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1. (2025—2026 赣州信丰期中)下列方程中，是一元二次方程的是 (
A.$x^2 - 2026x = 0$
B.$x + 1 = 0$
C.$y - 2x = 0$
D.$\frac{1}{x} + x^2 = 6$
A
)A.$x^2 - 2026x = 0$
B.$x + 1 = 0$
C.$y - 2x = 0$
D.$\frac{1}{x} + x^2 = 6$
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题首先需要明确一元二次方程的判定标准，即需同时满足三个条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时依次用这三个标准对每个选项进行判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：属于整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 - 2026x = 0$是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义；
B. $x + 1 = 0$中未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
C. $y - 2x = 0$含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
D. $\frac{1}{x} + x^2 = 6$的分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意“整式方程”是前提，避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要明确一元二次方程的判定标准，即需同时满足三个条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时依次用这三个标准对每个选项进行判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：属于整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 - 2026x = 0$是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义；
B. $x + 1 = 0$中未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
C. $y - 2x = 0$含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
D. $\frac{1}{x} + x^2 = 6$的分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意“整式方程”是前提，避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的方程$(m-1)x^2 +4x -1=0$是一元二次方程，则$m$的值不可能为（
A.1
B.$-1$
C.0
D.2
A
）A.1
B.$-1$
C.0
D.2
答案
2.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要回忆一元二次方程的核心判定条件：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中最重要的限制是二次项系数不能为0。本题要求判断$m$不可能的值，只需要根据二次项系数不为0的条件，求出$m$的取值范围，再对照选项排除即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，其二次项系数不能为0。
对于方程$(m-1)x^2 +4x -1=0$，二次项系数为$m-1$，若该方程是一元二次方程，则需满足：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
因此$m$的值不可能为1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要回忆一元二次方程的核心判定条件：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中最重要的限制是二次项系数不能为0。本题要求判断$m$不可能的值，只需要根据二次项系数不为0的条件，求出$m$的取值范围，再对照选项排除即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，其二次项系数不能为0。
对于方程$(m-1)x^2 +4x -1=0$，二次项系数为$m-1$，若该方程是一元二次方程，则需满足：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
因此$m$的值不可能为1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.9
3. (教材变式)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2a-1)x+5-a=ax+1$的一次项系数为4，则常数项为
-1
.答案
3.-1
解析
【分析】
解题时首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其中$B$是一次项系数，$C$是常数项。首先通过移项、合并同类项整理方程，再根据“一次项系数为4”的条件列方程求出参数$a$的值，最后将$a$代入常数项的表达式计算即可得到结果。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2+(2a-1)x+5-a-ax-1=0$
合并同类项得：$x^2+(a-1)x+(4-a)=0$
已知该方程的一次项系数为4，因此：
$a-1=4$
解得：$a=5$
将$a=5$代入常数项表达式$4-a$，得：
$4-5=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一元二次方程一般形式中各项系数的定义，解题时要注意移项过程中符号的变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其中$B$是一次项系数，$C$是常数项。首先通过移项、合并同类项整理方程，再根据“一次项系数为4”的条件列方程求出参数$a$的值，最后将$a$代入常数项的表达式计算即可得到结果。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得：$x^2+(2a-1)x+5-a-ax-1=0$
合并同类项得：$x^2+(a-1)x+(4-a)=0$
已知该方程的一次项系数为4，因此：
$a-1=4$
解得：$a=5$
将$a=5$代入常数项表达式$4-a$，得：
$4-5=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一元二次方程一般形式中各项系数的定义，解题时要注意移项过程中符号的变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4. (2025—2026 赣州于都期中)关于x的一元二次方程$x^2 -2x +m=0$的一个根为-1，则m的值为
-3
。答案
4.-3
解析
【分析】
首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。本题已知一元二次方程的一个根为-1，只需将x=-1代入原方程，就能得到一个只含参数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值，这是此类求参数题的常规思路。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$的根
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 - 2×(-1) + m = 0$
计算化简得：$1 + 2 + m = 0$
即$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是将已知根代入原方程，转化为求未知参数的方程，计算时注意负数运算的符号问题即可。
【难度系数】
0.9
首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。本题已知一元二次方程的一个根为-1，只需将x=-1代入原方程，就能得到一个只含参数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值，这是此类求参数题的常规思路。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$的根
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 - 2×(-1) + m = 0$
计算化简得：$1 + 2 + m = 0$
即$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是将已知根代入原方程，转化为求未知参数的方程，计算时注意负数运算的符号问题即可。
【难度系数】
0.9
变式题 根据根的定义求字母的值→求代数式的值
若$m$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的一个实数根，则$2026 -10m +2m^2$的值是（
A.$2025$
B.$2026$
C.$2027$
D.$2028$
若$m$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的一个实数根，则$2026 -10m +2m^2$的值是（
D
）A.$2025$
B.$2026$
C.$2027$
D.$2028$
答案
变式题 D
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，整理可得$m^2-5m$的值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有$m^2-5m$的形式，最后采用整体代入的方法计算即可，无需解出m的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 -5m -1=0$，
整理得：$m^2 -5m = 1$。
对所求代数式变形：
$2026 -10m +2m^2 = 2026 + 2(m^2 -5m)$，
将$m^2 -5m=1$代入上式：
原式$=2026 + 2×1 = 2028$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题关键是利用方程根的性质得到相关代数式的定值，再通过整体代入避免求解未知数的具体值，简化运算。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，整理可得$m^2-5m$的值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有$m^2-5m$的形式，最后采用整体代入的方法计算即可，无需解出m的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 -5m -1=0$，
整理得：$m^2 -5m = 1$。
对所求代数式变形：
$2026 -10m +2m^2 = 2026 + 2(m^2 -5m)$，
将$m^2 -5m=1$代入上式：
原式$=2026 + 2×1 = 2028$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题关键是利用方程根的性质得到相关代数式的定值，再通过整体代入避免求解未知数的具体值，简化运算。
【难度系数】
0.7
5. 推理能力 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx +5=0(a≠0)$有一根为2026，则一元二次方程$a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$必有一根为________.
答案
5.2 025 【解析】由 $a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$,得 $a(x+1)^2 +b(x+1)+5=0$. 设 $t=x+1$,则 $at^2 +bt +5=0$.
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 +bx +5=0(a≠0)$ 有一根为 2 026,即 $at^2 +bt +5=0$ 有一根为 2 026,$\therefore x+1=2 026$,解得 $x=2 025$,$\therefore$ 一元二次方程 $a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$ 必有一根为 2 025.
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 +bx +5=0(a≠0)$ 有一根为 2 026,即 $at^2 +bt +5=0$ 有一根为 2 026,$\therefore x+1=2 026$,解得 $x=2 025$,$\therefore$ 一元二次方程 $a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$ 必有一根为 2 025.
解析
【分析】
观察题目中的两个方程可发现结构高度相似，解题时可利用整体换元的思想，将第二个方程转化为和已知方程形式一致的式子，再结合已知方程的根求解。具体思考路径为：先把第二个方程移项整理为右侧为0的形式，将x+1设为新的未知数t，此时第二个方程就和已知有根为2026的方程完全相同，因此t=2026是转化后方程的根，再反解x即可得到所求的根。
【解析】
首先对第二个方程变形：
将$a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$移项，得$a(x+1)^2 +b(x+1)+5=0$。
设$t=x+1$，则上述方程可化为$at^2 +bt +5=0$。
已知一元二次方程$ax^2 +bx +5=0(a≠0)$有一根为2026，即方程$at^2 +bt +5=0$的一个根为$t=2026$。
因此$x+1=2026$，解得$x=2026-1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根的定义，换元法
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，解题核心是找到两个方程的结构共性，通过换元将未知问题转化为已知条件对应的问题，无需复杂运算即可求解，是一元二次方程根的定义的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
观察题目中的两个方程可发现结构高度相似，解题时可利用整体换元的思想，将第二个方程转化为和已知方程形式一致的式子，再结合已知方程的根求解。具体思考路径为：先把第二个方程移项整理为右侧为0的形式，将x+1设为新的未知数t，此时第二个方程就和已知有根为2026的方程完全相同，因此t=2026是转化后方程的根，再反解x即可得到所求的根。
【解析】
首先对第二个方程变形：
将$a(x+1)^2 +b(x+1)=-5$移项，得$a(x+1)^2 +b(x+1)+5=0$。
设$t=x+1$，则上述方程可化为$at^2 +bt +5=0$。
已知一元二次方程$ax^2 +bx +5=0(a≠0)$有一根为2026，即方程$at^2 +bt +5=0$的一个根为$t=2026$。
因此$x+1=2026$，解得$x=2026-1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根的定义，换元法
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，解题核心是找到两个方程的结构共性，通过换元将未知问题转化为已知条件对应的问题，无需复杂运算即可求解，是一元二次方程根的定义的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
6.某公园计划在一块长为10 m、宽为8 m的矩形草坪中央划分出一块30 m²的矩形区域作为宠物乐园.若宠物乐园四周草坪的宽度都一样,记为x m,根据题意,可列出方程为
$(8-2x)(10-2x)=30$
.答案
6.$(8-2x)(10-2x)=30$
解析
【分析】
本题的核心等量关系是宠物乐园的面积为30 m²，解题时首先需要用含x的代数式表示出宠物乐园的长和宽：由于四周草坪宽度均为x，宠物乐园的长等于原矩形的长减去左右两侧的草坪宽度，即10-2x；宠物乐园的宽等于原矩形的宽减去上下两侧的草坪宽度，即8-2x，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
第一步：表示宠物乐园的长和宽
已知四周草坪宽度为x m，因此宠物乐园的长为$(10-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{m}$。
第二步：根据面积公式列方程
矩形面积=长×宽，已知宠物乐园面积为30 m²，代入得：
$(10-2x)(8-2x)=30$，即$(8-2x)(10-2x)=30$。
【答案】
$(8-2x)(10-2x)=30$
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何面积类的方程应用基础题，解题关键是正确表示内部矩形的长和宽，要注意等宽区域分布在四周，因此长和宽都需要减去2倍的宽度x，避免出现仅减去1个x的常见错误。
【难度系数】
0.8
本题的核心等量关系是宠物乐园的面积为30 m²，解题时首先需要用含x的代数式表示出宠物乐园的长和宽：由于四周草坪宽度均为x，宠物乐园的长等于原矩形的长减去左右两侧的草坪宽度，即10-2x；宠物乐园的宽等于原矩形的宽减去上下两侧的草坪宽度，即8-2x，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
第一步：表示宠物乐园的长和宽
已知四周草坪宽度为x m，因此宠物乐园的长为$(10-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{m}$。
第二步：根据面积公式列方程
矩形面积=长×宽，已知宠物乐园面积为30 m²，代入得：
$(10-2x)(8-2x)=30$，即$(8-2x)(10-2x)=30$。
【答案】
$(8-2x)(10-2x)=30$
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何面积类的方程应用基础题，解题关键是正确表示内部矩形的长和宽，要注意等宽区域分布在四周，因此长和宽都需要减去2倍的宽度x，避免出现仅减去1个x的常见错误。
【难度系数】
0.8
7.若关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x =9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为
-3
.答案
7.-3
解析
【分析】
解题时首先要将给定的方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再结合两个条件求解：一是题目要求不含一次项，即一次项的系数等于0；二是一元二次方程的二次项系数不能为0，两个条件联立即可求出m的取值，注意要舍去不符合条件的解。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
对原方程$(m-3)x^2 + m^2x =9x +5$移项，把等号右侧的项移到左侧，得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项后得到一般形式：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：根据条件列等式
① 因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
② 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
第三步：筛选符合条件的m值
结合①的限制条件$m≠3$，舍去$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm3$的错误结果，审题时要注意抓住“一元二次方程”的前提要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将给定的方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再结合两个条件求解：一是题目要求不含一次项，即一次项的系数等于0；二是一元二次方程的二次项系数不能为0，两个条件联立即可求出m的取值，注意要舍去不符合条件的解。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
对原方程$(m-3)x^2 + m^2x =9x +5$移项，把等号右侧的项移到左侧，得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项后得到一般形式：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：根据条件列等式
① 因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
② 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
第三步：筛选符合条件的m值
结合①的限制条件$m≠3$，舍去$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm3$的错误结果，审题时要注意抓住“一元二次方程”的前提要求。
【难度系数】
0.7
