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18. (6分)某同学在解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$去分母时，方程右边的－2没有乘3，求得方程的解为$x = 2$，试求$a$的值，并求出原方程正确的解。
答案
18. 解:根据题意,得$x=2$是方程$2x-1=x+a-2$的解.
把$x=2$代入上述方程,得$2×2-1=2+a-2$,
解得$a=3$.
把$a=3$代入原方程,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$,
整理,得$2x-1=x+3-6$,
解得$x=-2$.
把$x=2$代入上述方程,得$2×2-1=2+a-2$,
解得$a=3$.
把$a=3$代入原方程,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$,
整理,得$2x-1=x+3-6$,
解得$x=-2$.
解析
【分析】
解题时采用“将错就错”的思路：第一步，先还原该同学错误去分母后得到的方程，去分母时他仅给方程右边的$\frac{x+a}{3}$乘了3，-2没有乘3，因此错误方程为$2x-1=x+a-2$；第二步，已知$x=2$是这个错误方程的解，将$x=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第三步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤运算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：根据题意可知，$x=2$是错误去分母后所得方程$2x-1=x+a-2$的解。
将$x=2$代入$2x-1=x+a-2$，得：
$2×2 - 1 = 2 + a - 2$
计算解得$a=3$。
把$a=3$代入原方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 3}{3} - 2$
两边同时乘3去分母，得：
$2x - 1 = x + 3 - 6$
移项、合并同类项，得$x=-2$。
【答案】
$a$的值为3，原方程正确的解为$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类常规题型，核心解题思路是“将错就错”，先利用错解求出未知参数的值，再代入原方程求解，能很好地考查对一元一次方程解法及方程解的定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时采用“将错就错”的思路：第一步，先还原该同学错误去分母后得到的方程，去分母时他仅给方程右边的$\frac{x+a}{3}$乘了3，-2没有乘3，因此错误方程为$2x-1=x+a-2$；第二步，已知$x=2$是这个错误方程的解，将$x=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第三步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤运算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：根据题意可知，$x=2$是错误去分母后所得方程$2x-1=x+a-2$的解。
将$x=2$代入$2x-1=x+a-2$，得：
$2×2 - 1 = 2 + a - 2$
计算解得$a=3$。
把$a=3$代入原方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 3}{3} - 2$
两边同时乘3去分母，得：
$2x - 1 = x + 3 - 6$
移项、合并同类项，得$x=-2$。
【答案】
$a$的值为3，原方程正确的解为$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类常规题型，核心解题思路是“将错就错”，先利用错解求出未知参数的值，再代入原方程求解，能很好地考查对一元一次方程解法及方程解的定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
19. (6分)定义:若两个一元一次方程的解互为相反数,则称这两个方程互为和谐方程.判断一元一次方程 $x+1=3x-7$ 和 $\frac{x-2}{3}=2x+6$ 是否互为和谐方程.并说明理由.
答案
19. 解:两方程是互为和谐方程.理由如下:
解方程$x+1=3x-7$,得$x=4$.
解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$,得$x=-4$.
因为4和$-4$互为相反数,
所以,方程$x+1=3x-7$和$\frac{x-2}{3}=2x+6$互为和谐方程.
解方程$x+1=3x-7$,得$x=4$.
解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$,得$x=-4$.
因为4和$-4$互为相反数,
所以,方程$x+1=3x-7$和$\frac{x-2}{3}=2x+6$互为和谐方程.
解析
【分析】
要判断两个方程是否互为和谐方程，首先需紧扣“和谐方程”的定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程。因此解题思路为：先分别求出两个一元一次方程的解，再判断两个解是否互为相反数，最后根据判断结果得出结论即可。
【解析】
解：两个方程互为和谐方程，理由如下：
1. 求解方程$x+1=3x-7$：
移项，得$x-3x=-7-1$，
合并同类项，得$-2x=-8$，
系数化为1，得$x=4$。
2. 求解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$：
两边同时乘3去分母，得$x-2=6x+18$，
移项，得$x-6x=18+2$，
合并同类项，得$-5x=20$，
系数化为1，得$x=-4$。
由于4和$-4$互为相反数，符合和谐方程的定义，因此两个方程互为和谐方程。
【答案】
两方程互为和谐方程。理由：解方程$x+1=3x-7$得$x=4$，解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$得$x=-4$，4与$-4$互为相反数，故两方程互为和谐方程。
【知识点】
解一元一次方程；相反数的判定；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，既考查对新定义的解读运用能力，又考查一元一次方程的基础计算能力，解题关键是准确求出两个方程的解，再结合相反数的性质判断即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要判断两个方程是否互为和谐方程，首先需紧扣“和谐方程”的定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程。因此解题思路为：先分别求出两个一元一次方程的解，再判断两个解是否互为相反数，最后根据判断结果得出结论即可。
【解析】
解：两个方程互为和谐方程，理由如下：
1. 求解方程$x+1=3x-7$：
移项，得$x-3x=-7-1$，
合并同类项，得$-2x=-8$，
系数化为1，得$x=4$。
2. 求解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$：
两边同时乘3去分母，得$x-2=6x+18$，
移项，得$x-6x=18+2$，
合并同类项，得$-5x=20$，
系数化为1，得$x=-4$。
由于4和$-4$互为相反数，符合和谐方程的定义，因此两个方程互为和谐方程。
【答案】
两方程互为和谐方程。理由：解方程$x+1=3x-7$得$x=4$，解方程$\frac{x-2}{3}=2x+6$得$x=-4$，4与$-4$互为相反数，故两方程互为和谐方程。
【知识点】
解一元一次方程；相反数的判定；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，既考查对新定义的解读运用能力，又考查一元一次方程的基础计算能力，解题关键是准确求出两个方程的解，再结合相反数的性质判断即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
20. (6分)(2025和田地区期末)某市今年进行天然气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程若甲队单独做需要6天完成，若乙队单独做需要9天完成.若甲、乙两队同时施工2天，余下的工程由乙队单独完成，问：乙队还需要几天才能够完成任务？
答案
20. 解:设乙队还需要$x$天才能够完成任务.
根据题意,得
$\frac{2}{6}+\frac{2+x}{9}=1$,解得$x=4$.
答:乙队还需要4天才能够完成任务.
根据题意,得
$\frac{2}{6}+\frac{2+x}{9}=1$,解得$x=4$.
答:乙队还需要4天才能够完成任务.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常将总工作量看作单位“1”。首先计算两队的工作效率：甲队单独6天完成，工作效率为$\frac{1}{6}$/天；乙队单独9天完成，工作效率为$\frac{1}{9}$/天。本题的等量关系为：甲队施工2天的工作量 + 乙队全程施工的工作量 = 总工作量1，我们设乙队还需x天完成，根据等量关系列一元一次方程即可求解。
【解析】
解：设乙队还需要$x$天才能够完成任务。
根据题意列方程：
$\frac{2}{6}+\frac{2+x}{9}=1$
去分母，两边同时乘以18得：$6 + 2(2+x) = 18$
去括号得：$6 + 4 + 2x = 18$
移项、合并同类项得：$2x = 8$
系数化为1得：$x = 4$
经检验，$x=4$符合实际题意。
答：乙队还需要4天才能够完成任务。
【答案】
4天
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心解题思路是将总工作量设为单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的基本公式，结合各部分工作量之和等于总工作量的等量关系列方程求解，掌握基础等量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时通常将总工作量看作单位“1”。首先计算两队的工作效率：甲队单独6天完成，工作效率为$\frac{1}{6}$/天；乙队单独9天完成，工作效率为$\frac{1}{9}$/天。本题的等量关系为：甲队施工2天的工作量 + 乙队全程施工的工作量 = 总工作量1，我们设乙队还需x天完成，根据等量关系列一元一次方程即可求解。
【解析】
解：设乙队还需要$x$天才能够完成任务。
根据题意列方程：
$\frac{2}{6}+\frac{2+x}{9}=1$
去分母，两边同时乘以18得：$6 + 2(2+x) = 18$
去括号得：$6 + 4 + 2x = 18$
移项、合并同类项得：$2x = 8$
系数化为1得：$x = 4$
经检验，$x=4$符合实际题意。
答：乙队还需要4天才能够完成任务。
【答案】
4天
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心解题思路是将总工作量设为单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的基本公式，结合各部分工作量之和等于总工作量的等量关系列方程求解，掌握基础等量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
