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【例】用配方法解方程：$2x^2 - 4x + 1 = 0.$
【点拨】配方的关键是要将方程的左边转化为完全平方式$(x+m)^2$的形式，而方程的右边是一个常数.
【解】移项，得$2x^2 - 4x = -1.$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}.$
配方，得$x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，即$(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，$\therefore x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1, x_2 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1.$
【点拨】配方的关键是要将方程的左边转化为完全平方式$(x+m)^2$的形式，而方程的右边是一个常数.
【解】移项，得$2x^2 - 4x = -1.$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}.$
配方，得$x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，即$(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，$\therefore x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2},$
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1, x_2 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1.$
答案
解：
移项，得 $2x^2 - 4x = -1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，
即 $(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，
直接开平方，得 $x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
移项，得 $2x^2 - 4x = -1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，
即 $(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，
直接开平方，得 $x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。解题时按以下思路逐步操作：第一步先移项，把常数项移到方程右侧，让左侧只含二次项和一次项；第二步将二次项系数化为1，方便后续配成二次项系数为1的完全平方式；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；第四步直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后求解得到方程的根。
【解析】
解：
移项，得 $2x^2 - 4x = -1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，
即 $(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，
直接开平方，得 $x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
3.直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础常规题，考查配方法的标准操作步骤，解题时要注意配方时等式左右两边需同时加上一次项系数一半的平方，不可只给左侧加常数，避免出现等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。解题时按以下思路逐步操作：第一步先移项，把常数项移到方程右侧，让左侧只含二次项和一次项；第二步将二次项系数化为1，方便后续配成二次项系数为1的完全平方式；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；第四步直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后求解得到方程的根。
【解析】
解：
移项，得 $2x^2 - 4x = -1$。
二次项系数化为1，得 $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$。
配方，得 $x^2 - 2x + (-1)^2 = -\dfrac{1}{2} + (-1)^2$，
即 $(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$，
直接开平方，得 $x - 1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$x_1 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
3.直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础常规题，考查配方法的标准操作步骤，解题时要注意配方时等式左右两边需同时加上一次项系数一半的平方，不可只给左侧加常数，避免出现等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
1. (2025—2026 赣州章贡区期中)用配方法解方程$x^2+6x=7$，下列配方正确的是（
A.$(x+3)^2=7$
B.$(x+3)^2=16$
C.$(x-3)^2=16$
D.$(x-3)^2=7$
B
）A.$(x+3)^2=7$
B.$(x+3)^2=16$
C.$(x-3)^2=16$
D.$(x-3)^2=7$
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，若常数项已移到等号右侧，只需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧凑成完全平方式。本题给出的方程$x^2+6x=7$已经满足二次项系数为1、常数项在右侧的条件，只需按上述步骤配方，再对比选项即可得到答案。
【解析】
解：用配方法解方程$x^2+6x=7$：
1. 先确定一次项系数为6，计算一次项系数一半的平方：$(\dfrac{6}{2})^2=9$；
2. 方程两边同时加9，可得：$x^2+6x+9=7+9$；
3. 等号左侧根据完全平方公式整理为$(x+3)^2$，等号右侧计算得16，即$(x+3)^2=16$。
因此配方正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法“两边加一次项系数一半的平方”的操作规则，只要熟悉配方法步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，若常数项已移到等号右侧，只需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧凑成完全平方式。本题给出的方程$x^2+6x=7$已经满足二次项系数为1、常数项在右侧的条件，只需按上述步骤配方，再对比选项即可得到答案。
【解析】
解：用配方法解方程$x^2+6x=7$：
1. 先确定一次项系数为6，计算一次项系数一半的平方：$(\dfrac{6}{2})^2=9$；
2. 方程两边同时加9，可得：$x^2+6x+9=7+9$；
3. 等号左侧根据完全平方公式整理为$(x+3)^2$，等号右侧计算得16，即$(x+3)^2=16$。
因此配方正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法“两边加一次项系数一半的平方”的操作规则，只要熟悉配方法步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2.已知方程$x^2 -10x +n=0$可以配方成$(x - m)^2=15$的形式，那么$x^2 -10x +m =n$可以配方成（
A.$(x-5)^2=20$
B.$(x-5)^2=30$
C.$(x-5)^2=15$
D.$(x-5)^2=40$
B
）A.$(x-5)^2=20$
B.$(x-5)^2=30$
C.$(x-5)^2=15$
D.$(x-5)^2=40$
答案
2.B 【解析】方程 $x^2 -10x +n=0$ 移项,得 $x^2 -10x =-n$. 配方,得 $x^2 -10x +25=25-n$,即$(x-5)^2=25-n$.根据题意,得 $m=5,25-n=15,∴m=5,n=10$,代入 $x^2 -10x +m =n$,得 $x^2 -10x +5=10$. 配方,得$(x-5)^2=30$.
解析
【分析】
解题首先需要利用配方法对已知方程$x^2 -10x +n=0$进行配方，将得到的配方结果与$(x - m)^2=15$对比，对应相等求出m和n的值，再将m、n代入待配方的方程$x^2 -10x +m =n$，最后按照配方法的步骤对该方程进行配方，即可得到正确选项。
【解析】
先对已知方程$x^2 -10x +n=0$变形：
1. 移项，得$x^2 -10x = -n$；
2. 配方，一次项系数为-10，其一半的平方为$(-5)^2=25$，两边同时加25，得$x^2 -10x +25 = 25 - n$，即$(x-5)^2=25-n$。
已知该方程可配方为$(x - m)^2=15$，对应可得：$m=5$，$25-n=15$，解得$n=10$。
将$m=5$，$n=10$代入方程$x^2 -10x +m =n$，得：
$x^2 -10x +5 = 10$
移项得$x^2 -10x = 5$
配方，两边同时加25，得$x^2 -10x +25 = 5 + 25$，即$(x-5)^2=30$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法，等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题的核心是先根据已知配方形式求出未知参数m、n的取值，再代入目标方程完成配方，需要熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方”的操作步骤，注意计算时不要出现符号或数值错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要利用配方法对已知方程$x^2 -10x +n=0$进行配方，将得到的配方结果与$(x - m)^2=15$对比，对应相等求出m和n的值，再将m、n代入待配方的方程$x^2 -10x +m =n$，最后按照配方法的步骤对该方程进行配方，即可得到正确选项。
【解析】
先对已知方程$x^2 -10x +n=0$变形：
1. 移项，得$x^2 -10x = -n$；
2. 配方，一次项系数为-10，其一半的平方为$(-5)^2=25$，两边同时加25，得$x^2 -10x +25 = 25 - n$，即$(x-5)^2=25-n$。
已知该方程可配方为$(x - m)^2=15$，对应可得：$m=5$，$25-n=15$，解得$n=10$。
将$m=5$，$n=10$代入方程$x^2 -10x +m =n$，得：
$x^2 -10x +5 = 10$
移项得$x^2 -10x = 5$
配方，两边同时加25，得$x^2 -10x +25 = 5 + 25$，即$(x-5)^2=30$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法，等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题的核心是先根据已知配方形式求出未知参数m、n的取值，再代入目标方程完成配方，需要熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方”的操作步骤，注意计算时不要出现符号或数值错误。
【难度系数】
0.7
3. 一题多解法 已知方程$x^2 -4x +1 = \blacksquare$，等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成$(x - m)^2 =5$的形式，则印刷不清楚的数是 (
A.－3
B.－2
C.3
D.2
D
)A.－3
B.－2
C.3
D.2
答案
3.D 【解析】设印刷不清楚的数是 $a$,则 $x^2 -4x +1 =a$,移项,得 $x^2 -4x =a-1$,配方,得$(x-2)^2=a+3$,则 $a+3=5$,解得 $a=2$.
一题多解法
$(x-m)^2=5$ 变形,得 $x^2 -2mx +m^2=5$.由题意,得 $-2m=-4$,解得 $m=2,∴x^2 -4x +2^2=5,∴x^2 -4x +1=2,∴$印刷不清楚的数是 2.
一题多解法
$(x-m)^2=5$ 变形,得 $x^2 -2mx +m^2=5$.由题意,得 $-2m=-4$,解得 $m=2,∴x^2 -4x +2^2=5,∴x^2 -4x +1=2,∴$印刷不清楚的数是 2.
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，先设印刷不清楚的数为a，将原方程整理为可配方的形式，通过配方法变形后与题干给出的配方形式对应，建立关于a的方程求解；思路二，先将给出的配方形式展开，根据等价方程对应项系数相等求出参数m，再整理得到原方程等号右侧的数值。
【解析】
方法1：设印刷不清楚的数是a，则原方程为$x^2 -4x +1 =a$。
移项，得$x^2 -4x =a-1$，
配方：给等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2-4x+4=a-1+4$，
整理得$(x-2)^2=a+3$，
由题意知该式等价于$(x-m)^2=5$，因此$a+3=5$，解得$a=2$。
方法2：将$(x-m)^2=5$展开，得$x^2 -2mx +m^2=5$，
两个方程为等价方程，对应项系数相等，因此一次项系数满足：$-2m=-4$，解得$m=2$，
将$m=2$代入$(x-m)^2=5$得$(x-2)^2=5$，展开得$x^2-4x+4=5$，
移项整理得$x^2-4x+1=2$，即印刷不清楚的数是2。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，一元二次方程系数对应
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，通过正向配方、反向展开两种思路解题，能帮助学生加深对配方法步骤的理解，锻炼发散思维。
【难度系数】
0.75
本题可通过两种思路求解：思路一，先设印刷不清楚的数为a，将原方程整理为可配方的形式，通过配方法变形后与题干给出的配方形式对应，建立关于a的方程求解；思路二，先将给出的配方形式展开，根据等价方程对应项系数相等求出参数m，再整理得到原方程等号右侧的数值。
【解析】
方法1：设印刷不清楚的数是a，则原方程为$x^2 -4x +1 =a$。
移项，得$x^2 -4x =a-1$，
配方：给等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$x^2-4x+4=a-1+4$，
整理得$(x-2)^2=a+3$，
由题意知该式等价于$(x-m)^2=5$，因此$a+3=5$，解得$a=2$。
方法2：将$(x-m)^2=5$展开，得$x^2 -2mx +m^2=5$，
两个方程为等价方程，对应项系数相等，因此一次项系数满足：$-2m=-4$，解得$m=2$，
将$m=2$代入$(x-m)^2=5$得$(x-2)^2=5$，展开得$x^2-4x+4=5$，
移项整理得$x^2-4x+1=2$，即印刷不清楚的数是2。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，一元二次方程系数对应
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，通过正向配方、反向展开两种思路解题，能帮助学生加深对配方法步骤的理解，锻炼发散思维。
【难度系数】
0.75
4.定义:如果存在一个数$i$,使$(±i)^2=-1$,那么当$x^2=-1$时,有$x=±i$,从而$x_1=i,x_2=-i$是方程$x^2=-1$的两个根.据此可知,方程$x^2-2x+5=0$的两个根为
$x_1=1+2i$
$x_2=1-2i$
(用含$i$的代数式表示).答案
4.$x_1=1+2i,x_2=1-2i$ 【解析】由 $x^2 -2x +5=0$ 配方,得$(x-1)^2=-4,∴x-1=±2i$,解得 $x_1=1+2i$,
$x_2=1-2i$.
$x_2=1-2i$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的新规则：$i^2=-1$，负数可以开平方得到含$i$的结果。求解该一元二次方程优先使用学过的配方法：先将方程通过配方变形为完全平方式等于常数的形式，若常数为负，就结合新定义开平方，最后移项求解即可得到两个根。
【解析】
对原方程$x^2-2x+5=0$进行配方：
1. 移项得：$x^2-2x=-5$
2. 方程两边同时加1（一次项系数一半的平方），得：$x^2-2x+1=-5+1$
3. 整理为完全平方形式：$(x-1)^2=-4$
根据题目给出的定义，$(±2i)^2=4i^2=-4$，因此开平方得：$x-1=±2i$
移项解得：$x_1=1+2i$，$x_2=1-2i$
【答案】
$x_1=1+2i$，$x_2=1-2i$
【知识点】
配方法解一元二次方程，新定义运算，开平方运算
【点评】
本题是新定义型基础题，将配方法解一元二次方程和新定义运算结合，解题的核心是熟练掌握配方法的操作步骤，准确理解新定义的运算规则，实现知识的迁移应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的新规则：$i^2=-1$，负数可以开平方得到含$i$的结果。求解该一元二次方程优先使用学过的配方法：先将方程通过配方变形为完全平方式等于常数的形式，若常数为负，就结合新定义开平方，最后移项求解即可得到两个根。
【解析】
对原方程$x^2-2x+5=0$进行配方：
1. 移项得：$x^2-2x=-5$
2. 方程两边同时加1（一次项系数一半的平方），得：$x^2-2x+1=-5+1$
3. 整理为完全平方形式：$(x-1)^2=-4$
根据题目给出的定义，$(±2i)^2=4i^2=-4$，因此开平方得：$x-1=±2i$
移项解得：$x_1=1+2i$，$x_2=1-2i$
【答案】
$x_1=1+2i$，$x_2=1-2i$
【知识点】
配方法解一元二次方程，新定义运算，开平方运算
【点评】
本题是新定义型基础题，将配方法解一元二次方程和新定义运算结合，解题的核心是熟练掌握配方法的操作步骤，准确理解新定义的运算规则，实现知识的迁移应用。
【难度系数】
0.7
5. 阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容.
解方程:$2x^2 -8x -18=0.$
解:移项,得$2x^2 -8x=18.$ 第一步
两边同时除以2,得$x^2 -4x=9.$ 第二步
配方,得$x^2 -4x +4=9,$ 第三步
即$(x-2)^2=9,∴x-2=±3.$ 第四步
故$x_1=5,x_2=-1.$ 第五步
(1)上述过程中开始出错的步骤是第
(2)请写出正确的解答过程.
解方程:$2x^2 -8x -18=0.$
解:移项,得$2x^2 -8x=18.$ 第一步
两边同时除以2,得$x^2 -4x=9.$ 第二步
配方,得$x^2 -4x +4=9,$ 第三步
即$(x-2)^2=9,∴x-2=±3.$ 第四步
故$x_1=5,x_2=-1.$ 第五步
(1)上述过程中开始出错的步骤是第
三
步,原因是等式右边没有同时加4
.(2)请写出正确的解答过程.
答案
5.解:(1)三 等式右边没有同时加4
(2)正确的解答过程如下:
移项,得 $2x^2 -8x=18$.
两边同时除以2,得 $x^2 -4x=9$.
配方,得 $x^2 -4x +4=9+4$,
即$(x-2)^2=13$,
$∴x-2=±\sqrt{13}$.
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$.
(2)正确的解答过程如下:
移项,得 $2x^2 -8x=18$.
两边同时除以2,得 $x^2 -4x=9$.
配方,得 $x^2 -4x +4=9+4$,
即$(x-2)^2=13$,
$∴x-2=±\sqrt{13}$.
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$.
解析
【分析】
本题分为找错和正确求解两部分。解答第一问时，需结合配方法的要求和等式的性质逐步骤核对：配方时要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，才能保证等式仍然成立，观察可得第三步仅左边加了4，右边未加，因此出错在第三步。解答第二问时，按照配方法解一元二次方程的标准流程：移项、二次项系数化为1、配方（两边同加一次项系数一半的平方）、开平方、求根，逐步计算即可。
【解析】
(1) 第三步配方操作中，方程左边加上了一次项系数一半的平方$4$，根据等式的基本性质，等式两边需同时加相同的数等式才成立，原步骤等式右边没有加4，因此开始出错的是第三步。
(2) 正确解答过程：
移项，得 $2x^2 -8x=18$。
两边同时除以2，得 $x^2 -4x=9$。
配方，得 $x^2 -4x +4=9+4$，
即$(x-2)^2=13$，
$∴x-2=±\sqrt{13}$。
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 三；等式右边没有同时加4
(2) 移项,得 $2x^2 -8x=18$。
两边同时除以2,得 $x^2 -4x=9$。
配方,得 $x^2 -4x +4=9+4$,
即$(x-2)^2=13$,
$∴x-2=±\sqrt{13}$。
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$。
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
【点评】
本题核心考查配方法的规范操作，易错点是配方时忽略等式两边要同时加相同的常数，只要牢记配方需保证等式恒等变形，熟练掌握配方法的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题分为找错和正确求解两部分。解答第一问时，需结合配方法的要求和等式的性质逐步骤核对：配方时要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，才能保证等式仍然成立，观察可得第三步仅左边加了4，右边未加，因此出错在第三步。解答第二问时，按照配方法解一元二次方程的标准流程：移项、二次项系数化为1、配方（两边同加一次项系数一半的平方）、开平方、求根，逐步计算即可。
【解析】
(1) 第三步配方操作中，方程左边加上了一次项系数一半的平方$4$，根据等式的基本性质，等式两边需同时加相同的数等式才成立，原步骤等式右边没有加4，因此开始出错的是第三步。
(2) 正确解答过程：
移项，得 $2x^2 -8x=18$。
两边同时除以2，得 $x^2 -4x=9$。
配方，得 $x^2 -4x +4=9+4$，
即$(x-2)^2=13$，
$∴x-2=±\sqrt{13}$。
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 三；等式右边没有同时加4
(2) 移项,得 $2x^2 -8x=18$。
两边同时除以2,得 $x^2 -4x=9$。
配方,得 $x^2 -4x +4=9+4$,
即$(x-2)^2=13$,
$∴x-2=±\sqrt{13}$。
故 $x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}$。
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
【点评】
本题核心考查配方法的规范操作，易错点是配方时忽略等式两边要同时加相同的常数，只要牢记配方需保证等式恒等变形，熟练掌握配方法的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
