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1 二次函数$y=-2x^2 +4x -9$的最高点的纵坐标是（
A.7
B.$-7$
C.9
D.$-9$
B
）。A.7
B.$-7$
C.9
D.$-9$
答案
1.B
解析
【分析】
首先根据二次函数的二次项系数$a=-2＜0$，可判断该二次函数图象开口向下，因此函数的最高点就是其顶点，只需求出顶点的纵坐标即可。求顶点纵坐标可以用配方法将函数化为顶点式，也可以直接代入顶点纵坐标公式计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：配方法
将二次函数解析式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 +4x -9\\&=-2(x^2 - 2x) -9\\&=-2(x^2 -2x +1 -1) -9\\&=-2[(x-1)^2 -1] -9\\&=-2(x-1)^2 + 2 -9\\&=-2(x-1)^2 -7\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(1,-7)$，因为函数开口向下，所以最高点的纵坐标为$-7$。
方法二：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，本题中$a=-2$，$b=4$，$c=-9$，代入得：
$\frac{4×(-2)×(-9) - 4^2}{4×(-2)}=\frac{72 - 16}{-8}=\frac{56}{-8}=-7$
因此最高点的纵坐标为$-7$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.顶点坐标计算 3.二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的基本性质，解题核心是明确开口方向与函数最值点的对应关系，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据二次函数的二次项系数$a=-2＜0$，可判断该二次函数图象开口向下，因此函数的最高点就是其顶点，只需求出顶点的纵坐标即可。求顶点纵坐标可以用配方法将函数化为顶点式，也可以直接代入顶点纵坐标公式计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：配方法
将二次函数解析式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 +4x -9\\&=-2(x^2 - 2x) -9\\&=-2(x^2 -2x +1 -1) -9\\&=-2[(x-1)^2 -1] -9\\&=-2(x-1)^2 + 2 -9\\&=-2(x-1)^2 -7\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(1,-7)$，因为函数开口向下，所以最高点的纵坐标为$-7$。
方法二：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，本题中$a=-2$，$b=4$，$c=-9$，代入得：
$\frac{4×(-2)×(-9) - 4^2}{4×(-2)}=\frac{72 - 16}{-8}=\frac{56}{-8}=-7$
因此最高点的纵坐标为$-7$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.顶点坐标计算 3.二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的基本性质，解题核心是明确开口方向与函数最值点的对应关系，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 下列关于二次函数的说法错误的是(
A.抛物线 $y=-2x^2 + 3x +1$ 的对称轴是直线 $x=\frac{3}{4}$
B.点 $A(3, 0)$ 不在抛物线 $y=x^2 -2x -3$ 的图像上
C.二次函数 $y=(x+2)^2 -2$ 的顶点坐标是 $(-2, -2)$
D.函数 $y=2x^2 +4x -3$ 的图像的最低点是 $(-1, -5)$
B
)。A.抛物线 $y=-2x^2 + 3x +1$ 的对称轴是直线 $x=\frac{3}{4}$
B.点 $A(3, 0)$ 不在抛物线 $y=x^2 -2x -3$ 的图像上
C.二次函数 $y=(x+2)^2 -2$ 的顶点坐标是 $(-2, -2)$
D.函数 $y=2x^2 +4x -3$ 的图像的最低点是 $(-1, -5)$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础性质，解题时只需逐个对选项进行验证即可：1. 求抛物线对称轴可直接用公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；2. 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算对应的函数值是否和点的纵坐标相等；3. 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$；4. 开口向上的二次函数，顶点就是图像的最低点，可通过对称轴公式求出顶点坐标验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线$y=-2x^2 + 3x +1$中，$a=-2$，$b=3$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得对称轴为$x=-\frac{3}{2×(-2)}=\frac{3}{4}$，该说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入$y=x^2 -2x -3$，得$y=3^2 -2×3 -3=9-6-3=0$，和点$A(3,0)$的纵坐标相等，因此点$A$在抛物线图像上，该说法错误，符合题意。
选项C：二次函数$y=(x+2)^2 -2$是顶点式，对应顶点坐标为$(-2,-2)$，该说法正确，不符合题意。
选项D：函数$y=2x^2 +4x -3$中$a=2＞0$，抛物线开口向上，顶点为图像最低点。对称轴为$x=-\frac{4}{2×2}=-1$，将$x=-1$代入解析式得$y=2×(-1)^2 +4×(-1) -3=2-4-3=-5$，即最低点为$(-1,-5)$，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质，点在函数图像上的判定，二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算方法，以及点在函数图像上的验证逻辑，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基础性质，解题时只需逐个对选项进行验证即可：1. 求抛物线对称轴可直接用公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；2. 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算对应的函数值是否和点的纵坐标相等；3. 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$；4. 开口向上的二次函数，顶点就是图像的最低点，可通过对称轴公式求出顶点坐标验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线$y=-2x^2 + 3x +1$中，$a=-2$，$b=3$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得对称轴为$x=-\frac{3}{2×(-2)}=\frac{3}{4}$，该说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入$y=x^2 -2x -3$，得$y=3^2 -2×3 -3=9-6-3=0$，和点$A(3,0)$的纵坐标相等，因此点$A$在抛物线图像上，该说法错误，符合题意。
选项C：二次函数$y=(x+2)^2 -2$是顶点式，对应顶点坐标为$(-2,-2)$，该说法正确，不符合题意。
选项D：函数$y=2x^2 +4x -3$中$a=2＞0$，抛物线开口向上，顶点为图像最低点。对称轴为$x=-\frac{4}{2×2}=-1$，将$x=-1$代入解析式得$y=2×(-1)^2 +4×(-1) -3=2-4-3=-5$，即最低点为$(-1,-5)$，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质，点在函数图像上的判定，二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算方法，以及点在函数图像上的验证逻辑，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3 $y=(2x-1)(x+2)+1$ 化成 $y=a(x+m)^2+n$ 的形式为(
A.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{25}{16}$
B.$y=2(x-\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{17}{8}$
C.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{17}{8}$
D.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2+\dfrac{17}{8}$
C
)。A.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{25}{16}$
B.$y=2(x-\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{17}{8}$
C.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{17}{8}$
D.$y=2(x+\dfrac{3}{4})^2+\dfrac{17}{8}$
答案
3.C
解析
【分析】
要将给定的函数化成顶点式$y=a(x+m)^2+n$，需分两步进行：第一步先通过多项式乘法展开原式，合并同类项得到二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$；第二步用配方法对一般式进行变形，先提取二次项系数，再在括号内凑完全平方，注意调整常数项保证原式值不变，最后整理成顶点式后匹配选项即可。
【解析】
第一步：展开原式并合并同类项，化为一般式：
$\begin{aligned}y&=(2x-1)(x+2)+1\\&=2x^2+4x-x-2+1\\&=2x^2+3x-1\end{aligned}$
第二步：用配方法将一般式化为顶点式：
先提取二次项系数2，将含$x$的项放入括号内：
$y=2(x^2+\frac{3}{2}x)-1$
括号内凑完全平方，一次项系数$\frac{3}{2}$的一半为$\frac{3}{4}$，其平方为$\frac{9}{16}$，因此括号内加、减$\frac{9}{16}$保证值不变：
$\begin{aligned}y&=2[(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16})-\frac{9}{16}]-1\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - 2×\frac{9}{16} -1\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{8}{8}\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - \frac{17}{8}\end{aligned}$
对比选项可知结果为C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘法运算
2.配方法
3.二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式变形的基础题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意提取二次项系数后，括号内减去的常数项需要乘上提取的系数，避免出现常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
要将给定的函数化成顶点式$y=a(x+m)^2+n$，需分两步进行：第一步先通过多项式乘法展开原式，合并同类项得到二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$；第二步用配方法对一般式进行变形，先提取二次项系数，再在括号内凑完全平方，注意调整常数项保证原式值不变，最后整理成顶点式后匹配选项即可。
【解析】
第一步：展开原式并合并同类项，化为一般式：
$\begin{aligned}y&=(2x-1)(x+2)+1\\&=2x^2+4x-x-2+1\\&=2x^2+3x-1\end{aligned}$
第二步：用配方法将一般式化为顶点式：
先提取二次项系数2，将含$x$的项放入括号内：
$y=2(x^2+\frac{3}{2}x)-1$
括号内凑完全平方，一次项系数$\frac{3}{2}$的一半为$\frac{3}{4}$，其平方为$\frac{9}{16}$，因此括号内加、减$\frac{9}{16}$保证值不变：
$\begin{aligned}y&=2[(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16})-\frac{9}{16}]-1\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - 2×\frac{9}{16} -1\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{8}{8}\\&=2(x+\frac{3}{4})^2 - \frac{17}{8}\end{aligned}$
对比选项可知结果为C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘法运算
2.配方法
3.二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式变形的基础题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意提取二次项系数后，括号内减去的常数项需要乘上提取的系数，避免出现常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
④当$m=$
-2
时，抛物线$y=mx^2 + 2(m + 2)x + m + 3$的对称轴是$y$轴。答案
4.-2
解析
【分析】
首先明确抛物线对应二次函数的二次项系数不为0，其次回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，对称轴为y轴即$x=0$，因此只需让对称轴公式的分子为0，同时满足二次项系数不为0，列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：
∵ 该函数图象是抛物线，
∴ 二次项系数$m ≠ 0$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a ≠ 0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
本题中$a=m$，$b=2(m+2)$，
∵ 抛物线的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，
∴ $-\frac{2(m+2)}{2m}=0$，
分式值为0需满足分子为0且分母不为0，
∴ $2(m+2)=0$，且$m ≠ 0$，
解得$m=-2$，符合$m ≠ 0$的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数定义；分式值为0的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次函数对称轴的相关性质，解题时需注意抛物线隐含的二次项系数不为0的条件，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.8
首先明确抛物线对应二次函数的二次项系数不为0，其次回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，对称轴为y轴即$x=0$，因此只需让对称轴公式的分子为0，同时满足二次项系数不为0，列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：
∵ 该函数图象是抛物线，
∴ 二次项系数$m ≠ 0$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a ≠ 0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
本题中$a=m$，$b=2(m+2)$，
∵ 抛物线的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，
∴ $-\frac{2(m+2)}{2m}=0$，
分式值为0需满足分子为0且分母不为0，
∴ $2(m+2)=0$，且$m ≠ 0$，
解得$m=-2$，符合$m ≠ 0$的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数定义；分式值为0的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次函数对称轴的相关性质，解题时需注意抛物线隐含的二次项系数不为0的条件，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.8
5 抛物线 $y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 1$ 有最
高
点（填“高”或“低”），其坐标为(3, 4)
。答案
5.高，(3, 4)
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步先根据二次函数二次项系数$a$的正负判断抛物线开口方向，开口向下时有最高点，开口向上时有最低点；第二步计算顶点坐标，可选用配方法或顶点坐标公式两种九年级要求掌握的方法求解即可。
【解析】
1. 判断最值点类型：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，本题中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下，存在最高点。
2. 求解顶点坐标：
方法一（配方法）：
对解析式变形配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 1\\&=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x) + 1\\&=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x+9-9) +1\\&=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2 + 3 +1\\&=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2 +4\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(3,4)$。
方法二（公式法）：
顶点横坐标满足$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{1}{3}、b=2$得：
$x=-\dfrac{2}{2×(-\dfrac{1}{3})}=3$
将$x=3$代入原函数：
$y=-\dfrac{1}{3}×3^2 +2×3 +1=-3+6+1=4$
可得顶点坐标为$(3,4)$。
【答案】
高，$(3,4)$
【知识点】
二次函数开口性质，顶点坐标计算，二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数图像性质和顶点坐标的求解方法，熟练掌握开口方向判断规则、配方法或顶点公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步先根据二次函数二次项系数$a$的正负判断抛物线开口方向，开口向下时有最高点，开口向上时有最低点；第二步计算顶点坐标，可选用配方法或顶点坐标公式两种九年级要求掌握的方法求解即可。
【解析】
1. 判断最值点类型：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，本题中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下，存在最高点。
2. 求解顶点坐标：
方法一（配方法）：
对解析式变形配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 1\\&=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x) + 1\\&=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x+9-9) +1\\&=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2 + 3 +1\\&=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2 +4\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(3,4)$。
方法二（公式法）：
顶点横坐标满足$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{1}{3}、b=2$得：
$x=-\dfrac{2}{2×(-\dfrac{1}{3})}=3$
将$x=3$代入原函数：
$y=-\dfrac{1}{3}×3^2 +2×3 +1=-3+6+1=4$
可得顶点坐标为$(3,4)$。
【答案】
高，$(3,4)$
【知识点】
二次函数开口性质，顶点坐标计算，二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数图像性质和顶点坐标的求解方法，熟练掌握开口方向判断规则、配方法或顶点公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
⑥ 抛物线$y=-3x^2+bx+c$是由抛物线$y=-3x^2-6x+1$向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则$b=$
-18
，$c=$-20
。答案
6.-18，-20
解析
【分析】
解题思路：解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移顺序：先将原抛物线向上平移3个单位（即给函数整体加3），再向左平移2个单位（即将解析式中所有的x替换为x+2），最后将平移后的解析式整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式，与题目给出的抛物线解析式对比对应系数，即可求出b、c的值。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=-3x^2-6x+1$
1. 先向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，得：
$y=-3x^2-6x+1+3=-3x^2-6x+4$
2. 再向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将x替换为$x+2$，代入得：
$y=-3(x+2)^2-6(x+2)+4$
3. 展开并整理上式：
$\begin{aligned}y&=-3(x^2+4x+4)-6x-12+4\\&=-3x^2-12x-12-6x-12+4\\&=-3x^2-18x-20\end{aligned}$
对比$y=-3x^2+bx+c$，可得$b=-18$，$c=-20$。
【答案】
$\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数一般式
3. 整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查对平移规则的理解和运用，解题时需注意“左加右减”是针对自变量x本身的变换，展开计算时要注意符号，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题思路：解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移顺序：先将原抛物线向上平移3个单位（即给函数整体加3），再向左平移2个单位（即将解析式中所有的x替换为x+2），最后将平移后的解析式整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式，与题目给出的抛物线解析式对比对应系数，即可求出b、c的值。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=-3x^2-6x+1$
1. 先向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，得：
$y=-3x^2-6x+1+3=-3x^2-6x+4$
2. 再向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将x替换为$x+2$，代入得：
$y=-3(x+2)^2-6(x+2)+4$
3. 展开并整理上式：
$\begin{aligned}y&=-3(x^2+4x+4)-6x-12+4\\&=-3x^2-12x-12-6x-12+4\\&=-3x^2-18x-20\end{aligned}$
对比$y=-3x^2+bx+c$，可得$b=-18$，$c=-20$。
【答案】
$\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数一般式
3. 整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查对平移规则的理解和运用，解题时需注意“左加右减”是针对自变量x本身的变换，展开计算时要注意符号，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
7 对于开口向上的抛物线$y=ax^2 - 2ax + c(a≠0)$，当x
$x≥1$
时，y随着x的增大而增大。答案
7.$x≥1$
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是利用二次函数的增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而增大，因此我们需要先求出该抛物线的对称轴。首先回忆二次函数对称轴的计算公式$x=-\frac{b}{2a}$，先对应找到题目中函数的一次项系数和二次项系数，代入公式算出对称轴后，结合开口向上的性质就能直接得到对应的x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=ax^2 - 2ax + c$中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，代入公式计算对称轴：
$x=-\frac{-2a}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$
已知抛物线开口向上，因此在对称轴右侧即$x≥1$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是准确求出抛物线的对称轴，结合开口方向即可快速判断函数的增减区间，需要熟练掌握二次函数的基础性质和对称轴的计算方法。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心思路是利用二次函数的增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而增大，因此我们需要先求出该抛物线的对称轴。首先回忆二次函数对称轴的计算公式$x=-\frac{b}{2a}$，先对应找到题目中函数的一次项系数和二次项系数，代入公式算出对称轴后，结合开口向上的性质就能直接得到对应的x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=ax^2 - 2ax + c$中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，代入公式计算对称轴：
$x=-\frac{-2a}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$
已知抛物线开口向上，因此在对称轴右侧即$x≥1$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是准确求出抛物线的对称轴，结合开口方向即可快速判断函数的增减区间，需要熟练掌握二次函数的基础性质和对称轴的计算方法。
【难度系数】
0.8
⑧ 抛物线$y=2x^2 +bx +c$的顶点坐标是$(1,-2)$，则$b=$
-4
，$c=$0
。答案
8.-4，0
解析
【分析】
要解决这道题，可利用二次函数顶点坐标与解析式系数的关系求解：首先已知二次项系数$a=2$，顶点横坐标为1，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$可先求出$b$的值；再将求出的$b$和顶点坐标$(1,-2)$代入抛物线解析式，就能求出$c$的值。也可以先根据顶点坐标写出顶点式，展开为一般式后对应系数得到$b$、$c$的值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法1：利用顶点坐标公式求解
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
由题可知$a=2$，顶点横坐标为1，代入公式得：
$-\frac{b}{2×2}=1$
解得$b=-4$。
将$b=-4$、顶点坐标$(1,-2)$代入抛物线解析式：
$-2=2×1^2 + (-4)×1 + c$
计算得$-2=2-4+c$，解得$c=0$。
方法2：利用顶点式求解
已知抛物线顶点为$(1,-2)$，二次项系数为2，可设顶点式为：
$y=2(x-1)^2 -2$
展开得：$y=2(x^2-2x+1)-2=2x^2-4x+2-2=2x^2-4x$
和一般式$y=2x^2+bx+c$对比系数，得$b=-4$，$c=0$。
【答案】
-4，0
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；二次函数解析式求解
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题，核心考查顶点坐标与解析式系数的对应关系，熟练掌握顶点坐标公式或顶点式的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可利用二次函数顶点坐标与解析式系数的关系求解：首先已知二次项系数$a=2$，顶点横坐标为1，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$可先求出$b$的值；再将求出的$b$和顶点坐标$(1,-2)$代入抛物线解析式，就能求出$c$的值。也可以先根据顶点坐标写出顶点式，展开为一般式后对应系数得到$b$、$c$的值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法1：利用顶点坐标公式求解
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
由题可知$a=2$，顶点横坐标为1，代入公式得：
$-\frac{b}{2×2}=1$
解得$b=-4$。
将$b=-4$、顶点坐标$(1,-2)$代入抛物线解析式：
$-2=2×1^2 + (-4)×1 + c$
计算得$-2=2-4+c$，解得$c=0$。
方法2：利用顶点式求解
已知抛物线顶点为$(1,-2)$，二次项系数为2，可设顶点式为：
$y=2(x-1)^2 -2$
展开得：$y=2(x^2-2x+1)-2=2x^2-4x+2-2=2x^2-4x$
和一般式$y=2x^2+bx+c$对比系数，得$b=-4$，$c=0$。
【答案】
-4，0
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；二次函数解析式求解
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题，核心考查顶点坐标与解析式系数的对应关系，熟练掌握顶点坐标公式或顶点式的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的表达式是 $ y = -x^2 -4x +3 $，则原抛物线的表达式为
$y=-x^2 +4$
。答案
9.$y=-x^2 +4$
解析
【分析】
要解决已知平移后二次函数解析式求原解析式的问题，首先回忆二次函数图像平移的核心规律：“左加右减（针对x），上加下减（针对整个函数值）”。本题是平移的逆推问题，因此需将题目给出的平移过程反向操作：把平移后的函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得到原抛物线解析式。计算时可以先将平移后的函数化为顶点式，通过顶点的平移快速求解，也可以直接用逆平移的替换规则对一般式变形计算。
【解析】
方法一：利用顶点式逆推
1. 先将平移后的解析式化为顶点式：
对$y = -x^2 -4x +3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+4x)+3\\&=-(x^2+4x+4-4)+3\\&=-(x+2)^2 +4 +3\\&=-(x+2)^2 +7\end{aligned}$
可知平移后抛物线的顶点为$(-2,7)$，二次项系数$a=-1$（开口方向和大小不变，原函数$a$也为-1）。
2. 逆推原抛物线顶点：
原抛物线向左平移2个单位、向上平移3个单位得到新抛物线，因此新抛物线向右平移2个单位、向下平移3个单位得到原抛物线，顶点坐标变为：
横坐标：$-2 +2 =0$，纵坐标：$7-3=4$，即原抛物线顶点为$(0,4)$。
3. 写出原抛物线解析式：
顶点式为$y=-(x-0)^2 +4$，整理得$y=-x^2 +4$。
方法二：直接用逆平移规则计算
向右平移2个单位，即将解析式中的$x$替换为$x-2$；向下平移3个单位，即整个解析式整体减3，代入得：
$\begin{aligned}y&=-(x-2)^2 -4(x-2) +3 -3\\&=-(x^2-4x+4)-4x+8\\&=-x^2+4x-4-4x+8\\&=-x^2 +4\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2 +4$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数配方
【点评】
本题核心考查二次函数平移的逆运算，解题关键是熟练掌握平移规律，逆推时注意平移方向反向、平移单位不变，通过顶点平移的方法计算可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决已知平移后二次函数解析式求原解析式的问题，首先回忆二次函数图像平移的核心规律：“左加右减（针对x），上加下减（针对整个函数值）”。本题是平移的逆推问题，因此需将题目给出的平移过程反向操作：把平移后的函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得到原抛物线解析式。计算时可以先将平移后的函数化为顶点式，通过顶点的平移快速求解，也可以直接用逆平移的替换规则对一般式变形计算。
【解析】
方法一：利用顶点式逆推
1. 先将平移后的解析式化为顶点式：
对$y = -x^2 -4x +3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+4x)+3\\&=-(x^2+4x+4-4)+3\\&=-(x+2)^2 +4 +3\\&=-(x+2)^2 +7\end{aligned}$
可知平移后抛物线的顶点为$(-2,7)$，二次项系数$a=-1$（开口方向和大小不变，原函数$a$也为-1）。
2. 逆推原抛物线顶点：
原抛物线向左平移2个单位、向上平移3个单位得到新抛物线，因此新抛物线向右平移2个单位、向下平移3个单位得到原抛物线，顶点坐标变为：
横坐标：$-2 +2 =0$，纵坐标：$7-3=4$，即原抛物线顶点为$(0,4)$。
3. 写出原抛物线解析式：
顶点式为$y=-(x-0)^2 +4$，整理得$y=-x^2 +4$。
方法二：直接用逆平移规则计算
向右平移2个单位，即将解析式中的$x$替换为$x-2$；向下平移3个单位，即整个解析式整体减3，代入得：
$\begin{aligned}y&=-(x-2)^2 -4(x-2) +3 -3\\&=-(x^2-4x+4)-4x+8\\&=-x^2+4x-4-4x+8\\&=-x^2 +4\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2 +4$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数配方
【点评】
本题核心考查二次函数平移的逆运算，解题关键是熟练掌握平移规律，逆推时注意平移方向反向、平移单位不变，通过顶点平移的方法计算可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
⑩ 如果抛物线 $ y = x^2 - \sqrt{a}x + a^2 $ 的顶点在直线 $ y = 2 $ 上，则 $ a $ 的值为
$\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$
。答案
10.$\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$
[提示:顶点的纵坐标为 $\dfrac{4a^2 -a}{4}$。因为顶点在直线 $y=2$ 上,所以$\dfrac{4a^2 -a}{4}=2$,解得 $a=\dfrac{1\pm\sqrt{129}}{8}$。又因为 $a ≥ 0$,所以 $a=\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$。]
[提示:顶点的纵坐标为 $\dfrac{4a^2 -a}{4}$。因为顶点在直线 $y=2$ 上,所以$\dfrac{4a^2 -a}{4}=2$,解得 $a=\dfrac{1\pm\sqrt{129}}{8}$。又因为 $a ≥ 0$,所以 $a=\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$。]
解析
【分析】
要解决本题，首先明确抛物线顶点在直线y=2上的含义是顶点的纵坐标等于2。第一步先回忆二次函数y=Ax²+Bx+C的顶点纵坐标公式为$\frac{4AC-B^2}{4A}$，代入本题对应系数列出关于a的方程；第二步解一元二次方程得到a的两个解；第三步注意题中存在$\sqrt{a}$，根据二次根式有意义的条件，a必须大于等于0，对解进行取舍即可得到最终结果。
【解析】
对于抛物线$y = x^2 - \sqrt{a}x + a^2$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-\sqrt{a}$，常数项$C=a^2$。
根据二次函数顶点纵坐标公式，其顶点纵坐标为：
$\frac{4AC-B^2}{4A}=\frac{4×1× a^2 - (\sqrt{a})^2}{4×1}=\frac{4a^2 - a}{4}$
因为顶点在直线$y=2$上，所以顶点纵坐标为2，列方程得：
$\frac{4a^2 - a}{4}=2$
两边同乘4整理得一元二次方程：$4a^2 - a - 8=0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入对应系数得：
$a=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 - 4×4×(-8)}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{129}}{8}$
又因为$\sqrt{a}$有意义，所以$a≥0$，其中$\frac{1-\sqrt{129}}{8}＜0$，不符合要求，舍去。
因此$a=\frac{1+\sqrt{129}}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；一元二次方程的解法；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题关键是根据顶点位置列出方程，易错点是容易忽略二次根式中被开方数非负的隐含条件，导致出现增根。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确抛物线顶点在直线y=2上的含义是顶点的纵坐标等于2。第一步先回忆二次函数y=Ax²+Bx+C的顶点纵坐标公式为$\frac{4AC-B^2}{4A}$，代入本题对应系数列出关于a的方程；第二步解一元二次方程得到a的两个解；第三步注意题中存在$\sqrt{a}$，根据二次根式有意义的条件，a必须大于等于0，对解进行取舍即可得到最终结果。
【解析】
对于抛物线$y = x^2 - \sqrt{a}x + a^2$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-\sqrt{a}$，常数项$C=a^2$。
根据二次函数顶点纵坐标公式，其顶点纵坐标为：
$\frac{4AC-B^2}{4A}=\frac{4×1× a^2 - (\sqrt{a})^2}{4×1}=\frac{4a^2 - a}{4}$
因为顶点在直线$y=2$上，所以顶点纵坐标为2，列方程得：
$\frac{4a^2 - a}{4}=2$
两边同乘4整理得一元二次方程：$4a^2 - a - 8=0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入对应系数得：
$a=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 - 4×4×(-8)}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{129}}{8}$
又因为$\sqrt{a}$有意义，所以$a≥0$，其中$\frac{1-\sqrt{129}}{8}＜0$，不符合要求，舍去。
因此$a=\frac{1+\sqrt{129}}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{129}}{8}$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；一元二次方程的解法；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题关键是根据顶点位置列出方程，易错点是容易忽略二次根式中被开方数非负的隐含条件，导致出现增根。
【难度系数】
0.6
11 指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) $y = x^2 + 6x - 3$；
(2) $y = 2x^2 - 5x + 2$；
(3) $y = 3x^2 + 2x$；
(4) $y = -(x + 1)(x - 3)$。
(1) $y = x^2 + 6x - 3$；
(2) $y = 2x^2 - 5x + 2$；
(3) $y = 3x^2 + 2x$；
(4) $y = -(x + 1)(x - 3)$。
答案
11 (1) 配方后得 $y=(x+3)^2 -12$,所以开口向上,对称轴为直线 $x=-3$,顶点坐标为$(-3,-12)$。
(2) 配方后得 $y=2(x-\dfrac{5}{4})^2 -\dfrac{9}{8}$,所以开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{5}{4}$,顶点坐标为$(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8})$。
(3) 配方后得 $y=3(x+\dfrac{1}{3})^2 -\dfrac{1}{3}$,所以开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{3}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3})$。
(4) 配方后得 $y=-(x-1)^2 +4$,所以开口向下,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 配方后得 $y=2(x-\dfrac{5}{4})^2 -\dfrac{9}{8}$,所以开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{5}{4}$,顶点坐标为$(\dfrac{5}{4},-\dfrac{9}{8})$。
(3) 配方后得 $y=3(x+\dfrac{1}{3})^2 -\dfrac{1}{3}$,所以开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{3}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3})$。
(4) 配方后得 $y=-(x-1)^2 +4$,所以开口向下,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,4)$。
解析
【分析】
要确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题思路如下：1. 开口方向由二次项系数$a$决定：若$a＞0$，开口向上；若$a＜0$，开口向下。2. 求对称轴和顶点坐标可通过配方法将一般式（或交点式先转化为一般式）化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，此时对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；也可直接使用顶点坐标公式求解，本题采用配方法更直观。
【解析】
(1) 对于$y = x^2 + 6x - 3$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上。
配方：$y=x^2+6x+9-9-3=(x+3)^2-12$，
因此对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-12)$。
(2) 对于$y = 2x^2 - 5x + 2$，二次项系数$a=2＞0$，开口向上。
配方：$y=2(x^2-\frac{5}{2}x)+2=2[x^2-\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}]+2=2(x-\frac{5}{4})^2-\frac{25}{8}+\frac{16}{8}=2(x-\frac{5}{4})^2-\frac{9}{8}$，
因此对称轴为直线$x=\frac{5}{4}$，顶点坐标为$(\frac{5}{4},-\frac{9}{8})$。
(3) 对于$y = 3x^2 + 2x$，二次项系数$a=3＞0$，开口向上。
配方：$y=3(x^2+\frac{2}{3}x)=3[x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]=3(x+\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}$，
因此对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$。
(4) 先将$y = -(x + 1)(x - 3)$展开为一般式：$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$，二次项系数$a=-1＜0$，开口向下。
配方：$y=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+1+3=-(x-1)^2+4$，
因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-12)$；
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\frac{5}{4}$，顶点坐标为$(\frac{5}{4},-\frac{9}{8})$；
(3) 开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$；
(4) 开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
【知识点】
二次函数的图像性质，配方法，二次函数形式转化
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型练习题，重点考察配方法的应用以及对二次函数核心特征的识别能力，熟练掌握相关方法后可以快速求解，是后续学习二次函数最值、增减性等内容的基础。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题思路如下：1. 开口方向由二次项系数$a$决定：若$a＞0$，开口向上；若$a＜0$，开口向下。2. 求对称轴和顶点坐标可通过配方法将一般式（或交点式先转化为一般式）化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，此时对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；也可直接使用顶点坐标公式求解，本题采用配方法更直观。
【解析】
(1) 对于$y = x^2 + 6x - 3$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上。
配方：$y=x^2+6x+9-9-3=(x+3)^2-12$，
因此对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-12)$。
(2) 对于$y = 2x^2 - 5x + 2$，二次项系数$a=2＞0$，开口向上。
配方：$y=2(x^2-\frac{5}{2}x)+2=2[x^2-\frac{5}{2}x+(\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}]+2=2(x-\frac{5}{4})^2-\frac{25}{8}+\frac{16}{8}=2(x-\frac{5}{4})^2-\frac{9}{8}$，
因此对称轴为直线$x=\frac{5}{4}$，顶点坐标为$(\frac{5}{4},-\frac{9}{8})$。
(3) 对于$y = 3x^2 + 2x$，二次项系数$a=3＞0$，开口向上。
配方：$y=3(x^2+\frac{2}{3}x)=3[x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]=3(x+\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}$，
因此对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$。
(4) 先将$y = -(x + 1)(x - 3)$展开为一般式：$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$，二次项系数$a=-1＜0$，开口向下。
配方：$y=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+1+3=-(x-1)^2+4$，
因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-12)$；
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\frac{5}{4}$，顶点坐标为$(\frac{5}{4},-\frac{9}{8})$；
(3) 开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$；
(4) 开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
【知识点】
二次函数的图像性质，配方法，二次函数形式转化
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型练习题，重点考察配方法的应用以及对二次函数核心特征的识别能力，熟练掌握相关方法后可以快速求解，是后续学习二次函数最值、增减性等内容的基础。
【难度系数】
0.8
