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8. (2025 武威月考)已知二次函数$y=(x-2)^2 -1$。
(1)写出二次函数$y=(x-2)^2 -1$的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当$y$随$x$的增大而减小时，写出$x$的取值范围。
(1)写出二次函数$y=(x-2)^2 -1$的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当$y$随$x$的增大而减小时，写出$x$的取值范围。
答案
8. (1)$y=(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$。
(2)列表：
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 3 | 0 | $-1$ | 0 | 3 |
描点画图,得
。(3)由抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$,则当$y$随$x$的增大而减小时,$x$的取值范围为$x≤ 2$。
解析
【分析】
解题时按小问依次分析：
(1) 题目给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），回忆顶点式的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，只需找到式子中对应的$h$、$k$值即可直接得出结果。
(2) 画二次函数图像遵循“列表、描点、连线”三步，由于二次函数图像关于对称轴对称，选取$x$值时围绕对称轴$x=2$对称取点，计算对应$y$值后描点，再用平滑曲线连接即可。
(3) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：先由$a$的符号判断开口方向，$a＞0$时抛物线开口向上，此时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，结合对称轴就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。在$y=(x-2)^2-1$中，$h=2$，$k=-1$，因此可直接得出对称轴和顶点坐标。
(2) 绘制图像步骤：
① 列表：围绕对称轴$x=2$对称选取$x=0、1、2、3、4$，分别代入解析式计算得对应$y$值为$3、0、-1、0、3$；
② 描点：在坐标系中描出表格对应的5个点；
③ 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到函数图像。
(3) 解析式中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，已知对称轴为直线$x=2$，因此可得出$x$的取值范围。
【答案】
(1)$y=(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$。
(2)列表：
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 3 | 0 | $-1$ | 0 | 3 |
描点画图,得。
(3)由抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$,则当$y$随$x$的增大而减小时,$x$的取值范围为$x≤ 2$。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对二次函数核心性质的掌握程度，熟练掌握顶点式的相关结论、函数图像的绘制方法以及增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时按小问依次分析：
(1) 题目给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），回忆顶点式的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，只需找到式子中对应的$h$、$k$值即可直接得出结果。
(2) 画二次函数图像遵循“列表、描点、连线”三步，由于二次函数图像关于对称轴对称，选取$x$值时围绕对称轴$x=2$对称取点，计算对应$y$值后描点，再用平滑曲线连接即可。
(3) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：先由$a$的符号判断开口方向，$a＞0$时抛物线开口向上，此时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，结合对称轴就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。在$y=(x-2)^2-1$中，$h=2$，$k=-1$，因此可直接得出对称轴和顶点坐标。
(2) 绘制图像步骤：
① 列表：围绕对称轴$x=2$对称选取$x=0、1、2、3、4$，分别代入解析式计算得对应$y$值为$3、0、-1、0、3$；
② 描点：在坐标系中描出表格对应的5个点；
③ 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到函数图像。
(3) 解析式中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，已知对称轴为直线$x=2$，因此可得出$x$的取值范围。
【答案】
(1)$y=(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$。
(2)列表：
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 3 | 0 | $-1$ | 0 | 3 |
描点画图,得
。(3)由抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$,则当$y$随$x$的增大而减小时,$x$的取值范围为$x≤ 2$。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对二次函数核心性质的掌握程度，熟练掌握顶点式的相关结论、函数图像的绘制方法以及增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
9. 若平面直角坐标系中二次函数 $y=a(x+b)^2+c$ 的图象，经过平移后可与 $y=(x+3)^2$ 的图象完全叠合，则下列 $a,b,c$ 的值符合要求的为（
A.$a=1,b=0,c=-2$
B.$a=2,b=6,c=0$
C.$a=-1,b=-3,c=0$
D.$a=-2,b=-3,c=-2$
A
）A.$a=1,b=0,c=-2$
B.$a=2,b=6,c=0$
C.$a=-1,b=-3,c=0$
D.$a=-2,b=-3,c=-2$
答案
9. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数平移的核心性质：二次函数图象平移只会改变位置，不会改变图象的形状和开口方向，因此二次项系数a的值是固定不变的。我们先根据目标函数的a值筛选出符合条件的选项，再验证剩余选项是否可通过平移得到目标函数即可。
【解析】
步骤1：确定二次项系数a的取值
二次函数平移不改变开口方向和形状，因此原函数的a值与平移后函数$y=(x+3)^2$的a值相等，$y=(x+3)^2$的二次项系数为1，故$a=1$。
步骤2：筛选选项
观察四个选项，只有A选项满足$a=1$。
步骤3：验证A选项
当$a=1,b=0,c=-2$时，原函数为$y=x^2-2$，将该函数向左平移3个单位，再向上平移2个单位，即可得到$y=(x+3)^2$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数平移性质
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的关键是抓住“平移不改变二次项系数a”这一核心要点，可快速排除错误选项，减少计算量，平时学习中要熟记二次函数平移的相关规律。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数平移的核心性质：二次函数图象平移只会改变位置，不会改变图象的形状和开口方向，因此二次项系数a的值是固定不变的。我们先根据目标函数的a值筛选出符合条件的选项，再验证剩余选项是否可通过平移得到目标函数即可。
【解析】
步骤1：确定二次项系数a的取值
二次函数平移不改变开口方向和形状，因此原函数的a值与平移后函数$y=(x+3)^2$的a值相等，$y=(x+3)^2$的二次项系数为1，故$a=1$。
步骤2：筛选选项
观察四个选项，只有A选项满足$a=1$。
步骤3：验证A选项
当$a=1,b=0,c=-2$时，原函数为$y=x^2-2$，将该函数向左平移3个单位，再向上平移2个单位，即可得到$y=(x+3)^2$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数平移性质
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的关键是抓住“平移不改变二次项系数a”这一核心要点，可快速排除错误选项，减少计算量，平时学习中要熟记二次函数平移的相关规律。
【难度系数】
0.8
10. 二次函数$y=a(x+h)^2 -k$的图象如图所示，则一次函数$y=kx+h$的图象一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先利用二次函数顶点式的特征确定其顶点坐标，再结合图像中顶点所在象限的坐标符号规律，求出h、k的正负性，最后根据一次函数的斜率和截距的正负判断其经过的象限，即可得出结论。
第一步：明确二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，由此确定本题中二次函数的顶点坐标为$(-h,-k)$；
第二步：观察图像得顶点在第四象限，第四象限点的横坐标为正、纵坐标为负，据此列不等式求出h＜0、k＞0；
第三步：根据一次函数$y=kx+b$中k决定倾斜方向、b决定与y轴交点位置的性质，判断一次函数经过的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=a(x+h)^2 -k$的顶点坐标为$(-h, -k)$，
由图像可知顶点在第四象限，
$\therefore \begin{cases}-h＞0 \\ -k＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h＜0 \\ k＞0\end{cases}$。
对于一次函数$y=kx+h$：
$\because k＞0$，$\therefore$ 函数图像从左到右上升，经过第一、三象限；
又$\because h＜0$，$\therefore$ 函数图像与$y$轴交于负半轴，因此还经过第四象限。
即一次函数$y=kx+h$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 一次函数图像性质
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是函数图像的基础综合题，解题核心是通过二次函数图像提取参数的符号信息，再推导一次函数的图像特征，这类题型是函数部分的常见考法，熟练掌握两类函数的图像与参数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数顶点式的特征确定其顶点坐标，再结合图像中顶点所在象限的坐标符号规律，求出h、k的正负性，最后根据一次函数的斜率和截距的正负判断其经过的象限，即可得出结论。
第一步：明确二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，由此确定本题中二次函数的顶点坐标为$(-h,-k)$；
第二步：观察图像得顶点在第四象限，第四象限点的横坐标为正、纵坐标为负，据此列不等式求出h＜0、k＞0；
第三步：根据一次函数$y=kx+b$中k决定倾斜方向、b决定与y轴交点位置的性质，判断一次函数经过的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=a(x+h)^2 -k$的顶点坐标为$(-h, -k)$，
由图像可知顶点在第四象限，
$\therefore \begin{cases}-h＞0 \\ -k＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h＜0 \\ k＞0\end{cases}$。
对于一次函数$y=kx+h$：
$\because k＞0$，$\therefore$ 函数图像从左到右上升，经过第一、三象限；
又$\because h＜0$，$\therefore$ 函数图像与$y$轴交于负半轴，因此还经过第四象限。
即一次函数$y=kx+h$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 一次函数图像性质
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是函数图像的基础综合题，解题核心是通过二次函数图像提取参数的符号信息，再推导一次函数的图像特征，这类题型是函数部分的常见考法，熟练掌握两类函数的图像与参数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
11.已知二次函数$y=2(x-1)^2+1$的图象为抛物线 C.
(1)抛物线 C 的对称轴为
(2)将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到抛物线$C_1$，请判断抛物线$C_1$是否经过点$P(2,3)$，并说明理由；
(3)当$-2≤x≤3$时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围.
(1)抛物线 C 的对称轴为
直线$x=1$
;(2)将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到抛物线$C_1$，请判断抛物线$C_1$是否经过点$P(2,3)$，并说明理由；
(3)当$-2≤x≤3$时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围.
答案
11. (1) 直线$x=1$。
(2) 解:$\because$ 将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到抛物线$C_1$,
$\therefore$ 抛物线$C_1:y=2x^2+3$。
把$x=2$代入,得$y=2× 2^2+3=11≠ 3$,
$\therefore$ 抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$。
(3) 解:$\because y=2(x-1)^2+1$,
$\therefore$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时,$y=19$;
当$x=3$时,$y=9$;
当$x=1$时,$y$有最小值 1;
$\therefore$ 当$-2≤ x≤ 3$时,二次函数的函数值$y$的取值范围为$1≤ y≤ 19$。
(2) 解:$\because$ 将抛物线 C 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到抛物线$C_1$,
$\therefore$ 抛物线$C_1:y=2x^2+3$。
把$x=2$代入,得$y=2× 2^2+3=11≠ 3$,
$\therefore$ 抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$。
(3) 解:$\because y=2(x-1)^2+1$,
$\therefore$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时,$y=19$;
当$x=3$时,$y=9$;
当$x=1$时,$y$有最小值 1;
$\therefore$ 当$-2≤ x≤ 3$时,二次函数的函数值$y$的取值范围为$1≤ y≤ 19$。
解析
【分析】
(1) 二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，本题给出的函数是标准顶点式，直接提取对应$h$的值即可得到对称轴。
(2) 二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，按平移规则变形得到新抛物线$C_1$的解析式后，将点$P$的横坐标代入解析式计算函数值，和点$P$的纵坐标对比即可判断是否经过该点。
(3) 先根据二次函数的开口方向和对称轴，判断函数在区间$[-2,3]$内的增减性，找到取最小值的顶点位置，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 已知二次函数$y=2(x-1)^2+1$为顶点式，对应$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$。
(2) 根据平移规则，将抛物线$C$向左平移1个单位长度，解析式变为$y=2(x-1+1)^2+1=2x^2+1$；再向上平移2个单位长度，得到抛物线$C_1$的解析式为$y=2x^2+1+2=2x^2+3$。
把$x=2$代入$y=2x^2+3$，得$y=2×2^2+3=11$，因为$11≠3$，所以抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$。
(3) 二次函数$y=2(x-1)^2+1$中$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
在$-2≤x≤3$范围内，$x=1$时$y$取最小值，最小值为$1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2-1)^2+1=19$；
当$x=3$时，$y=2×(3-1)^2+1=9$。
比较得最大值为$19$，因此$y$的取值范围为$1≤y≤19$。
【答案】
(1) 直线$x=1$
(2) 抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$，理由见解析
(3) $1≤y≤19$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考点均为二次函数的核心基础内容，熟练掌握顶点式的相关性质和平移规律就能顺利解答，是中考高频基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，本题给出的函数是标准顶点式，直接提取对应$h$的值即可得到对称轴。
(2) 二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，按平移规则变形得到新抛物线$C_1$的解析式后，将点$P$的横坐标代入解析式计算函数值，和点$P$的纵坐标对比即可判断是否经过该点。
(3) 先根据二次函数的开口方向和对称轴，判断函数在区间$[-2,3]$内的增减性，找到取最小值的顶点位置，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 已知二次函数$y=2(x-1)^2+1$为顶点式，对应$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$。
(2) 根据平移规则，将抛物线$C$向左平移1个单位长度，解析式变为$y=2(x-1+1)^2+1=2x^2+1$；再向上平移2个单位长度，得到抛物线$C_1$的解析式为$y=2x^2+1+2=2x^2+3$。
把$x=2$代入$y=2x^2+3$，得$y=2×2^2+3=11$，因为$11≠3$，所以抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$。
(3) 二次函数$y=2(x-1)^2+1$中$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
在$-2≤x≤3$范围内，$x=1$时$y$取最小值，最小值为$1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2-1)^2+1=19$；
当$x=3$时，$y=2×(3-1)^2+1=9$。
比较得最大值为$19$，因此$y$的取值范围为$1≤y≤19$。
【答案】
(1) 直线$x=1$
(2) 抛物线$C_1$不经过点$P(2,3)$，理由见解析
(3) $1≤y≤19$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考点均为二次函数的核心基础内容，熟练掌握顶点式的相关性质和平移规律就能顺利解答，是中考高频基础题型。
【难度系数】
0.75
