轴的距离后即可判断y值大小，两种方法均符合学段知识要求，性质法解题更快捷。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(-4,y₁)代入$y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$：
$y_1=-\dfrac{1}{3}×(-4+1)^2=-\dfrac{1}{3}×9=-3$
将B(-3,y₂)代入解析式：
$y_2=-\dfrac{1}{3}×(-3+1)^2=-\dfrac{1}{3}×4=-\dfrac{4}{3}$
将C(3,y₃)代入解析式：
$y_3=-\dfrac{1}{3}×(3+1)^2=-\dfrac{1}{3}×16=-\dfrac{16}{3}$
负数比较大小，绝对值越大数值越小：$\left|-\dfrac{16}{3}\right|＞\left|-3\right|＞\left|-\dfrac{4}{3}\right|$，因此$-\dfrac{16}{3}＜-3＜-\dfrac{4}{3}$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，故抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。
计算三点到对称轴的距离：
A点：$\left|-4-(-1)\right|=3$，B点：$\left|-3-(-1)\right|=2$，C点：$\left|3-(-1)\right|=4$
距离大小关系为$4＞3＞2$，因此对应函数值大小为$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解题方法均适用，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等核心性质，可省略计算步骤快速判断函数值大小，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

9.对于二次函数$y=a(x-k)^2$的图象，三名同学分别说出了它的一些特点：
甲:开口向上；
乙:对称轴是直线$x=2$；
丙:与$y$轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的表达式为.

9. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$

【分析】
我们可以结合二次函数顶点式的性质，根据三名同学给出的特点逐步确定参数的值：第一步先根据开口方向确定a的符号；第二步根据对称轴位置确定k的值；第三步根据与y轴交点到原点的距离求出a的可能值，最后结合a的符号筛选出符合要求的a，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 由甲描述的“开口向上”，可得二次项系数$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x-k)^2$的对称轴为直线$x=k$，结合乙描述的“对称轴是直线$x=2$”，可确定$k=2$，此时函数可写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=a×(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 结合丙描述的“与y轴的交点到原点的距离为2”，可得$|4a|=2$，解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$；
5. 结合第一步$a＞0$的条件，舍去$a=-\frac{1}{2}$，最终得$a=\frac{1}{2}$，代入得二次函数表达式。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图像与系数关系
3. 点到原点的距离
【点评】
本题考查二次函数参数的确定，解题时需要结合给出的图像特征逐步推导，注意不要忽略开口方向对参数符号的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

10. 已知抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的开口方向和大小与抛物线 $y=3x^2$ 都相同，顶点坐标与抛物线 $y=(x+2)^2$ 的顶点坐标相同.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出将(1)中求得的抛物线向右平移4个单位长度后，得到的抛物线的表达式；
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线的表达式.

解:
(1) $\because$ 开口方向和大小与抛物线$y=3x^2$都相同，$\therefore a=3$。
$\because$ 顶点坐标与抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标相同，$\therefore h=-2$，
$\therefore$ 这条抛物线的表达式为$y=3(x+2)^2$。
(2) $y=3(x-2)^2$。
(3) $\because$ 抛物线$y=3(x-2)^2$的顶点在$x$轴上，若顶点不动，开口反向，则所得抛物线与抛物线$y=3(x-2)^2$关于$x$轴对称，
$\therefore$ 符合这个条件的抛物线的表达式为$y=-3(x-2)^2$。

【分析】
本题围绕二次函数顶点式的性质展开求解：(1) 先明确顶点式$y=a(x-h)^2$中，$a$决定抛物线的开口方向和大小，两条抛物线开口方向、大小相同则$a$值相等；顶点坐标为$(h,0)$，对应已知抛物线的顶点即可求出$h$，代入就能得到表达式。(2) 抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，向右平移4个单位只需给原式中的$x$减去4，化简即可得到新表达式。(3) 抛物线开口反向时，开口大小不变，所以$a$的绝对值不变，符号变为相反数，顶点不动则顶点坐标不变，代入顶点式即可得到所求表达式。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$的开口方向和大小与抛物线$y=3x^2$都相同，$\therefore a=3$。
$\because$ 顶点坐标与抛物线$y=(x+2)^2$的顶点坐标相同，$y=(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，$\therefore h=-2$。
$\therefore$ 这条抛物线的表达式为$y=3(x+2)^2$。
(2) 根据平移“左加右减”的规律，将$y=3(x+2)^2$向右平移4个单位长度，可得：
$y=3(x+2-4)^2=3(x-2)^2$。
(3) 顶点不动，开口反向时，二次项系数变为原来的相反数，顶点坐标仍为$(2,0)$，因此$a=-3$，$h=2$，符合条件的抛物线表达式为$y=-3(x-2)^2$。
【答案】
(1) $y=3(x+2)^2$；(2) $y=3(x-2)^2$；(3) $y=-3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象平移，二次函数开口性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数顶点式各参数的意义、图象平移规律及开口方向变化的规律，熟练掌握相关核心性质就能快速准确求解。
【难度系数】
0.85