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2. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象的性质
一般地，二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象与性质
一般地，二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象是抛物线，它具有下述性质：
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典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象与性质
答案
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，函数有最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，函数有最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
解析
【分析】
我们可以通过配方法推导二次函数一般式的相关性质，解题思路如下：1. 先将一般式$y=ax^2+bx+c$配方转化为顶点式，就可以直接得到对称轴和顶点坐标；2. 由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a$的正负决定抛物线的开口朝向；3. 结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向上时，对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时增减规律相反；4. 最值对应顶点的纵坐标：开口向上时顶点是最低点，取最小值，开口向下时顶点是最高点，取最大值。
【解析】
首先对二次函数一般式配方：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
根据顶点式可得各项性质：
1. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；
2. 顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
3. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
4. 增减性：
$a＞0$时：对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
$a＜0$时：对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$时函数有最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$时函数有最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，函数有最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，函数有最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴与顶点；二次函数增减性与最值
【点评】
本题考查二次函数的基础核心性质，是后续解决二次函数解析式求解、实际应用等各类问题的基础，建议结合函数图象记忆性质，能有效避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.8
我们可以通过配方法推导二次函数一般式的相关性质，解题思路如下：1. 先将一般式$y=ax^2+bx+c$配方转化为顶点式，就可以直接得到对称轴和顶点坐标；2. 由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a$的正负决定抛物线的开口朝向；3. 结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向上时，对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时增减规律相反；4. 最值对应顶点的纵坐标：开口向上时顶点是最低点，取最小值，开口向下时顶点是最高点，取最大值。
【解析】
首先对二次函数一般式配方：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
根据顶点式可得各项性质：
1. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；
2. 顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
3. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
4. 增减性：
$a＞0$时：对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
$a＜0$时：对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$时函数有最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$时函数有最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，函数有最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，函数有最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴与顶点；二次函数增减性与最值
【点评】
本题考查二次函数的基础核心性质，是后续解决二次函数解析式求解、实际应用等各类问题的基础，建议结合函数图象记忆性质，能有效避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.8
【例1】写出二次函数$y=x^2+2x-3$图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它的图象。
答案
二次函数$y=x^2+2x-3$图象的对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-4)$，开口向上，图象如图
。解析
【分析】
解题时先从二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质入手：第一步确定a、b、c的取值，由a的符号判断开口方向；第二步求对称轴和顶点坐标，可选用公式法（直接代入对称轴、顶点坐标公式）或配方法（将一般式转化为顶点式）两种方法，都是初中阶段要求掌握的常规方法；第三步画图象时，只需找到顶点、与坐标轴的交点、对称点这几个关键点，描点后用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-3$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$：
1. 开口方向判断：
$\because a=1＞0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向上。
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
3. 求顶点坐标：
将$x=-1$代入函数解析式，得$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，因此顶点坐标为$(-1,-4)$。
（也可通过配方法推导：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，由顶点式可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$）
4. 绘制图象：
先确定关键点：顶点$(-1,-4)$、与x轴交点$(-3,0)$和$(1,0)$、与y轴交点$(0,-3)$及其对称点$(-2,-3)$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接，即可得到该二次函数的图象，与题中给出的图象一致。
【答案】
二次函数$y=x^2+2x-3$图象的对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-4)$，开口向上，图象如图。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象绘制；顶点坐标计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用和图象绘制方法，熟练掌握用公式法或配方法求解对称轴、顶点坐标是解题的关键，描点绘图时选取特殊关键点能有效提升准确率和效率。
【难度系数】
0.8
解题时先从二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质入手：第一步确定a、b、c的取值，由a的符号判断开口方向；第二步求对称轴和顶点坐标，可选用公式法（直接代入对称轴、顶点坐标公式）或配方法（将一般式转化为顶点式）两种方法，都是初中阶段要求掌握的常规方法；第三步画图象时，只需找到顶点、与坐标轴的交点、对称点这几个关键点，描点后用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+2x-3$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$：
1. 开口方向判断：
$\because a=1＞0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向上。
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
3. 求顶点坐标：
将$x=-1$代入函数解析式，得$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，因此顶点坐标为$(-1,-4)$。
（也可通过配方法推导：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，由顶点式可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$）
4. 绘制图象：
先确定关键点：顶点$(-1,-4)$、与x轴交点$(-3,0)$和$(1,0)$、与y轴交点$(0,-3)$及其对称点$(-2,-3)$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接，即可得到该二次函数的图象，与题中给出的图象一致。
【答案】
二次函数$y=x^2+2x-3$图象的对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-4)$，开口向上，图象如图
。【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象绘制；顶点坐标计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用和图象绘制方法，熟练掌握用公式法或配方法求解对称轴、顶点坐标是解题的关键，描点绘图时选取特殊关键点能有效提升准确率和效率。
【难度系数】
0.8
【例2】用配方法求二次函数$y=x^2 -2x -1$的对称轴、顶点坐标及最值。
答案
$y=x^2-2x-1=(x^2-2x+1)-2=(x-1)^2-2$，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-2)$，当$x=1$时，$y_{最小值}=-2$。
解析
【分析】
解题时首先要明确目标：通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，顶点式可直接反映二次函数的对称轴、顶点坐标和最值信息。配方法的操作逻辑为：本题二次项系数为1，先将二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再减去相同的数保证代数式的值不变，整理得到顶点式后，结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，即可求出对应的对称轴、顶点坐标和最值。
【解析】
解：对二次函数$y=x^2-2x-1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=(x^2-2x+1)-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质，本题中$a=1＞0$，$h=1$，$k=-2$：
1. 对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,-2)$；
3. 因$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$。
【答案】
对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-2)$，当$x=1$时，$y_{最小值}=-2$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作规范以及二次函数顶点式的相关性质，熟练掌握配方步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确目标：通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，顶点式可直接反映二次函数的对称轴、顶点坐标和最值信息。配方法的操作逻辑为：本题二次项系数为1，先将二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再减去相同的数保证代数式的值不变，整理得到顶点式后，结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，即可求出对应的对称轴、顶点坐标和最值。
【解析】
解：对二次函数$y=x^2-2x-1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=(x^2-2x+1)-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质，本题中$a=1＞0$，$h=1$，$k=-2$：
1. 对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,-2)$；
3. 因$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$。
【答案】
对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-2)$，当$x=1$时，$y_{最小值}=-2$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作规范以及二次函数顶点式的相关性质，熟练掌握配方步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式】用配方法求下列二次函数的顶点坐标、对称轴和最大(小)值，并判断开口方向.
(1)$y=3x^2 -6x +4$；
(2)$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +\frac{5}{2}$.
(1)$y=3x^2 -6x +4$；
(2)$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +\frac{5}{2}$.
答案
(1)$\because y=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$1$。
(2)$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\frac{9}{2}$。
$\therefore$ 该函数图象的开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$1$。
(2)$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$，
$\therefore$ 该函数图象的开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确配方法将二次函数一般式转化为顶点式的步骤：①把二次项和一次项组合，提取二次项系数a；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变；③将括号内整理为完全平方形式，再合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。再根据顶点式的性质判断：a的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，a＞0时函数有最小值k，a＜0时函数有最大值k，按这个思路分别求解两个小题即可。
【解析】
(1) 对$y=3x^2 -6x +4$进行配方：
先提取二次项系数3，得$y=3(x^2-2x)+4$
括号内凑完全平方：$x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$
代入整理得：$y=3(x-1)^2+1$
∵$a=3＞0$，
∴函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，当$x=1$时函数取最小值1。
(2) 对$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +\frac{5}{2}$进行配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x)+\frac{5}{2}$
括号内凑完全平方：$x^2-4x=(x^2-4x+4)-4=(x-2)^2-4$
代入整理得：$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$
∵$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，当$x=2$时函数取最大值$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 该函数图象的开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$1$；
(2) 该函数图象的开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\frac{9}{2}$。
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数图象性质；二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数一般式的配方及顶点式的性质应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，能准确根据顶点式读取二次函数的相关性质，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确配方法将二次函数一般式转化为顶点式的步骤：①把二次项和一次项组合，提取二次项系数a；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变；③将括号内整理为完全平方形式，再合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。再根据顶点式的性质判断：a的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，a＞0时函数有最小值k，a＜0时函数有最大值k，按这个思路分别求解两个小题即可。
【解析】
(1) 对$y=3x^2 -6x +4$进行配方：
先提取二次项系数3，得$y=3(x^2-2x)+4$
括号内凑完全平方：$x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1$
代入整理得：$y=3(x-1)^2+1$
∵$a=3＞0$，
∴函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，当$x=1$时函数取最小值1。
(2) 对$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +\frac{5}{2}$进行配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x)+\frac{5}{2}$
括号内凑完全平方：$x^2-4x=(x^2-4x+4)-4=(x-2)^2-4$
代入整理得：$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{9}{2}$
∵$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，当$x=2$时函数取最大值$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 该函数图象的开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为直线$x=1$，最小值为$1$；
(2) 该函数图象的开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=2$，最大值为$\frac{9}{2}$。
【知识点】
配方法化顶点式；二次函数图象性质；二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数一般式的配方及顶点式的性质应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，能准确根据顶点式读取二次函数的相关性质，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
