1. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B=7:2$，则$∠ C$，$∠ D$的度数分别是 （）

A.$70°,20°$
B.$280°,80°$
C.$40°,140°$
D.$140°,40°$

1.D

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的角的相关性质：一是平行四边形邻角互补，二是平行四边形对角相等。已知∠A与∠B的比例关系，且二者是平行四边形的邻角，和为180°，因此可以先设未知数求出∠A、∠B的度数，再根据对角相等的性质直接得到∠C、∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC，∠A=∠C，∠B=∠D
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
设∠A=7x，∠B=2x，代入得：
7x + 2x = 180°
解得x=20°
∴ ∠A=7×20°=140°，∠B=2×20°=40°
∴ ∠C=∠A=140°，∠D=∠B=40°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握平行四边形角的相关性质，结合比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.已知三角形三边长分别为7 cm，8 cm，9 cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共作了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（）

A.46.5 cm
B.22.5 cm
C.23.25 cm
D.以上都不对

2.C

【分析】
首先回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线长度等于它所对应第三边长度的一半，因此由三条中位线组成的新三角形的周长是原三角形周长的$\frac{1}{2}$。解题时先算出原三角形的周长，再依次得到5个新三角形的周长，最后相加求和即可得到结果。
【解析】
第一步：计算原三角形的周长
原三角形三边长为7cm、8cm、9cm，周长为 $7+8+9=24\ \mathrm{cm}$。
第二步：根据中位线性质推导新三角形周长规律
由三角形中位线定理可知，每次新作出的中位线三角形周长是上一个三角形周长的$\frac{1}{2}$：
第1个新三角形周长：$24×\frac{1}{2}=12\ \mathrm{cm}$
第2个新三角形周长：$24×(\frac{1}{2})^2=6\ \mathrm{cm}$
第3个新三角形周长：$24×(\frac{1}{2})^3=3\ \mathrm{cm}$
第4个新三角形周长：$24×(\frac{1}{2})^4=1.5\ \mathrm{cm}$
第5个新三角形周长：$24×(\frac{1}{2})^5=0.75\ \mathrm{cm}$
第三步：求和
五个新三角形周长之和为 $12+6+3+1.5+0.75=23.25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；周长计算；规律探究
【点评】
本题核心是利用三角形中位线性质得到新三角形周长与原周长的比例关系，解题时要注意所求的是5个新三角形的周长和，不要误将原三角形周长计入。
【难度系数】
0.7

3.如图1，在$□ ABCD$中，$BD=DC$，$∠ C=70°$，$AE⊥ BD$于点$E$，则$∠ DAE$等于（）


A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

3.A

【分析】
解题可按三步思考：第一步，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知BD=DC、∠C=70°，求出∠DBC的度数；第二步，利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，由“两直线平行，内错角相等”求出∠ADB的度数；第三步，结合AE⊥BD得到直角三角形AED，根据直角三角形两锐角互余的性质，即可算出∠DAE的度数。
【解析】
解：
1. 已知$BD=DC$，$△ BDC$为等腰三角形，根据等边对等角可得：$∠ DBC=∠ C=70°$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等可得：$∠ ADB=∠ DBC=70°$。
3. 因为$AE⊥ BD$，所以$∠ AED=90°$，在$Rt△ AED$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ DAE=90°-∠ ADB=90°-70°=20°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行四边形、等腰三角形、直角三角形的性质结合考查，解题核心是通过平行线的性质实现角度的转化，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.8

4. 两条邻边长分别是15 cm和20 cm的平行四边形，最大面积是 （）
$A. 75 cm^2$
$B. 150 cm^2$
$C. 300 cm^2$
$D. 200 cm^2$

4.C

【分析】
要解决平行四边形最大面积的问题，首先回忆平行四边形的面积公式：面积=底×高。我们可以任选一条邻边作为底，比如选20cm为底，此时底对应的高是对边向底边作的垂线段，根据垂线段最短的性质，高的长度不会超过另一条邻边15cm，只有当平行四边形的邻边互相垂直时（即成为矩形，矩形是特殊的平行四边形），高的长度等于15cm，此时面积最大，据此计算即可。
【解析】
平行四边形的面积计算公式为：$ S = 底 × 高 $。
若以长度20cm的边为底，根据垂线段最短的性质，这条底对应的高最大只能等于另一条邻边的长度15cm，此时平行四边形邻边互相垂直，为矩形（属于特殊的平行四边形）。
代入公式计算最大面积：$ S = 20 × 15 = 300 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积计算；垂线段最短；矩形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的面积最值判断，解题的关键是明确当平行四边形邻边垂直时，高达到最大值，此时面积最大，易错点是忽略矩形是特殊的平行四边形，找不到高的最大值。
【难度系数】
0.7

5.若$□ ABCD$的周长是30 cm，$AB:BC=2:3$，则$AB=$ cm.

5.6

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形两组对边分别相等，因此其周长等于相邻两边长度和的2倍。已知周长可先求出AB与BC的和，再结合AB和BC的比例关系，通过设未知数或者按比例分配的方法就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD（平行四边形对边相等）
∵平行四边形ABCD的周长为30 cm
∴$2(AB+BC)=30\ \mathrm{cm}$，化简得$AB+BC=15\ \mathrm{cm}$
又
∵$AB:BC=2:3$
设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=3x\ \mathrm{cm}$，代入上式得：
$2x+3x=15$
解得$x=3$
∴$AB=2x=2×3=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6
【知识点】
平行四边形对边相等，按比例分配，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，考查平行四边形边的性质与比例计算的结合应用，熟练掌握平行四边形的基本性质，结合周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6.在$△ ABC$的中线$BD$上任意取一点$E$，延长$BE$至点$F$，使$DF=DE$，那么四边形$AECF$是，理由是.

6. 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形

【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义，可得到AC的中点为D，即AD=DC；再结合题目给出的DF=DE，可知四边形AECF的两条对角线AC、EF互相平分，再联系平行四边形的判定定理，即可得出四边形的形状。
【解析】
∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，即AD=CD。
又
∵DF=DE，
∴四边形AECF的对角线AC和EF互相平分，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形AECF是平行四边形。
【答案】
平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】
三角形中线的定义；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要结合三角形中线的性质考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7.如图2，已知在$□ ABCD$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm.

7.3

【分析】
解题时先从已知的平行四边形条件入手，回忆平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD=BC、AB=CD，且AB与CD平行；再结合角平分线的定义得到相等的角，利用平行线的内错角相等推导得出等腰三角形，得到CF与BC的等量关系，最后用CF的长度减去CD的长度即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC=8cm，AB=CD=5cm，
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠F（等量代换），
∴CF=BC=8cm（等角对等边），
∵点F在CD的延长线上，
∴DF=CF - CD=8 - 5=3cm。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用“平行线+角平分线”的常见组合模型推导等腰三角形，熟练掌握平行四边形和等腰三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8.如图 3,在$□ ABCD$中,AC,BD 交于点 O,△AOB 的周长是 15 cm,BD=6 cm,AB+CD=14 cm,则 AC=cm.

8.10

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的核心性质：对边相等、对角线互相平分。第一步，利用平行四边形对边相等的性质，结合已知条件AB+CD=14cm，可求出AB的长度；第二步，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由BD=6cm求出OB的长度；第三步，结合△AOB的周长为15cm，代入已求出的AB、OB的长度，计算出AO的长度；最后根据对角线互相平分的性质，AC=2AO，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵AB+CD=14cm，
∴AB=CD=7cm。
∵BD=6cm，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=3cm。
∵△AOB的周长为15cm，即$OA + OB + AB =15\mathrm{cm}$，
将OB=3cm，AB=7cm代入得：$OA + 3 + 7 =15$，
解得$OA=5\mathrm{cm}$。
∴$AC=2OA=2×5=10\mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形基本性质的直接应用，解题核心是熟练掌握平行四边形边和对角线的相关性质，结合三角形周长的定义逐步推导即可求解，没有复杂变形，主要考查学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8

9.如图4，已知在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点E，$AF⊥ CD$于点F。若$∠ EAF=60°$，$BE=2\ \mathrm{cm}$，$FD=3\ \mathrm{cm}$，求AB，BC的长和$□ ABCD$的面积。

9.$AB=4\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},S_{□ABCD}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用四边形内角和与平行四边形的角的性质求内角：已知AE、AF是平行四边形的两条高，∠EAF=60°，在四边形AECF中，有两个直角，结合四边形内角和360°可算出∠C的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠B和∠D的度数；第二步，利用特殊直角三角形的性质求边长：在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠B、∠D均为60°，可得两个直角三角形中都存在30°的锐角，根据“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”，可分别求出AB、AD的长度，再由平行四边形对边相等得到BC的长；第三步，用勾股定理求出高AE的长度，用底乘高即可算出平行四边形的面积。
【解析】
解：
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴∠AEC=∠AFC=90°
在四边形AECF中，∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-60°-90°-90°=120°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D=180°-∠C=60°，BC=AD
在Rt△ABE中，∠B=60°，则∠BAE=30°
∴AB=2BE=2×2=4(cm)
在Rt△ADF中，∠D=60°，则∠DAF=30°
∴AD=2FD=2×3=6(cm)，即BC=6cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$(cm)
∴平行四边形ABCD的面积：$S_{□ABCD}=BC· AE=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$(cm²)
【答案】
$AB=4\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},S_{□ABCD}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与特殊直角三角形的综合基础题，解题关键是通过已知角度推导得到直角三角形中的30°特殊角，再结合相关性质求解，需要熟练掌握平行四边形的边、角特征和特殊直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.7