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【例3】《九章算术》中有“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，人数和羊价各是多少？（列一元一次方程并求解）
总结 列方程解决实际问题时，要找出实际问题中的等量关系，正确运用问题中的等量关系设未知数，再列方程。
总结 列方程解决实际问题时，要找出实际问题中的等量关系，正确运用问题中的等量关系设未知数，再列方程。
答案
解：设买羊人数为$x$。
由题意，得$5x+45=7x+3$。
移项，得$5x-7x=3-45$。
合并同类项，得$-2x=-42$。
系数化为1，得$x=21$。
所以$5x+45=5×21+45=150$。
答：买羊人数为21，羊价为150元。
由题意，得$5x+45=7x+3$。
移项，得$5x-7x=3-45$。
合并同类项，得$-2x=-42$。
系数化为1，得$x=21$。
所以$5x+45=5×21+45=150$。
答：买羊人数为21，羊价为150元。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量：羊的总价。我们可以先设买羊的人数为未知数$x$，分别用两种出资情况表示羊价：每人出5元时差45元，说明羊价等于总出资加差额，即$5x+45$；每人出7元时差3元，说明羊价也可表示为$7x+3$。由于羊价固定，两个表达式相等即可列出方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程求出人数，最后代入表达式计算羊价即可。
【解析】
解：设买羊人数为$x$。
由题意，得$5x+45=7x+3$。
移项，得$5x-7x=3-45$。
合并同类项，得$-2x=-42$。
系数化为1，得$x=21$。
所以羊价为$5x+45=5×21+45=150$（元）。
答：买羊人数为21，羊价为150元。
【答案】
买羊人数为21，羊价为150元。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题取材于古代经典数学问题，难度较低，主要考察学生从实际问题中提取等量关系的能力，以及一元一次方程的规范求解能力，解题时注意移项要变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量：羊的总价。我们可以先设买羊的人数为未知数$x$，分别用两种出资情况表示羊价：每人出5元时差45元，说明羊价等于总出资加差额，即$5x+45$；每人出7元时差3元，说明羊价也可表示为$7x+3$。由于羊价固定，两个表达式相等即可列出方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程求出人数，最后代入表达式计算羊价即可。
【解析】
解：设买羊人数为$x$。
由题意，得$5x+45=7x+3$。
移项，得$5x-7x=3-45$。
合并同类项，得$-2x=-42$。
系数化为1，得$x=21$。
所以羊价为$5x+45=5×21+45=150$（元）。
答：买羊人数为21，羊价为150元。
【答案】
买羊人数为21，羊价为150元。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题取材于古代经典数学问题，难度较低，主要考察学生从实际问题中提取等量关系的能力，以及一元一次方程的规范求解能力，解题时注意移项要变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
● 跟踪练习3 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道“宝塔装灯”问题：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？其大意是：有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层灯的盏数。
答案
解：设顶层有$x$盏灯。
由题意，得$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$。
合并同类项，得$127x=381$。
系数化为1，得$x=3$。
答：塔的顶层有3盏灯。
由题意，得$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$。
合并同类项，得$127x=381$。
系数化为1，得$x=3$。
答：塔的顶层有3盏灯。
解析
【分析】
解题时先明确所求为顶层灯的数量，可直接设顶层有x盏灯作为未知数；再根据“每层灯的数目都是上一层的2倍”的条件，依次推出第二层到第七层的灯数分别为2x、4x、8x、16x、32x、64x；接着抓住“七层总灯数为381盏”的等量关系，将七层灯数相加等于总灯数，列出一元一次方程；最后按照解一元一次方程的步骤，合并同类项、系数化为1，即可求出未知数的值得到答案。
【解析】
解：设顶层有$x$盏灯。
由题意，得$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$。
合并同类项，得$127x=381$。
系数化为1，得$x=3$。
答：塔的顶层有3盏灯。
【答案】
3盏
【知识点】
一元一次方程的应用、合并同类项解一元一次方程、和倍问题
【点评】
本题以我国古代数学名题为背景，兼具趣味性与文化性，核心考查一元一次方程的实际应用能力，解题关键是准确梳理各层灯数的倍分关系，结合总灯数建立方程，属于常规基础应用题，熟练掌握一元一次方程的基本解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求为顶层灯的数量，可直接设顶层有x盏灯作为未知数；再根据“每层灯的数目都是上一层的2倍”的条件，依次推出第二层到第七层的灯数分别为2x、4x、8x、16x、32x、64x；接着抓住“七层总灯数为381盏”的等量关系，将七层灯数相加等于总灯数，列出一元一次方程；最后按照解一元一次方程的步骤，合并同类项、系数化为1，即可求出未知数的值得到答案。
【解析】
解：设顶层有$x$盏灯。
由题意，得$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$。
合并同类项，得$127x=381$。
系数化为1，得$x=3$。
答：塔的顶层有3盏灯。
【答案】
3盏
【知识点】
一元一次方程的应用、合并同类项解一元一次方程、和倍问题
【点评】
本题以我国古代数学名题为背景，兼具趣味性与文化性，核心考查一元一次方程的实际应用能力，解题关键是准确梳理各层灯数的倍分关系，结合总灯数建立方程，属于常规基础应用题，熟练掌握一元一次方程的基本解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1.在下列解方程的过程中，变形正确的是（
A.由$-2x+3x=4$，得$-5x=4$
B.由$4y-2y+y=4$，得$(4-2)y=4$
C.由$-\frac{1}{2}x=0$，得$x=0$
D.由$2x=-3$，得$x=-\frac{2}{3}$
C
）.A.由$-2x+3x=4$，得$-5x=4$
B.由$4y-2y+y=4$，得$(4-2)y=4$
C.由$-\frac{1}{2}x=0$，得$x=0$
D.由$2x=-3$，得$x=-\frac{2}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道判断一元一次方程变形是否正确的题目，解题时需逐个分析每个选项，结合合并同类项法则、系数化为1的规则验证变形是否正确：先看涉及合并同类项的选项，检查同类项系数的加减运算是否正确；再看涉及系数化为1的选项，检查计算结果是否准确。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：对$-2x+3x$合并同类项，系数相加得$-2+3=1$，正确结果应为$x=4$，而非$-5x=4$，故A错误；
B选项：对$4y-2y+y$合并同类项，所有含$y$的项系数相加得$4-2+1=3$，正确结果应为$3y=4$，选项遗漏了$+y$的系数1，故B错误；
C选项：将$-\frac{1}{2}x=0$系数化为1，两边同时乘$-2$，得$x=0×(-2)=0$，变形正确，故C正确；
D选项：将$2x=-3$系数化为1，两边同时除以2，得$x=-\frac{3}{2}$，而非$x=-\frac{2}{3}$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，系数化为1，一元一次方程变形
【点评】
本题考查一元一次方程求解过程中的基础变形，是解方程的必备基础，解题时要注意合并同类项时不要漏项，系数化为1时不要把分子分母搞反。
【难度系数】
0.8
这是一道判断一元一次方程变形是否正确的题目，解题时需逐个分析每个选项，结合合并同类项法则、系数化为1的规则验证变形是否正确：先看涉及合并同类项的选项，检查同类项系数的加减运算是否正确；再看涉及系数化为1的选项，检查计算结果是否准确。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：对$-2x+3x$合并同类项，系数相加得$-2+3=1$，正确结果应为$x=4$，而非$-5x=4$，故A错误；
B选项：对$4y-2y+y$合并同类项，所有含$y$的项系数相加得$4-2+1=3$，正确结果应为$3y=4$，选项遗漏了$+y$的系数1，故B错误；
C选项：将$-\frac{1}{2}x=0$系数化为1，两边同时乘$-2$，得$x=0×(-2)=0$，变形正确，故C正确；
D选项：将$2x=-3$系数化为1，两边同时除以2，得$x=-\frac{3}{2}$，而非$x=-\frac{2}{3}$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，系数化为1，一元一次方程变形
【点评】
本题考查一元一次方程求解过程中的基础变形，是解方程的必备基础，解题时要注意合并同类项时不要漏项，系数化为1时不要把分子分母搞反。
【难度系数】
0.8
2.在下列解方程的过程中,移项正确的是（
A.由$6x - 3 = x + 4$,得$6x - 3 = 4 + x$
B.由$5x - 7y - 2 = 0$,得$-2 = 7y + 5x$
C.由$8 - x = x - 5$,得$-x - x = -5 + 8$
D.由$x + 9 = 3x - 1$,得$x - 3x = -1 - 9$
D
）.A.由$6x - 3 = x + 4$,得$6x - 3 = 4 + x$
B.由$5x - 7y - 2 = 0$,得$-2 = 7y + 5x$
C.由$8 - x = x - 5$,得$-x - x = -5 + 8$
D.由$x + 9 = 3x - 1$,得$x - 3x = -1 - 9$
答案
2. D
解析
【分析】
解这道题首先要明确移项的核心规则：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边时，必须改变这项的符号，没有移动的项符号保持不变；如果只是在等号的同一侧交换项的位置，不属于移项，不需要变号。解题时我们只需逐个核对每个选项的变形是否符合移项规则即可：先判断每个变形中哪些项发生了移动，再看移动的项是否正确变号，未移动的项是否符号不变。
【解析】
根据移项“移项要变号，未移项符号不变”的规则逐一判断：
A. 该变形仅将方程右侧的x和4交换位置，没有项从等号一侧移到另一侧，不属于移项操作，不符合要求；
B. 将左侧的5x、-7y移到右侧，两项均需变号，正确变形应为$-2=7y-5x$，选项中5x未变号，移项错误；
C. 将左侧的+8移到右侧需变为-8，右侧的x移到左侧需变为-x，正确变形应为$-x-x=-5-8$，选项中8未变号，移项错误；
D. 将右侧的3x移到左侧变为-3x，左侧的+9移到右侧变为-9，未移动的x、-1符号不变，变形为$x-3x=-1-9$，移项正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则；等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查移项法则的应用，做题时要注意区分移项和同侧交换项的位置，避免出现“移项不变号”或“未移项乱变号”的错误。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确移项的核心规则：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边时，必须改变这项的符号，没有移动的项符号保持不变；如果只是在等号的同一侧交换项的位置，不属于移项，不需要变号。解题时我们只需逐个核对每个选项的变形是否符合移项规则即可：先判断每个变形中哪些项发生了移动，再看移动的项是否正确变号，未移动的项是否符号不变。
【解析】
根据移项“移项要变号，未移项符号不变”的规则逐一判断：
A. 该变形仅将方程右侧的x和4交换位置，没有项从等号一侧移到另一侧，不属于移项操作，不符合要求；
B. 将左侧的5x、-7y移到右侧，两项均需变号，正确变形应为$-2=7y-5x$，选项中5x未变号，移项错误；
C. 将左侧的+8移到右侧需变为-8，右侧的x移到左侧需变为-x，正确变形应为$-x-x=-5-8$，选项中8未变号，移项错误；
D. 将右侧的3x移到左侧变为-3x，左侧的+9移到右侧变为-9，未移动的x、-1符号不变，变形为$x-3x=-1-9$，移项正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则；等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查移项法则的应用，做题时要注意区分移项和同侧交换项的位置，避免出现“移项不变号”或“未移项乱变号”的错误。
【难度系数】
0.8
3.若三个连续奇数的和是15，则它们的积是(
A.105
B.15
C.35
D.75
A
)。A.105
B.15
C.35
D.75
答案
3. A
解析
【分析】
遇到连续数字求和的问题，首先要明确连续奇数的特征：相邻两个连续奇数相差2。为了简化计算，我们可以设三个连续奇数中间的数为未知数，另外两个数就可以用含这个未知数的式子表示，再根据三个数的和是15列出一元一次方程，求解得到三个数后计算乘积即可。
【解析】
设三个连续奇数中间的数为$x$，则较小的奇数为$x-2$，较大的奇数为$x+2$。
根据三个数的和为15，列方程得：
$(x-2) + x + (x+2) = 15$
化简方程可得：$3x = 15$
解得：$x = 5$
因此三个连续奇数分别为$5-2=3$、$5$、$5+2=7$，
它们的积为：$3×5×7=105$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；奇数的特征
【点评】
本题属于基础的数字类应用题，解题的关键是准确把握连续奇数相差2的特点，通过设中间数为未知数可有效简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.85
遇到连续数字求和的问题，首先要明确连续奇数的特征：相邻两个连续奇数相差2。为了简化计算，我们可以设三个连续奇数中间的数为未知数，另外两个数就可以用含这个未知数的式子表示，再根据三个数的和是15列出一元一次方程，求解得到三个数后计算乘积即可。
【解析】
设三个连续奇数中间的数为$x$，则较小的奇数为$x-2$，较大的奇数为$x+2$。
根据三个数的和为15，列方程得：
$(x-2) + x + (x+2) = 15$
化简方程可得：$3x = 15$
解得：$x = 5$
因此三个连续奇数分别为$5-2=3$、$5$、$5+2=7$，
它们的积为：$3×5×7=105$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；奇数的特征
【点评】
本题属于基础的数字类应用题，解题的关键是准确把握连续奇数相差2的特点，通过设中间数为未知数可有效简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.85
4.小明不小心把方程中的一个数污染了，被污染的方程为$2y - \frac{1}{2}y = -\frac{1}{2} - ■$，他看了书后的答案，发现该方程的解为$y = -\frac{5}{3}$，则被污染的数为
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
要解决求被污染数字的问题，首先要明确一元一次方程解的性质：方程的解代入原方程后，左右两边的值相等。我们可以先将被污染的数设为未知数，再把已知的解代入原方程，把原方程转化为仅含这个未知数的一元一次方程，解该方程即可得到被污染的数。
【解析】
解：设被污染的数为$ a $。
将方程的解$ y = -\frac{5}{3} $代入原方程，得：
$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) = -\frac{1}{2} - a$
先计算方程左边：
$-\frac{10}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{20}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}$
此时方程简化为：
$-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2} - a$
移项计算：
$a = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解应用的基础题型，解题核心是利用方程解的性质，将未知常数的求解转化为常规一元一次方程的求解，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
要解决求被污染数字的问题，首先要明确一元一次方程解的性质：方程的解代入原方程后，左右两边的值相等。我们可以先将被污染的数设为未知数，再把已知的解代入原方程，把原方程转化为仅含这个未知数的一元一次方程，解该方程即可得到被污染的数。
【解析】
解：设被污染的数为$ a $。
将方程的解$ y = -\frac{5}{3} $代入原方程，得：
$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) = -\frac{1}{2} - a$
先计算方程左边：
$-\frac{10}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{20}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}$
此时方程简化为：
$-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2} - a$
移项计算：
$a = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解应用的基础题型，解题核心是利用方程解的性质，将未知常数的求解转化为常规一元一次方程的求解，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
5.如果$3y+3$的值与$2y+7$的值互为相反数，那么$y=$
-2
.答案
5. -2
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数的和为0。根据题目给出的两个代数式互为相反数的条件，我们可以先列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（合并同类项、移项、系数化为1）计算即可得到y的值。
【解析】
∵ 互为相反数的两个数之和为0，且$3y+3$与$2y+7$互为相反数
∴ 可列方程：$(3y+3)+(2y+7)=0$
合并同类项得：$5y + 10 = 0$
移项得：$5y = -10$
系数化为1得：$y = -2$
【答案】
-2
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数概念的理解和解一元一次方程的基础运算能力，熟练掌握基础概念和运算步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数的和为0。根据题目给出的两个代数式互为相反数的条件，我们可以先列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（合并同类项、移项、系数化为1）计算即可得到y的值。
【解析】
∵ 互为相反数的两个数之和为0，且$3y+3$与$2y+7$互为相反数
∴ 可列方程：$(3y+3)+(2y+7)=0$
合并同类项得：$5y + 10 = 0$
移项得：$5y = -10$
系数化为1得：$y = -2$
【答案】
-2
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数概念的理解和解一元一次方程的基础运算能力，熟练掌握基础概念和运算步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.定义新运算“※”，其运算规则为$a※b=-2a+3b$，例如$2※6=-2×2+3×6=14$.则方程$x※4=0$的解为
$x=6$
.答案
6. $x=6$
解析
【分析】
解决这类带新定义运算的方程题，首先要明确新运算的规则，本题中$a※b$等于-2乘第一个运算数加3乘第二个运算数。先把方程里的$x※4$按照新运算规则转化为普通的代数式子，得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
根据新运算规则$a※b=-2a+3b$，可得$x※4=-2x + 3×4$，因此原方程可转化为：
$-2x + 12 = 0$
移项，得：
$-2x = -12$
系数化为1，得：
$x = 6$
【答案】
$x=6$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用以及一元一次方程的求解，解题核心是准确将新运算转化为常规的代数运算，掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这类带新定义运算的方程题，首先要明确新运算的规则，本题中$a※b$等于-2乘第一个运算数加3乘第二个运算数。先把方程里的$x※4$按照新运算规则转化为普通的代数式子，得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
根据新运算规则$a※b=-2a+3b$，可得$x※4=-2x + 3×4$，因此原方程可转化为：
$-2x + 12 = 0$
移项，得：
$-2x = -12$
系数化为1，得：
$x = 6$
【答案】
$x=6$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用以及一元一次方程的求解，解题核心是准确将新运算转化为常规的代数运算，掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.解下列方程：
(1)$3x + 25 - 6x = -20 - x$；
(2)$\frac{1}{2}y - 6 = \frac{3}{4}y + 1$。
(1)$3x + 25 - 6x = -20 - x$；
(2)$\frac{1}{2}y - 6 = \frac{3}{4}y + 1$。
答案
解：(1)移项，得$3x-6x+x=-20-25$。
合并同类项，得$-2x=-45$。
系数化为1，得$x=\frac{45}{2}$。
(2)移项，得$\frac{1}{2}y-\frac{3}{4}y=1+6$。
合并同类项，得$-\frac{1}{4}y=7$。
系数化为1，得$y=-28$。
合并同类项，得$-2x=-45$。
系数化为1，得$x=\frac{45}{2}$。
(2)移项，得$\frac{1}{2}y-\frac{3}{4}y=1+6$。
合并同类项，得$-\frac{1}{4}y=7$。
系数化为1，得$y=-28$。
解析
【分析】
这两道题为解一元一次方程的基础题型，解题遵循通用步骤：首先进行移项，移项时注意改变符号，将含未知数的项全部移到等号左侧，常数项全部移到等号右侧；其次合并同类项，对等号两侧的同类项分别化简；最后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$3x-6x+x=-20-25$
合并同类项，得$-2x=-45$
系数化为1，得$x=\frac{45}{2}$
(2) 移项，得$\frac{1}{2}y-\frac{3}{4}y=1+6$
合并同类项，得$-\frac{1}{4}y=7$
系数化为1，得$y=-28$
【答案】
(1)$x=\frac{45}{2}$；(2)$y=-28$
【知识点】
解一元一次方程、移项法则、合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程解法的基础训练，核心考查移项时的变号规则，计算过程中要注意符号判断和分数运算的准确性，熟练掌握该类题型的解题步骤是后续求解复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
这两道题为解一元一次方程的基础题型，解题遵循通用步骤：首先进行移项，移项时注意改变符号，将含未知数的项全部移到等号左侧，常数项全部移到等号右侧；其次合并同类项，对等号两侧的同类项分别化简；最后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$3x-6x+x=-20-25$
合并同类项，得$-2x=-45$
系数化为1，得$x=\frac{45}{2}$
(2) 移项，得$\frac{1}{2}y-\frac{3}{4}y=1+6$
合并同类项，得$-\frac{1}{4}y=7$
系数化为1，得$y=-28$
【答案】
(1)$x=\frac{45}{2}$；(2)$y=-28$
【知识点】
解一元一次方程、移项法则、合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程解法的基础训练，核心考查移项时的变号规则，计算过程中要注意符号判断和分数运算的准确性，熟练掌握该类题型的解题步骤是后续求解复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
