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1. 一元二次方程$x^2=9$的根是（
A.$x=3$
B.$x_1=3,x_2=-3$
C.$x=9$
D.$x_1=9,x_2=-9$
变式题 关于$x$的一元二次方程$ax^2 -a=0(a≠0)$的根是
B
）A.$x=3$
B.$x_1=3,x_2=-3$
C.$x=9$
D.$x_1=9,x_2=-9$
变式题 关于$x$的一元二次方程$ax^2 -a=0(a≠0)$的根是
$x_1=1,x_2=-1$
.答案
1.B 变式题 $x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
这两道题均考查直接开平方法解一元二次方程，解题核心是将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的形式，再根据平方根的定义（正数的平方根有两个且互为相反数）即可求出方程的根。第一题已经是$x^2=9$的标准形式，直接开平方即可，注意不要漏解负根；变式题先通过移项、系数化为1将方程整理为$x^2=p$的形式，再开平方求解，题干给出$a≠0$的条件保证了系数化为1的操作合法。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2=9$：
根据平方根的定义直接开平方，得$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$，故选B。
变式题 解一元二次方程$ax^2 -a=0(a≠0)$：
第一步，移项得$ax^2=a$；
第二步，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，得$x^2=1$；
第三步，直接开平方得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，即$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
1.B；变式题 $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的定义
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题属于直接开平方法解一元二次方程的基础题，重点考查对平方根性质的理解，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查直接开平方法解一元二次方程，解题核心是将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的形式，再根据平方根的定义（正数的平方根有两个且互为相反数）即可求出方程的根。第一题已经是$x^2=9$的标准形式，直接开平方即可，注意不要漏解负根；变式题先通过移项、系数化为1将方程整理为$x^2=p$的形式，再开平方求解，题干给出$a≠0$的条件保证了系数化为1的操作合法。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2=9$：
根据平方根的定义直接开平方，得$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$，故选B。
变式题 解一元二次方程$ax^2 -a=0(a≠0)$：
第一步，移项得$ax^2=a$；
第二步，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，得$x^2=1$；
第三步，直接开平方得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，即$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
1.B；变式题 $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的定义
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题属于直接开平方法解一元二次方程的基础题，重点考查对平方根性质的理解，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$x^2 -49=0$的解是 （
A.$x_1=x_2=7$
B.$x_1=x_2=-7$
C.$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$
D.$x_1=7,x_2=-7$
D
）A.$x_1=x_2=7$
B.$x_1=x_2=-7$
C.$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$
D.$x_1=7,x_2=-7$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，该方程不含一次项，符合直接开平方法解方程的形式，第一步先将常数项移到方程等号右侧，第二步对等式两边同时开平方，结合正数有两个互为相反数的平方根，即可得到方程的两个解，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$x^2=49$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$
即方程的解为$x_1=7$，$x_2=-7$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，难度较低，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，该方程不含一次项，符合直接开平方法解方程的形式，第一步先将常数项移到方程等号右侧，第二步对等式两边同时开平方，结合正数有两个互为相反数的平方根，即可得到方程的两个解，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$x^2=49$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$
即方程的解为$x_1=7$，$x_2=-7$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，难度较低，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.9
3. 方程$(x-3)^2=1$的解为（
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=4,x_2=2$
C.$x=4$
D.$x=2$
B
）A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=4,x_2=2$
C.$x=4$
D.$x=2$
答案
3.B
解析
【分析】
观察方程的形式，左边是关于x的一次式的平方，右边是正数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对方程$(x-3)^2=1$两边同时开平方，得：
$x-3=\pm1$
分两种情况求解：
当$x-3=1$时，解得$x=4$；
当$x-3=-1$时，解得$x=2$。
所以原方程的解为$x_1=4$，$x_2=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握开平方后取正负两个值的规则，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
观察方程的形式，左边是关于x的一次式的平方，右边是正数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对方程$(x-3)^2=1$两边同时开平方，得：
$x-3=\pm1$
分两种情况求解：
当$x-3=1$时，解得$x=4$；
当$x-3=-1$时，解得$x=2$。
所以原方程的解为$x_1=4$，$x_2=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握开平方后取正负两个值的规则，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（
A.$(x - 2)^2 = -1$
B.$(x - 2)^2 = 0$
C.$(x - 2)^2 = 1$
D.$(x - 2)^2 = 2$
B
）A.$(x - 2)^2 = -1$
B.$(x - 2)^2 = 0$
C.$(x - 2)^2 = 1$
D.$(x - 2)^2 = 2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查利用直接开平方法判断一元二次方程根的情况。解题时先明确对于形如$a^2 = b$的方程：当$b＜0$时，方程没有实数根；当$b=0$时，方程有两个相等的实数根$a=0$；当$b＞0$时，方程有两个不相等的实数根$a=\pm\sqrt{b}$。我们只需逐一判断每个选项等号右侧的数值，即可得出符合要求的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：$(x - 2)^2 = -1$，由于完全平方数是非负数，不可能等于负数，因此该方程无实数根，不符合要求；
B选项：$(x - 2)^2 = 0$，开平方得$x - 2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
C选项：$(x - 2)^2 = 1$，开平方得$x - 2 = \pm1$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：$(x - 2)^2 = 2$，开平方得$x - 2 = \pm\sqrt{2}$，解得$x_1 = 2+\sqrt{2}$，$x_2 = 2-\sqrt{2}$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上应选B。
【答案】B
【知识点】
1.直接开平方法
2.完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，熟练掌握完全平方的非负性和直接开平方法解方程的规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查利用直接开平方法判断一元二次方程根的情况。解题时先明确对于形如$a^2 = b$的方程：当$b＜0$时，方程没有实数根；当$b=0$时，方程有两个相等的实数根$a=0$；当$b＞0$时，方程有两个不相等的实数根$a=\pm\sqrt{b}$。我们只需逐一判断每个选项等号右侧的数值，即可得出符合要求的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：$(x - 2)^2 = -1$，由于完全平方数是非负数，不可能等于负数，因此该方程无实数根，不符合要求；
B选项：$(x - 2)^2 = 0$，开平方得$x - 2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
C选项：$(x - 2)^2 = 1$，开平方得$x - 2 = \pm1$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：$(x - 2)^2 = 2$，开平方得$x - 2 = \pm\sqrt{2}$，解得$x_1 = 2+\sqrt{2}$，$x_2 = 2-\sqrt{2}$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上应选B。
【答案】B
【知识点】
1.直接开平方法
2.完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，熟练掌握完全平方的非负性和直接开平方法解方程的规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5.结论开放题 若关于x的一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，则c的值可以为
1(答案不唯一)
（写出一种情况即可）答案
5.1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先观察方程特征，左边是完全平方式，适合用直接开平方法求解。根据平方根的定义，只有非负数才有平方根，因此方程右边的c必须是非负数值才能保证方程有实数根，只需任意写出一个大于等于0的数即可。
【解析】
∵ 对于任意实数x，完全平方式的结果具有非负性，即$(x+3)^2 ≥ 0$
∴ 要使一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，需满足$c ≥ 0$
因此可取$c=1$（答案不唯一，任意非负数均可）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题是结论开放的基础题，考查直接开平方法解方程的适用条件，只要掌握平方的非负性即可轻松作答，答案不唯一，满足取值要求即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察方程特征，左边是完全平方式，适合用直接开平方法求解。根据平方根的定义，只有非负数才有平方根，因此方程右边的c必须是非负数值才能保证方程有实数根，只需任意写出一个大于等于0的数即可。
【解析】
∵ 对于任意实数x，完全平方式的结果具有非负性，即$(x+3)^2 ≥ 0$
∴ 要使一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，需满足$c ≥ 0$
因此可取$c=1$（答案不唯一，任意非负数均可）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题是结论开放的基础题，考查直接开平方法解方程的适用条件，只要掌握平方的非负性即可轻松作答，答案不唯一，满足取值要求即可得分。
【难度系数】
0.9
6. 解下列方程：
(1)(2025—2026 新余期中)$(x-3)^2=4$.
(2)$3(2x-1)^2-27=0$.
(1)(2025—2026 新余期中)$(x-3)^2=4$.
(2)$3(2x-1)^2-27=0$.
答案
6.解:(1)直接开平方,得 $x-3=\pm 2$,
解得 $x_1=5,x_2=1$.
(2)方程可化为$(2x-1)^2=9$.
直接开平方,得 $2x-1=\pm 3$,
解得 $x_1=2,x_2=-1$.
解得 $x_1=5,x_2=1$.
(2)方程可化为$(2x-1)^2=9$.
直接开平方,得 $2x-1=\pm 3$,
解得 $x_1=2,x_2=-1$.
解析
【分析】
这两道题均为可用直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心思路是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程求解。第(1)题方程已经是标准可开平方的形式，直接降次即可；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将方程变形为标准形式后再开平方求解。
【解析】
(1) 对$(x-3)^2=4$直接开平方，得：
$x-3=\pm 2$
即$x-3=2$或$x-3=-2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
(2) 整理方程$3(2x-1)^2-27=0$：
移项得$3(2x-1)^2=27$
两边同时除以3，得$(2x-1)^2=9$
直接开平方，得$2x-1=\pm 3$
即$2x-1=3$或$2x-1=-3$
解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质；一元一次方程求解
【点评】
这两道题是直接开平方法解方程的基础典型题，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时注意不要遗漏负的平方根，降次后解一元一次方程即可得到结果。
【难度系数】
0.85
这两道题均为可用直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心思路是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程求解。第(1)题方程已经是标准可开平方的形式，直接降次即可；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，将方程变形为标准形式后再开平方求解。
【解析】
(1) 对$(x-3)^2=4$直接开平方，得：
$x-3=\pm 2$
即$x-3=2$或$x-3=-2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
(2) 整理方程$3(2x-1)^2-27=0$：
移项得$3(2x-1)^2=27$
两边同时除以3，得$(2x-1)^2=9$
直接开平方，得$2x-1=\pm 3$
即$2x-1=3$或$2x-1=-3$
解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质；一元一次方程求解
【点评】
这两道题是直接开平方法解方程的基础典型题，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时注意不要遗漏负的平方根，降次后解一元一次方程即可得到结果。
【难度系数】
0.85
7. 解方程：$(y+2)^2=(3y-1)^2.$
解：$y+2=3y-1$， 第一步
$-2y=-3$， 第二步
$y=\frac{3}{2}.$ 第三步
（1）以上解方程的过程中从第
（2）请写出正确的解方程过程.
解：$y+2=3y-1$， 第一步
$-2y=-3$， 第二步
$y=\frac{3}{2}.$ 第三步
（1）以上解方程的过程中从第
一
步开始出现错误，错误的原因是开平方时,忽略互为相反数的情况
.（2）请写出正确的解方程过程.
答案
7.解:(1)一 开平方时,忽略互为相反数的情况
(2)直接开平方,得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$,解得 $y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}.$
(2)直接开平方,得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$,解得 $y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}.$
解析
【分析】
（1）解答第一问需结合直接开平方法的依据思考：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或互为相反数。原解题过程第一步开平方后仅考虑了两个底数相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此从第一步就出现错误。
（2）解答第二问需严格遵循直接开平方法的步骤：先对等式两边开平方，分两种情况得到两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的全部解，避免漏解。
【解析】
（1）原解题过程第一步开平方时不符合平方根的性质，仅得到$y+2=3y-1$，漏掉了$y+2=-(3y-1)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时忽略互为相反数的情况。
（2）正确解方程过程：
对$(y+2)^2=(3y-1)^2$直接开平方，得：
$y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$
当$y+2=3y-1$时，移项得$-2y=-3$，解得$y=\frac{3}{2}$；
当$y+2=-(3y-1)$时，去括号得$y+2=-3y+1$，移项合并同类项得$4y=-1$，解得$y=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 一；开平方时，忽略互为相反数的情况
(2) 直接开平方，得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$，解得 $y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的注意事项，解题时要牢记平方相等的两个数的两种关系，避免因考虑不全面出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
（1）解答第一问需结合直接开平方法的依据思考：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或互为相反数。原解题过程第一步开平方后仅考虑了两个底数相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此从第一步就出现错误。
（2）解答第二问需严格遵循直接开平方法的步骤：先对等式两边开平方，分两种情况得到两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的全部解，避免漏解。
【解析】
（1）原解题过程第一步开平方时不符合平方根的性质，仅得到$y+2=3y-1$，漏掉了$y+2=-(3y-1)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时忽略互为相反数的情况。
（2）正确解方程过程：
对$(y+2)^2=(3y-1)^2$直接开平方，得：
$y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$
当$y+2=3y-1$时，移项得$-2y=-3$，解得$y=\frac{3}{2}$；
当$y+2=-(3y-1)$时，去括号得$y+2=-3y+1$，移项合并同类项得$4y=-1$，解得$y=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 一；开平方时，忽略互为相反数的情况
(2) 直接开平方，得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$，解得 $y_1=\frac{3}{2},y_2=-\frac{1}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的注意事项，解题时要牢记平方相等的两个数的两种关系，避免因考虑不全面出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
