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14. 在一个$3×3$的方格中填入9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样的$3×3$的方格称为一个三阶“幻方”. 如图67-G-3的方格中已填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶“幻方”，则$x$的值为
图67-G-3
$-5$
.图67-G-3
答案
14. $-5$
解析
【分析】
要解决三阶幻方求x的问题，核心利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”的性质解题。首先通过第二行的和与第三列的和相等的等量关系，消去共同的未知量求出中间位置的数，再结合对角线的和等于幻和求出第三行第一个数，最后利用第三行的和等于幻和列方程求解x即可。
【解析】
设该三阶幻方的幻和（每行、每列、对角线的三个数之和）为S，第二行第二列的数为m，第二行第三列的数为y，第三行第一列的数为a。
1. 求中间数m：
第二行的和为$1 + m + y = S$，第三列的和为$-2 + y + 3 = S$，因此可得等式：
$1 + m + y = -2 + y + 3$
化简得$1 + m + y = y + 1$，两边同时减去$(1+y)$，解得$m=0$。
2. 求第三行第一个数a：
观察从第一行第三列到第三行第一列的对角线，其和为S，因此：
$-2 + m + a = S$，结合幻和性质，过中间数的行/列/对角线和为S，可得$S=3m=0$，代入得$-2 + 0 + a =0$，解得$a=2$。
3. 求x的值：
第三行的和为S=0，因此：
$a + x + 3 = 0$，代入$a=2$，得$2 + x + 3 = 0$，解得$x=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程的应用；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住幻方的核心性质找到等量关系，先求出中间数作为突破口，再逐步推导其余未知量即可得到答案，计算量较小，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
要解决三阶幻方求x的问题，核心利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”的性质解题。首先通过第二行的和与第三列的和相等的等量关系，消去共同的未知量求出中间位置的数，再结合对角线的和等于幻和求出第三行第一个数，最后利用第三行的和等于幻和列方程求解x即可。
【解析】
设该三阶幻方的幻和（每行、每列、对角线的三个数之和）为S，第二行第二列的数为m，第二行第三列的数为y，第三行第一列的数为a。
1. 求中间数m：
第二行的和为$1 + m + y = S$，第三列的和为$-2 + y + 3 = S$，因此可得等式：
$1 + m + y = -2 + y + 3$
化简得$1 + m + y = y + 1$，两边同时减去$(1+y)$，解得$m=0$。
2. 求第三行第一个数a：
观察从第一行第三列到第三行第一列的对角线，其和为S，因此：
$-2 + m + a = S$，结合幻和性质，过中间数的行/列/对角线和为S，可得$S=3m=0$，代入得$-2 + 0 + a =0$，解得$a=2$。
3. 求x的值：
第三行的和为S=0，因此：
$a + x + 3 = 0$，代入$a=2$，得$2 + x + 3 = 0$，解得$x=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程的应用；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住幻方的核心性质找到等量关系，先求出中间数作为突破口，再逐步推导其余未知量即可得到答案，计算量较小，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
15. 某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船6 h. 已知船在静水中的速度是16 km/h，水流速度是4 km/h，若A，C两地之间的距离是4 km，则A，B两地之间的距离是
$42.5\ \mathrm{km}$或$47.5\ \mathrm{km}$
.答案
15. $42.5\ \mathrm{km}$或$47.5\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
这是流水行船类的一元一次方程应用问题，解题思路如下：1. 先根据流水行船速度公式计算顺流、逆流的实际行驶速度；2. 注意C地的位置存在两种可能性：①C地在A、B两地之间；②C地在A地的上游，需要分类讨论两种情况；3. 设A、B两地的距离为x km，分别表示出顺流从A到B的时间、逆流从B到C的时间，根据“总乘船时间为6h”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
首先计算行驶速度：
顺流速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度 = $16 + 4 = 20\ \mathrm{km/h}$
逆流速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度 = $16 - 4 = 12\ \mathrm{km/h}$
设A、B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$，分两种情况讨论：
情况1：C地在A、B两地之间，此时B、C两地的距离为$(x - 4)\ \mathrm{km}$
根据总时间列方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x - 4}{12} = 6$
两边同乘60去分母得：
$3x + 5(x - 4) = 360$
展开整理得：
$8x = 380$
解得：$x = 47.5$
情况2：C地在A地的上游，此时B、C两地的距离为$(x + 4)\ \mathrm{km}$
根据总时间列方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x + 4}{12} = 6$
两边同乘60去分母得：
$3x + 5(x + 4) = 360$
展开整理得：
$8x = 340$
解得：$x = 42.5$
两种情况均符合实际意义，均成立。
【答案】
$42.5\ \mathrm{km}$或$47.5\ \mathrm{km}$
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略C地位置的两种可能性，导致漏解。解题时要结合行程问题的基本公式，全面分析位置的所有可能情况，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.5
这是流水行船类的一元一次方程应用问题，解题思路如下：1. 先根据流水行船速度公式计算顺流、逆流的实际行驶速度；2. 注意C地的位置存在两种可能性：①C地在A、B两地之间；②C地在A地的上游，需要分类讨论两种情况；3. 设A、B两地的距离为x km，分别表示出顺流从A到B的时间、逆流从B到C的时间，根据“总乘船时间为6h”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
首先计算行驶速度：
顺流速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度 = $16 + 4 = 20\ \mathrm{km/h}$
逆流速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度 = $16 - 4 = 12\ \mathrm{km/h}$
设A、B两地之间的距离为$x\ \mathrm{km}$，分两种情况讨论：
情况1：C地在A、B两地之间，此时B、C两地的距离为$(x - 4)\ \mathrm{km}$
根据总时间列方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x - 4}{12} = 6$
两边同乘60去分母得：
$3x + 5(x - 4) = 360$
展开整理得：
$8x = 380$
解得：$x = 47.5$
情况2：C地在A地的上游，此时B、C两地的距离为$(x + 4)\ \mathrm{km}$
根据总时间列方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x + 4}{12} = 6$
两边同乘60去分母得：
$3x + 5(x + 4) = 360$
展开整理得：
$8x = 340$
解得：$x = 42.5$
两种情况均符合实际意义，均成立。
【答案】
$42.5\ \mathrm{km}$或$47.5\ \mathrm{km}$
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略C地位置的两种可能性，导致漏解。解题时要结合行程问题的基本公式，全面分析位置的所有可能情况，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共55分)
16. (6分)解下列一元一次方程：
(1)$3(x+1)-(3x-2)=4(x-5)$；
(2)(2025乌鲁木齐期末)$\frac{2x-3}{3}+1=\frac{x-1}{2}$。
16. (6分)解下列一元一次方程：
(1)$3(x+1)-(3x-2)=4(x-5)$；
(2)(2025乌鲁木齐期末)$\frac{2x-3}{3}+1=\frac{x-1}{2}$。
答案
16. 解:(1)去括号,得 $3x+3-3x+2=4x-20$.
移项、合并同类项,得$-4x=-25$.
系数化为1,得 $x=\frac{25}{4}$.
(2)去分母,得 $2(2x-3)+6=3(x-1)$,
去括号,得 $4x-6+6=3x-3$,
移项、合并同类项,得 $x=-3$.
移项、合并同类项,得$-4x=-25$.
系数化为1,得 $x=\frac{25}{4}$.
(2)去分母,得 $2(2x-3)+6=3(x-1)$,
去括号,得 $4x-6+6=3x-3$,
移项、合并同类项,得 $x=-3$.
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的求解，需按照解一元一次方程的常规步骤逐步计算：
(1) 对于带括号的方程，首先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且不要漏乘括号前的系数；去括号后将含x的项移到方程一侧，常数项移到另一侧，合并同类项后将x的系数化为1即可得到解。
(2) 对于含分母的方程，首先根据等式的性质去分母，两边同时乘所有分母的最小公倍数，注意常数项也要乘，不能漏乘；之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 去括号，得 $3x+3-3x+2=4x-20$
移项、合并同类项，得 $-4x=-25$
系数化为1，得 $x=\frac{25}{4}$
(2) 去分母，得 $2(2x-3)+6=3(x-1)$
去括号，得 $4x-6+6=3x-3$
移项、合并同类项，得 $x=-3$
【答案】
(1) $x=\frac{25}{4}$；(2) $x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，等式的基本性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去括号时的符号变化、去分母时常数项不要漏乘，养成验算的习惯可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程的求解，需按照解一元一次方程的常规步骤逐步计算：
(1) 对于带括号的方程，首先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且不要漏乘括号前的系数；去括号后将含x的项移到方程一侧，常数项移到另一侧，合并同类项后将x的系数化为1即可得到解。
(2) 对于含分母的方程，首先根据等式的性质去分母，两边同时乘所有分母的最小公倍数，注意常数项也要乘，不能漏乘；之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 去括号，得 $3x+3-3x+2=4x-20$
移项、合并同类项，得 $-4x=-25$
系数化为1，得 $x=\frac{25}{4}$
(2) 去分母，得 $2(2x-3)+6=3(x-1)$
去括号，得 $4x-6+6=3x-3$
移项、合并同类项，得 $x=-3$
【答案】
(1) $x=\frac{25}{4}$；(2) $x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，等式的基本性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去括号时的符号变化、去分母时常数项不要漏乘，养成验算的习惯可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
17. (6分)已知方程$2-3(x+1)=0$的解与关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-2=2x$的解互为倒数，求$k$的值.
答案
17. 解:解方程$2-3(x+1)=0$,得 $x=-\frac{1}{3}$.
因为两方程的解互为倒数，
所以关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-2=2x$的解为$x=-3$.
把$x=-3$代入$\frac{k+x}{2}-2=2x$,得$\frac{k-3}{2}-2=-6$,
解得$k=-5$.
因为两方程的解互为倒数，
所以关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-2=2x$的解为$x=-3$.
把$x=-3$代入$\frac{k+x}{2}-2=2x$,得$\frac{k-3}{2}-2=-6$,
解得$k=-5$.
解析
【分析】
解题时先求解不含参数的一元一次方程$2-3(x+1)=0$，得到它的解后，根据“两方程的解互为倒数”的条件，算出第二个方程的解，再将该解代入含参数$k$的方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
解：先解方程$2-3(x+1)=0$，
移项得：$3(x+1)=2$，
两边同时除以3得：$x+1=\frac{2}{3}$，
解得：$x=-\frac{1}{3}$。
因为两个方程的解互为倒数，$-\frac{1}{3}$的倒数是$-3$，所以方程$\frac{k+x}{2}-2=2x$的解为$x=-3$。
将$x=-3$代入$\frac{k+x}{2}-2=2x$，得：
$\frac{k-3}{2}-2=2×(-3)$，
即$\frac{k-3}{2}-2=-6$，
两边同时乘2去分母得：$k-3-4=-12$，
移项合并同类项得：$k=-5$。
【答案】
$k=-5$
【知识点】
一元一次方程的解法；倒数的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用已知条件建立参数和已知方程解的关联，解题时注意计算的准确性，尤其是代入求值、去分母的步骤不要出错。
【难度系数】
0.85
解题时先求解不含参数的一元一次方程$2-3(x+1)=0$，得到它的解后，根据“两方程的解互为倒数”的条件，算出第二个方程的解，再将该解代入含参数$k$的方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
解：先解方程$2-3(x+1)=0$，
移项得：$3(x+1)=2$，
两边同时除以3得：$x+1=\frac{2}{3}$，
解得：$x=-\frac{1}{3}$。
因为两个方程的解互为倒数，$-\frac{1}{3}$的倒数是$-3$，所以方程$\frac{k+x}{2}-2=2x$的解为$x=-3$。
将$x=-3$代入$\frac{k+x}{2}-2=2x$，得：
$\frac{k-3}{2}-2=2×(-3)$，
即$\frac{k-3}{2}-2=-6$，
两边同时乘2去分母得：$k-3-4=-12$，
移项合并同类项得：$k=-5$。
【答案】
$k=-5$
【知识点】
一元一次方程的解法；倒数的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用已知条件建立参数和已知方程解的关联，解题时注意计算的准确性，尤其是代入求值、去分母的步骤不要出错。
【难度系数】
0.85
