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8.一个三角形两条边的长分别为3和4，且第三条边的长为整数，这个三角形的周长的最大值是（）
A.11
B.12
C.13
D.14
A.11
B.12
C.13
D.14
答案
C
解析
设三角形第三边的长为x，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得4-3 ＜ x ＜ 3+4，即1＜x＜7。因为第三条边的长为整数，所以x的最大取值为6，此时三角形周长的最大值为3+4+6=13。
9. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.∠A−∠B=90°
D.∠A=∠B=$\frac{1}{2}$∠C
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.∠A−∠B=90°
D.∠A=∠B=$\frac{1}{2}$∠C
答案
C
解析
根据三角形内角和为180°逐一分析选项：
1. 选项A：已知∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°，得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。
3. 选项C：由∠A-∠B=90°得∠A=90°+∠B＞90°，△ABC最大角为钝角，是钝角三角形，不是直角三角形。
4. 选项D：将∠A=∠B=1/2∠C代入内角和，得1/2∠C+1/2∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，是直角三角形。
1. 选项A：已知∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°，得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。
3. 选项C：由∠A-∠B=90°得∠A=90°+∠B＞90°，△ABC最大角为钝角，是钝角三角形，不是直角三角形。
4. 选项D：将∠A=∠B=1/2∠C代入内角和，得1/2∠C+1/2∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，是直角三角形。
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$，$E$是$AC$上的两点，且$AE=DE$，$BD$平分$∠ EBC$，那么下列说法中不正确的是（）
A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 对于A：已知AE=DE，说明E是AD的中点，BE连接△ABD的顶点B和对边AD的中点E，因此BE是△ABD的中线，该说法正确。
2. 对于B：BD平分∠EBC，即BD将△BCE的内角∠EBC分为两个相等的角，因此BD是△BCE的角平分线，该说法正确。
3. 对于C：由BD平分∠EBC只能得到∠2=∠3，题目没有任何条件可以推出∠1=∠2，因此∠1=∠2=∠3的说法错误。
4. 对于D：∠C=90°，即BC⊥AC，DE在AC边上，因此BC⊥DE，BC是△BDE的高，该说法正确。
综上，不正确的是选项C。
1. 对于A：已知AE=DE，说明E是AD的中点，BE连接△ABD的顶点B和对边AD的中点E，因此BE是△ABD的中线，该说法正确。
2. 对于B：BD平分∠EBC，即BD将△BCE的内角∠EBC分为两个相等的角，因此BD是△BCE的角平分线，该说法正确。
3. 对于C：由BD平分∠EBC只能得到∠2=∠3，题目没有任何条件可以推出∠1=∠2，因此∠1=∠2=∠3的说法错误。
4. 对于D：∠C=90°，即BC⊥AC，DE在AC边上，因此BC⊥DE，BC是△BDE的高，该说法正确。
综上，不正确的是选项C。
11. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$E$为$AD$上一点，且$EF ⊥ BC$于点$F$。若$∠ C=35°$，$∠ DEF=15°$，则$∠ B$的度数为（）
A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$85°$
A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
B
解析
∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°。
在Rt△EFD中，∠DEF=15°，∴∠EDF=90°-15°=75°，即∠ADB=75°。
根据三角形外角性质：∠ADB=∠C+∠DAC，已知∠C=35°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=75°-35°=40°。
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠DAC=80°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°。
在Rt△EFD中，∠DEF=15°，∴∠EDF=90°-15°=75°，即∠ADB=75°。
根据三角形外角性质：∠ADB=∠C+∠DAC，已知∠C=35°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=75°-35°=40°。
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠DAC=80°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°。
12. 如图，$△ ABC$三边的中线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$G$。若$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ AD，BE，CF是△ABC三边的中线，
∴ $BD=DC$，$AE=EC$，$AF=FB$。
由三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，可得：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，
$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，
$S_{△ ACF}=S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$。
点G是△ABC的重心，重心分中线的比为$AG:GD=2:1$，
因此$S_{△ AGB}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}=4$，$S_{△ AGC}=\frac{2}{3}S_{△ ACD}=4$。
又∵ E是AC中点，F是AB中点，
∴ $S_{△ CGE}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=2$，$S_{△ BGF}=\frac{1}{2}S_{△ AGB}=2$。
∴ 阴影部分的面积$=S_{△ BGF}+S_{△ CGE}=2+2=4$。
∵ AD，BE，CF是△ABC三边的中线，
∴ $BD=DC$，$AE=EC$，$AF=FB$。
由三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，可得：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，
$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，
$S_{△ ACF}=S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$。
点G是△ABC的重心，重心分中线的比为$AG:GD=2:1$，
因此$S_{△ AGB}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}=4$，$S_{△ AGC}=\frac{2}{3}S_{△ ACD}=4$。
又∵ E是AC中点，F是AB中点，
∴ $S_{△ CGE}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=2$，$S_{△ BGF}=\frac{1}{2}S_{△ AGB}=2$。
∴ 阴影部分的面积$=S_{△ BGF}+S_{△ CGE}=2+2=4$。
13. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°,∠ABD和∠ACD应分别是32°和21°。质检员测得∠BDC=148°,则该零件(填“合格”或“不合格”)。
答案
不合格
解析
解：连接AD并延长至点E。
由三角形外角的性质：
∠BDE = ∠BAD + ∠ABD，
∠CDE = ∠CAD + ∠ACD，
因此∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = ∠BAD + ∠CAD + ∠ABD + ∠ACD = ∠A + ∠ABD + ∠ACD。
将∠A=90°，∠ABD=32°，∠ACD=21°代入，
得理论上∠BDC = 90° + 32° + 21° = 143°。
因为实测∠BDC=148°≠143°，
所以该零件不合格。
由三角形外角的性质：
∠BDE = ∠BAD + ∠ABD，
∠CDE = ∠CAD + ∠ACD，
因此∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = ∠BAD + ∠CAD + ∠ABD + ∠ACD = ∠A + ∠ABD + ∠ACD。
将∠A=90°，∠ABD=32°，∠ACD=21°代入，
得理论上∠BDC = 90° + 32° + 21° = 143°。
因为实测∠BDC=148°≠143°，
所以该零件不合格。
14. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究，发现：当k=1时，只有{1,1,1}一种情况，即m=1；当k=2时，有{1,2,2}和{2,2,2}两种情况，即m=2；当k=3时，有{1,3,3}，{2,2,3}，{2,3,3}和{3,3,3}四种情况，即m=4……若k=6，则m的值为；若k=19，则m的值为。
答案
$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{100}$
解析
解：
设三角形的另外两条边长为a、b，满足$1 ≤ a ≤ b ≤ k$，根据三角形三边关系，得$a + b ＞ k$。
当$k=6$时：
若$b=6$，$a$可取1,2,3,4,5,6，共6种；
若$b=5$，$a ＞ 6-5=1$且$a ≤ 5$，$a$可取2,3,4,5，共4种；
若$b=4$，$a ＞ 6-4=2$且$a ≤ 4$，$a$可取3,4，共2种；
$b ≤ 3$时不存在符合条件的$a$，因此$m=6+4+2=12$。
当$k=19$时：
若$b=19$，$a$可取1,2,…,19，共19种；
若$b=18$，$a ＞ 19-18=1$且$a ≤ 18$，$a$可取2,3,…,18，共17种；
若$b=17$，$a ＞ 19-17=2$且$a ≤ 17$，$a$可取3,4,…,17，共15种；
……
若$b=10$，$a ＞ 19-10=9$且$a ≤ 10$，$a$可取10，共1种；
因此$m=19+17+15+\dots+1=\frac{(1+19)×10}{2}=100$。
设三角形的另外两条边长为a、b，满足$1 ≤ a ≤ b ≤ k$，根据三角形三边关系，得$a + b ＞ k$。
当$k=6$时：
若$b=6$，$a$可取1,2,3,4,5,6，共6种；
若$b=5$，$a ＞ 6-5=1$且$a ≤ 5$，$a$可取2,3,4,5，共4种；
若$b=4$，$a ＞ 6-4=2$且$a ≤ 4$，$a$可取3,4，共2种；
$b ≤ 3$时不存在符合条件的$a$，因此$m=6+4+2=12$。
当$k=19$时：
若$b=19$，$a$可取1,2,…,19，共19种；
若$b=18$，$a ＞ 19-18=1$且$a ≤ 18$，$a$可取2,3,…,18，共17种；
若$b=17$，$a ＞ 19-17=2$且$a ≤ 17$，$a$可取3,4,…,17，共15种；
……
若$b=10$，$a ＞ 19-10=9$且$a ≤ 10$，$a$可取10，共1种；
因此$m=19+17+15+\dots+1=\frac{(1+19)×10}{2}=100$。
