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10. 四边形ABCD中,若①∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°;②∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°;③∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°;④∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
10.B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题核心是结合“同旁内角互补，两直线平行”的性质，判断每个条件能否推出两组对边分别平行（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），无法直接推导的可通过举反例验证是否成立，逐个分析4个条件即可得到答案。
【解析】
我们结合平行线判定和平行四边形的判定定理逐个分析条件：
1. 对于条件①：∠A和∠B是AD、BC被AB所截形成的同旁内角，∠A+∠B=180°可推出AD//BC；∠C和∠D是AD、BC被CD所截形成的同旁内角，∠C+∠D=180°也只能推出AD//BC，仅得到一组对边平行，可能是梯形，无法判定是平行四边形，①不符合要求。
2. 对于条件②：∠A和∠D是AB、CD被AD所截形成的同旁内角，∠A+∠D=180°可推出AB//CD；∠B和∠C是AB、CD被BC所截形成的同旁内角，∠B+∠C=180°也只能推出AB//CD，仅得到一组对边平行，可能是梯形，无法判定是平行四边形，②不符合要求。
3. 对于条件③：∠A+∠B=180°可推出AD//BC；∠B和∠C是AB、CD被BC所截形成的同旁内角，∠B+∠C=180°可推出AB//CD，两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形，③符合要求。
4. 对于条件④：对角互补的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形的对角就互补，但它不是平行四边形，因此④无法判定是平行四边形。
综上，只有1个条件符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础的平行四边形判定类题目，解题时要注意区分邻角互补和对角互补的不同推导结论，熟练掌握平行四边形的判定定理是得分的关键，遇到难以直接推导的选项时，可以通过举反例的方法快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题核心是结合“同旁内角互补，两直线平行”的性质，判断每个条件能否推出两组对边分别平行（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），无法直接推导的可通过举反例验证是否成立，逐个分析4个条件即可得到答案。
【解析】
我们结合平行线判定和平行四边形的判定定理逐个分析条件：
1. 对于条件①：∠A和∠B是AD、BC被AB所截形成的同旁内角，∠A+∠B=180°可推出AD//BC；∠C和∠D是AD、BC被CD所截形成的同旁内角，∠C+∠D=180°也只能推出AD//BC，仅得到一组对边平行，可能是梯形，无法判定是平行四边形，①不符合要求。
2. 对于条件②：∠A和∠D是AB、CD被AD所截形成的同旁内角，∠A+∠D=180°可推出AB//CD；∠B和∠C是AB、CD被BC所截形成的同旁内角，∠B+∠C=180°也只能推出AB//CD，仅得到一组对边平行，可能是梯形，无法判定是平行四边形，②不符合要求。
3. 对于条件③：∠A+∠B=180°可推出AD//BC；∠B和∠C是AB、CD被BC所截形成的同旁内角，∠B+∠C=180°可推出AB//CD，两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形，③符合要求。
4. 对于条件④：对角互补的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形的对角就互补，但它不是平行四边形，因此④无法判定是平行四边形。
综上，只有1个条件符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础的平行四边形判定类题目，解题时要注意区分邻角互补和对角互补的不同推导结论，熟练掌握平行四边形的判定定理是得分的关键，遇到难以直接推导的选项时，可以通过举反例的方法快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
11.如图5,在$□ ABCD$中,E,F分别是AB,AC的中点,如果$EF=2$,那么AD等于
（
A.1
B.2
C.3
D.4
（
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：E、F分别是AB、AC的中点，由此可联想到三角形中位线定理，先通过中位线与第三边的数量关系求出BC的长度，再结合平行四边形对边相等的性质，即可得到AD的长度。
【解析】
∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}BC$，
已知$EF=2$，代入得：$BC=2EF=2×2=4$，
又
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴$AD=BC=4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，将三角形中位线定理和平行四边形的性质结合考察，解题的关键是准确识别出图中的中位线，掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：E、F分别是AB、AC的中点，由此可联想到三角形中位线定理，先通过中位线与第三边的数量关系求出BC的长度，再结合平行四边形对边相等的性质，即可得到AD的长度。
【解析】
∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}BC$，
已知$EF=2$，代入得：$BC=2EF=2×2=4$，
又
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴$AD=BC=4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，将三角形中位线定理和平行四边形的性质结合考察，解题的关键是准确识别出图中的中位线，掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.如图6，D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的中点，若AB＝7，BC＝6，AC＝5，求△DEF的周长。
图6
图6答案
12.9
解析
【分析】
本题已知△ABC三边的长度及各边上的中点，要求中点连接形成的△DEF的周长。解题时首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。首先判断△DEF的三条边均为△ABC的中位线，因此△DEF的三边分别对应△ABC三边长的一半，既可以分别求出三条中位线长度再求和，也可以先计算原三角形的周长，再取一半得到△DEF的周长。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据中位线定理得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
同理，E、F是AC、BC的中点，得$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5$；
D、F是AB、BC的中点，得$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
因此△DEF的周长为$DE+EF+DF=3+3.5+2.5=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用三角形中位线定理建立中点三角形与原三角形的边长关系，熟练掌握中位线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题已知△ABC三边的长度及各边上的中点，要求中点连接形成的△DEF的周长。解题时首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。首先判断△DEF的三条边均为△ABC的中位线，因此△DEF的三边分别对应△ABC三边长的一半，既可以分别求出三条中位线长度再求和，也可以先计算原三角形的周长，再取一半得到△DEF的周长。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据中位线定理得$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
同理，E、F是AC、BC的中点，得$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5$；
D、F是AB、BC的中点，得$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
因此△DEF的周长为$DE+EF+DF=3+3.5+2.5=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用三角形中位线定理建立中点三角形与原三角形的边长关系，熟练掌握中位线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.如图7,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线BE交AD于点E,$∠ BCD$的平分线CF交AD于点F,交BE于点G,$AD=6$,$EF=3$.求AF的长度.
答案
13.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推导出两组等角，进而得到等腰三角形，得出AE=AB、DF=CD；再根据平行四边形对边相等可知AB=CD，因此AE=DF；最后结合AD上点的排列顺序，梳理线段的和差关系，代入已知数值即可求出AF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE。
同理，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴CD=DF。
∵AB=CD，
∴AE=DF。
由图可知AD上点的顺序为A、F、E、D，因此：
AE=AF+EF，DF=DE+EF，
∴AF+EF=DE+EF，即AF=DE。
又
∵AD=AF+EF+DE=6，EF=3，
∴AF+DE=6-3=3，
将AF=DE代入得2AF=3，
解得AF=$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形与角平分线、等腰三角形结合的典型题型，解题的核心是掌握“平行线+角平分线可得等腰三角形”这一常用结论，再通过线段的和差关系建立等式求解，注重对几何图形中线段数量关系的分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推导出两组等角，进而得到等腰三角形，得出AE=AB、DF=CD；再根据平行四边形对边相等可知AB=CD，因此AE=DF；最后结合AD上点的排列顺序，梳理线段的和差关系，代入已知数值即可求出AF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE。
同理，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴CD=DF。
∵AB=CD，
∴AE=DF。
由图可知AD上点的顺序为A、F、E、D，因此：
AE=AF+EF，DF=DE+EF，
∴AF+EF=DE+EF，即AF=DE。
又
∵AD=AF+EF+DE=6，EF=3，
∴AF+DE=6-3=3，
将AF=DE代入得2AF=3，
解得AF=$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形与角平分线、等腰三角形结合的典型题型，解题的核心是掌握“平行线+角平分线可得等腰三角形”这一常用结论，再通过线段的和差关系建立等式求解，注重对几何图形中线段数量关系的分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
14.如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D,E分别为AB,BC的中点,点F在AC的延长线上,$∠ FEC=∠ B$.
(1)$CF=DE$吗?请说明理由;
(2)若$AC=6$,$AB=10$,求四边形DCFE的面积.
(1)$CF=DE$吗?请说明理由;
(2)若$AC=6$,$AB=10$,求四边形DCFE的面积.
答案
14.(1)$CF=DE$.理由略. (2)12
解析
【分析】
(1)要证明CF=DE，可通过证四边形DCFE是平行四边形推导：先利用三角形中位线性质得到DE与AC的平行关系，再结合直角三角形斜边中线的性质推出角相等，进而得到DC与EF平行，即可判定四边形为平行四边形，得到对边相等的结论；
(2)先利用勾股定理求出BC的长度，再结合中位线性质得到DE、EC的长度，利用平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) $CF=DE$，理由如下：
∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE// AC$，即$DE// CF$，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB中点，
∴$CD=BD$，
∴$∠ B=∠ DCE$。
又
∵$∠ FEC=∠ B$，
∴$∠ FEC=∠ DCE$，
∴$DC// EF$。
∵$DE// CF$，$DC// EF$，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴$CF=DE$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$AB=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=4$。
∵DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AC=3$，
又
∵$DE// AC$，$∠ ACB=90°$即$BC⊥ AC$，
∴$DE⊥ BC$。
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴$S_{四边形DCFE}=DE· EC=3×4=12$。
【答案】
(1)$CF=DE$，理由见解析；(2)$12$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形中位线、平行四边形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，通过角的等量关系判定平行四边形。
【难度系数】
0.7
(1)要证明CF=DE，可通过证四边形DCFE是平行四边形推导：先利用三角形中位线性质得到DE与AC的平行关系，再结合直角三角形斜边中线的性质推出角相等，进而得到DC与EF平行，即可判定四边形为平行四边形，得到对边相等的结论；
(2)先利用勾股定理求出BC的长度，再结合中位线性质得到DE、EC的长度，利用平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) $CF=DE$，理由如下：
∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE// AC$，即$DE// CF$，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB中点，
∴$CD=BD$，
∴$∠ B=∠ DCE$。
又
∵$∠ FEC=∠ B$，
∴$∠ FEC=∠ DCE$，
∴$DC// EF$。
∵$DE// CF$，$DC// EF$，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴$CF=DE$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$AB=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=4$。
∵DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AC=3$，
又
∵$DE// AC$，$∠ ACB=90°$即$BC⊥ AC$，
∴$DE⊥ BC$。
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴$S_{四边形DCFE}=DE· EC=3×4=12$。
【答案】
(1)$CF=DE$，理由见解析；(2)$12$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形中位线、平行四边形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，通过角的等量关系判定平行四边形。
【难度系数】
0.7
