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10.如图6，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是
$18°$
。答案
10.$18°$
解析
【分析】
解题时首先观察图形中的多个中点条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。先分别推出PE、PF和AD、BC的数量关系，结合已知AD=BC得到PE=PF，从而判定△PEF为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠PFE的度数。
【解析】
∵ P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴ PE是△ABD的中位线，
∴ PE = $\frac{1}{2}$AD。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴ PF是△BCD的中位线，
∴ PF = $\frac{1}{2}$BC。
又
∵ AD=BC，
∴ PE=PF，即△PEF是等腰三角形，
∴ ∠PFE=∠PEF=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形中位线和等腰三角形性质的基础综合题，解题的突破口是根据中点条件构造中位线，通过线段等量关系得到等腰三角形，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形中的多个中点条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。先分别推出PE、PF和AD、BC的数量关系，结合已知AD=BC得到PE=PF，从而判定△PEF为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠PFE的度数。
【解析】
∵ P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴ PE是△ABD的中位线，
∴ PE = $\frac{1}{2}$AD。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴ PF是△BCD的中位线，
∴ PF = $\frac{1}{2}$BC。
又
∵ AD=BC，
∴ PE=PF，即△PEF是等腰三角形，
∴ ∠PFE=∠PEF=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形中位线和等腰三角形性质的基础综合题，解题的突破口是根据中点条件构造中位线，通过线段等量关系得到等腰三角形，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
11.如图7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则图中的平行四边形有
3
个.图中全等的三角形是$△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$
.答案
11.3 $△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“D、E、F是△ABC三边中点”入手，首先回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
1. 找平行四边形：利用中位线的平行性质，找两组对边分别平行的四边形即可；
2. 找全等三角形：根据中位线的长度性质，可得四个小三角形的对应边都相等，结合SSS全等判定即可得出结论。
【解析】
已知点D、E、F分别是△ABC三边BC、AC、AB的中点，因此EF、FD、DE都是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理可得：
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=DC$；
$FD// AC$，$FD=\frac{1}{2}AC=AE=EC$；
$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=FB$。
计算平行四边形个数：
1. 由$EF// BD$，$BF// DE$，可得四边形FBDE是平行四边形；
2. 由$EF// DC$，$DF// EC$，可得四边形FDCE是平行四边形；
3. 由$DF// AE$，$AF// DE$，可得四边形AFDE是平行四边形；
因此共有3个平行四边形。
找全等三角形：
根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，可得：
$△ AFE≌△ DEF$，$△ FBD≌△ DEF$，$△ EDC≌△ DEF$，
因此$△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$。
【答案】
3；$△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对三角形中位线性质的灵活运用，掌握中位线的位置和数量关系，结合平行四边形、全等三角形的判定规则就能顺利解题，是三角形与四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“D、E、F是△ABC三边中点”入手，首先回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
1. 找平行四边形：利用中位线的平行性质，找两组对边分别平行的四边形即可；
2. 找全等三角形：根据中位线的长度性质，可得四个小三角形的对应边都相等，结合SSS全等判定即可得出结论。
【解析】
已知点D、E、F分别是△ABC三边BC、AC、AB的中点，因此EF、FD、DE都是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理可得：
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=DC$；
$FD// AC$，$FD=\frac{1}{2}AC=AE=EC$；
$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=FB$。
计算平行四边形个数：
1. 由$EF// BD$，$BF// DE$，可得四边形FBDE是平行四边形；
2. 由$EF// DC$，$DF// EC$，可得四边形FDCE是平行四边形；
3. 由$DF// AE$，$AF// DE$，可得四边形AFDE是平行四边形；
因此共有3个平行四边形。
找全等三角形：
根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，可得：
$△ AFE≌△ DEF$，$△ FBD≌△ DEF$，$△ EDC≌△ DEF$，
因此$△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$。
【答案】
3；$△ AFE≌△ FBD≌△ EDC≌△ DEF$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对三角形中位线性质的灵活运用，掌握中位线的位置和数量关系，结合平行四边形、全等三角形的判定规则就能顺利解题，是三角形与四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
12.如图8是某城市部分街道的示意图，其中$AF // BC$，$EC ⊥ BC$，$BA // DE$，$BD // AE$。甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是$B \to A \to E \to F$；乙乘2路车，路线是$B \to D \to C \to F$。假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？
答案
12.同时到
解析
【分析】
要判断谁先到达F站，已知两车速度和途中耽误时间均相同，因此只需比较两人所走路线的总长度是否相等即可。首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形ABDE是平行四边形，得到AE=BD、AB=DE，此时甲乙路程已有两组对应线段相等，只需证明剩余的EF=CF、DE=DC即可。结合AF//BC、EC⊥BC可得AF⊥EC，再利用平行四边形对角线互相平分得到D是BE中点，在Rt△BEC中用直角三角形斜边中线的性质得到DC=DE，最后由等腰三角形三线合一推出F是EC中点，即EF=CF，即可推出两人路程相等。
【解析】
解：
∵BA//DE，BD//AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，AE=BD，且对角线AD、BE交于D，即D是BE的中点。
∵AF//BC，EC⊥BC，
∴AF⊥EC，即DF⊥EC。
在Rt△BEC中，D是斜边BE的中点，
∴DC = ½BE = DE，即△DEC为等腰三角形。
又
∵DF⊥EC，
∴F是EC的中点，即EF=CF。
甲的路程为：BA + AE + EF = DE + BD + CF，
乙的路程为：BD + DC + CF = BD + DE + CF，
∴两人的总路程相等。
又
∵两车速度相同，途中耽误时间相同，
∴两人同时到达F站。
【答案】
同时到
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的综合运用，解题的核心是将时间比较转化为路程比较，再依次运用平行四边形、直角三角形、等腰三角形的性质推导线段的等量关系，能很好地考查学生对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断谁先到达F站，已知两车速度和途中耽误时间均相同，因此只需比较两人所走路线的总长度是否相等即可。首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形ABDE是平行四边形，得到AE=BD、AB=DE，此时甲乙路程已有两组对应线段相等，只需证明剩余的EF=CF、DE=DC即可。结合AF//BC、EC⊥BC可得AF⊥EC，再利用平行四边形对角线互相平分得到D是BE中点，在Rt△BEC中用直角三角形斜边中线的性质得到DC=DE，最后由等腰三角形三线合一推出F是EC中点，即EF=CF，即可推出两人路程相等。
【解析】
解：
∵BA//DE，BD//AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，AE=BD，且对角线AD、BE交于D，即D是BE的中点。
∵AF//BC，EC⊥BC，
∴AF⊥EC，即DF⊥EC。
在Rt△BEC中，D是斜边BE的中点，
∴DC = ½BE = DE，即△DEC为等腰三角形。
又
∵DF⊥EC，
∴F是EC的中点，即EF=CF。
甲的路程为：BA + AE + EF = DE + BD + CF，
乙的路程为：BD + DC + CF = BD + DE + CF，
∴两人的总路程相等。
又
∵两车速度相同，途中耽误时间相同，
∴两人同时到达F站。
【答案】
同时到
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的综合运用，解题的核心是将时间比较转化为路程比较，再依次运用平行四边形、直角三角形、等腰三角形的性质推导线段的等量关系，能很好地考查学生对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图9，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.求CE的长.
答案
13.$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推出△BCE为等腰三角形，得到BC=BE=5，进而得到AD=5；其次观察△AED的三边长，利用勾股定理逆定理可判定△AED是直角三角形，得到DE⊥AB，再结合AB//CD的性质推出DE⊥CD，得到Rt△EDC；最后先求出CD的长度，再用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5。
在△AED中，EA=3，ED=4，AD=5，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$EA^2+ED^2=AD^2$，
∴△AED是直角三角形，∠AED=90°，即DE⊥AB，
∵AB//CD，
∴DE⊥CD，即∠EDC=90°。
又
∵CD=AB=EA+EB=3+5=8，ED=4，
∴在Rt△EDC中，
$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类基础题，将平行四边形性质、等腰三角形判定、勾股定理相关知识结合考查，解题的突破口是利用“角平分线+平行线”的常见组合推出等腰三角形，再通过勾股定理逆定理得到直角，进而用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推出△BCE为等腰三角形，得到BC=BE=5，进而得到AD=5；其次观察△AED的三边长，利用勾股定理逆定理可判定△AED是直角三角形，得到DE⊥AB，再结合AB//CD的性质推出DE⊥CD，得到Rt△EDC；最后先求出CD的长度，再用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5。
在△AED中，EA=3，ED=4，AD=5，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$EA^2+ED^2=AD^2$，
∴△AED是直角三角形，∠AED=90°，即DE⊥AB，
∵AB//CD，
∴DE⊥CD，即∠EDC=90°。
又
∵CD=AB=EA+EB=3+5=8，ED=4，
∴在Rt△EDC中，
$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类基础题，将平行四边形性质、等腰三角形判定、勾股定理相关知识结合考查，解题的突破口是利用“角平分线+平行线”的常见组合推出等腰三角形，再通过勾股定理逆定理得到直角，进而用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
14.如图10,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形;
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
答案
14.(1)略 (2)略 (3)$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证BE=CD，结合平行四边形对边相等的性质，可先证BE=AB；已知AE平分∠BAD，结合平行四边形AD//BE的性质，可推出∠BAE=∠BEA，利用等角对等边得BE=AB，等量代换即可得证。
(2) 要证四边形ACED是平行四边形，已知AD//CE，只需证AD=CE即可；由(1)得AB=BE，BF平分∠ABE，根据等腰三角形三线合一可得F是AE中点，再通过证明△ADF≌△ECF得到AD=CE，结合AD//CE即可判定平行四边形。
(3) 已知BF⊥AE且BF平分∠ABE，可得△ABE是等腰三角形，结合∠BEA=60°可判定△ABE是等边三角形，求出等边三角形的高，再结合C是BE中点，利用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB，
又
∵AB=CD，
∴BE=CD。
(2) 证明：由(1)知BE=AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF=FE（等腰三角形三线合一），
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠CEF，
在△ADF和△ECF中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAF=∠ CEF\\ AF=EF\\ ∠ AFD=∠ EFC\end{array} $
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
又
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形。
(3) 解：
∵BF平分∠ABE，BF⊥AE，
∴AB=BE，
又
∵∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
过点A作AH⊥BE于点H，
在等边△ABE中，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，
由(2)知AD=CE，又
∵平行四边形ABCD中AD=BC，
∴BC=CE=$\frac{1}{2}BE=2$，
∴平行四边形ABCD的面积=$BC× AH=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题层层递进设置问题，前两问侧重基础性质的应用，第三问结合等边三角形的性质求解面积，解题时需注意利用角平分线、平行线的性质推导边角关系，合理转化求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BE=CD，结合平行四边形对边相等的性质，可先证BE=AB；已知AE平分∠BAD，结合平行四边形AD//BE的性质，可推出∠BAE=∠BEA，利用等角对等边得BE=AB，等量代换即可得证。
(2) 要证四边形ACED是平行四边形，已知AD//CE，只需证AD=CE即可；由(1)得AB=BE，BF平分∠ABE，根据等腰三角形三线合一可得F是AE中点，再通过证明△ADF≌△ECF得到AD=CE，结合AD//CE即可判定平行四边形。
(3) 已知BF⊥AE且BF平分∠ABE，可得△ABE是等腰三角形，结合∠BEA=60°可判定△ABE是等边三角形，求出等边三角形的高，再结合C是BE中点，利用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB，
又
∵AB=CD，
∴BE=CD。
(2) 证明：由(1)知BE=AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF=FE（等腰三角形三线合一），
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠CEF，
在△ADF和△ECF中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAF=∠ CEF\\ AF=EF\\ ∠ AFD=∠ EFC\end{array} $
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
又
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形。
(3) 解：
∵BF平分∠ABE，BF⊥AE，
∴AB=BE，
又
∵∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
过点A作AH⊥BE于点H，
在等边△ABE中，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，
由(2)知AD=CE，又
∵平行四边形ABCD中AD=BC，
∴BC=CE=$\frac{1}{2}BE=2$，
∴平行四边形ABCD的面积=$BC× AH=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题层层递进设置问题，前两问侧重基础性质的应用，第三问结合等边三角形的性质求解面积，解题时需注意利用角平分线、平行线的性质推导边角关系，合理转化求解。
【难度系数】
0.7
