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12 为调查某校九年级学生右眼的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行视力检查，检查结果如表所示：
（1）求这50名学生右眼视力的众数与中位数。
（2）求这50名学生右眼视力的平均数，据此估计该校九年级学生右眼视力的平均数。
（1）求这50名学生右眼视力的众数与中位数。
（2）求这50名学生右眼视力的平均数，据此估计该校九年级学生右眼视力的平均数。
答案
12.（1）众数:1.2。中位数:第25个数据是0.8,第26个数据是1.0,所以中位数是0.9。
（2）(0.1+0.2+0.3×3+0.4×4+0.5×3+0.6×4+0.7×4+0.8×5+1.0×9+1.2×10+1.5×6)/50=0.87。
（2）(0.1+0.2+0.3×3+0.4×4+0.5×3+0.6×4+0.7×4+0.8×5+1.0×9+1.2×10+1.5×6)/50=0.87。
解析
【分析】
（1）求解众数时，根据众数定义，只需找到表格中人数最多的对应视力值即可；求解中位数时，首先明确50个数据按从小到大排序后，中位数为第25、26个数据的平均数，因此先累计各视力对应的人数，定位第25、26个数据对应的视力，再求平均得到中位数。
（2）求解平均数需要用加权平均数公式，将每个视力值乘对应人数求和得到总视力和，再除以总人数50即可得到样本平均数，根据样本估计总体的思想，用样本平均数即可估计该校九年级学生右眼视力的平均数。
【解析】
（1）①求众数：观察表格中人数行，视力为1.2的人数为10，是所有视力中人数最多的，因此众数为1.2。
②求中位数：将50名学生的视力从小到大排序，中位数为第25、第26个数据的平均数。累计各视力的人数：
视力0.1到0.7的累计人数：$1+1+3+4+3+4+4=20$人，
视力0.8的人数为5，累计到0.8时总人数为$20+5=25$人，因此第25个数据是0.8，第26个数据是下一个视力值1.0，
所以中位数为$\frac{0.8+1.0}{2}=0.9$。
（2）根据加权平均数公式计算：
总视力和=$0.1×1 + 0.2×1 + 0.3×3 + 0.4×4 + 0.5×3 + 0.6×4 + 0.7×4 + 0.8×5 + 1.0×9 + 1.2×10 + 1.5×6=43.5$，
因此平均数为$\frac{43.5}{50}=0.87$，
用样本平均数估计总体，可知该校九年级学生右眼视力的平均数约为0.87。
【答案】
（1）众数为1.2，中位数为0.9；
（2）这50名学生右眼视力的平均数为0.87，估计该校九年级学生右眼视力的平均数为0.87。
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；加权平均数的计算
【点评】
本题考查统计中三类常见特征量的计算，解题核心是准确把握各特征量的定义：众数关注出现次数最多的数据，中位数需先排序再找对应位置的数据，加权平均数要注意各数据的权重，掌握这些要点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）求解众数时，根据众数定义，只需找到表格中人数最多的对应视力值即可；求解中位数时，首先明确50个数据按从小到大排序后，中位数为第25、26个数据的平均数，因此先累计各视力对应的人数，定位第25、26个数据对应的视力，再求平均得到中位数。
（2）求解平均数需要用加权平均数公式，将每个视力值乘对应人数求和得到总视力和，再除以总人数50即可得到样本平均数，根据样本估计总体的思想，用样本平均数即可估计该校九年级学生右眼视力的平均数。
【解析】
（1）①求众数：观察表格中人数行，视力为1.2的人数为10，是所有视力中人数最多的，因此众数为1.2。
②求中位数：将50名学生的视力从小到大排序，中位数为第25、第26个数据的平均数。累计各视力的人数：
视力0.1到0.7的累计人数：$1+1+3+4+3+4+4=20$人，
视力0.8的人数为5，累计到0.8时总人数为$20+5=25$人，因此第25个数据是0.8，第26个数据是下一个视力值1.0，
所以中位数为$\frac{0.8+1.0}{2}=0.9$。
（2）根据加权平均数公式计算：
总视力和=$0.1×1 + 0.2×1 + 0.3×3 + 0.4×4 + 0.5×3 + 0.6×4 + 0.7×4 + 0.8×5 + 1.0×9 + 1.2×10 + 1.5×6=43.5$，
因此平均数为$\frac{43.5}{50}=0.87$，
用样本平均数估计总体，可知该校九年级学生右眼视力的平均数约为0.87。
【答案】
（1）众数为1.2，中位数为0.9；
（2）这50名学生右眼视力的平均数为0.87，估计该校九年级学生右眼视力的平均数为0.87。
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；加权平均数的计算
【点评】
本题考查统计中三类常见特征量的计算，解题核心是准确把握各特征量的定义：众数关注出现次数最多的数据，中位数需先排序再找对应位置的数据，加权平均数要注意各数据的权重，掌握这些要点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13 某班组织一次数学测试，全班学生成绩的分布情况如图所示：
（1）全班学生数学成绩的众数是
（2）全班学生数学成绩的中位数是
（3）分别计算两个小组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比。
（1）全班学生数学成绩的众数是
95
分，全班学生数学成绩为众数的有20
人；（2）全班学生数学成绩的中位数是
92.5
分；（3）分别计算两个小组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比。
答案
13.（1）95，20
（2）全班人数一共50人。80分的有5人,85分的有8人,90分的有12人,95分的有20人,100分的有5人,第25个数据是90,第26个数据是95,所以中位数是92.5。
（3）全班数学成绩超过中位数的是95分和100分的,第一组数学成绩超过中位数的有12人,占全班人数的百分比为12÷50=24%;第二组数学成绩超过中位数的有13人,占全班人数的百分比为13÷50=26%。
（2）全班人数一共50人。80分的有5人,85分的有8人,90分的有12人,95分的有20人,100分的有5人,第25个数据是90,第26个数据是95,所以中位数是92.5。
（3）全班数学成绩超过中位数的是95分和100分的,第一组数学成绩超过中位数的有12人,占全班人数的百分比为12÷50=24%;第二组数学成绩超过中位数的有13人,占全班人数的百分比为13÷50=26%。
解析
【分析】
解题时首先要从条形统计图中准确读取各分数段两个小组的人数，再结合对应统计量的定义分步计算：1. 求众数时，众数是一组数据中出现次数最多的数，只需对比各分数的总人数，找到人数最多的分数及对应总人数即可；2. 求中位数时，先计算全班总人数，将所有成绩从小到大排列，若总人数为偶数，中位数取中间两个数的平均数，找到对应位置的两个数计算即可；3. 计算百分比时，先确定超过中位数的分数范围，分别统计两组在该范围内的人数，再除以全班总人数即可得到结果。
【解析】
首先统计各分数段的人数：
80分：第一组3人，第二组2人，共$3+2=5$人；
85分：第一组5人，第二组3人，共$5+3=8$人；
90分：第一组5人，第二组7人，共$5+7=12$人；
95分：第一组11人，第二组9人，共$11+9=20$人；
100分：第一组1人，第二组4人，共$1+4=5$人；
全班总人数：$5+8+12+20+5=50$人。
（1）对比各分数总人数，95分的人数最多，因此众数是95分，对应人数为20人。
（2）总人数为50是偶数，中位数为排序后第25、26个数据的平均数。将成绩从小到大排列：前5个为80分，接下来8个为85分（累计到第13个），接下来12个为90分（累计到第25个），因此第25个数据是90分，第26个数据是95分，中位数为$\frac{90+95}{2}=92.5$分。
（3）超过92.5分的分数为95分、100分：
第一组超过中位数的人数为$11+1=12$人，占比为$\frac{12}{50}×100\%=24\%$；
第二组超过中位数的人数为$9+4=13$人，占比为$\frac{13}{50}×100\%=26\%$。
【答案】
（1）95，20；（2）92.5；（3）第一组占24%，第二组占26%
【知识点】
众数的定义，中位数的计算，百分比计算
【点评】
本题结合条形统计图考查统计相关计算，解题核心是准确读取统计图中的数据，熟练掌握众数、中位数的定义，计算百分比时注意找准对应人数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要从条形统计图中准确读取各分数段两个小组的人数，再结合对应统计量的定义分步计算：1. 求众数时，众数是一组数据中出现次数最多的数，只需对比各分数的总人数，找到人数最多的分数及对应总人数即可；2. 求中位数时，先计算全班总人数，将所有成绩从小到大排列，若总人数为偶数，中位数取中间两个数的平均数，找到对应位置的两个数计算即可；3. 计算百分比时，先确定超过中位数的分数范围，分别统计两组在该范围内的人数，再除以全班总人数即可得到结果。
【解析】
首先统计各分数段的人数：
80分：第一组3人，第二组2人，共$3+2=5$人；
85分：第一组5人，第二组3人，共$5+3=8$人；
90分：第一组5人，第二组7人，共$5+7=12$人；
95分：第一组11人，第二组9人，共$11+9=20$人；
100分：第一组1人，第二组4人，共$1+4=5$人；
全班总人数：$5+8+12+20+5=50$人。
（1）对比各分数总人数，95分的人数最多，因此众数是95分，对应人数为20人。
（2）总人数为50是偶数，中位数为排序后第25、26个数据的平均数。将成绩从小到大排列：前5个为80分，接下来8个为85分（累计到第13个），接下来12个为90分（累计到第25个），因此第25个数据是90分，第26个数据是95分，中位数为$\frac{90+95}{2}=92.5$分。
（3）超过92.5分的分数为95分、100分：
第一组超过中位数的人数为$11+1=12$人，占比为$\frac{12}{50}×100\%=24\%$；
第二组超过中位数的人数为$9+4=13$人，占比为$\frac{13}{50}×100\%=26\%$。
【答案】
（1）95，20；（2）92.5；（3）第一组占24%，第二组占26%
【知识点】
众数的定义，中位数的计算，百分比计算
【点评】
本题结合条形统计图考查统计相关计算，解题核心是准确读取统计图中的数据，熟练掌握众数、中位数的定义，计算百分比时注意找准对应人数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
14 下表是某班20名学生的第一次数学成绩的统计表：
（1）若成绩的平均数为73分，求x和y的值。
（2）若此班20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a－b的值。
（1）若成绩的平均数为73分，求x和y的值。
（2）若此班20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a－b的值。
答案
14.（1）由题意得,{1+4+x+y+2=20, (50+60×4+70x+80y+90×2)/20=73, 解得{x=5, y=8。
（2）因为x+y=13,所以x、y中必有一个大于4,所以众数为70或80。当x＞6时,x＞y,此时众数为70,中位数为70,所以a-b=0;当x=6时,y=7,此时众数为80,中位数为70,所以a-b=10;当x=5时,y=8,此时众数为80,中位数为(70+80)/2=75,所以a-b=5;当x＜5时,此时众数为80,中位数为80,所以a-b=0。
（2）因为x+y=13,所以x、y中必有一个大于4,所以众数为70或80。当x＞6时,x＞y,此时众数为70,中位数为70,所以a-b=0;当x=6时,y=7,此时众数为80,中位数为70,所以a-b=10;当x=5时,y=8,此时众数为80,中位数为(70+80)/2=75,所以a-b=5;当x＜5时,此时众数为80,中位数为80,所以a-b=0。
解析
【分析】
（1）首先依据总人数为20可列出第一个关于x、y的方程，再结合加权平均数的计算公式，利用平均分为73分列第二个方程，联立得到二元一次方程组，求解即可得到x、y的值；
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数（第10、11个成绩）的平均数，结合x+y=13的条件，分情况讨论x的不同取值，分别确定对应的众数a和中位数b，再计算a-b的值即可。
【解析】
（1）根据题意列方程组：
$\begin{cases}1+4+x+y+2=20\\\frac{50×1 + 60×4 + 70x + 80y + 90×2}{20}=73\end{cases}$
化简第一个方程得：$x+y=13$ ①
化简第二个方程：
$50+240+70x+80y+180=1460$
整理得$7x+8y=99$ ②
将①变形为$y=13-x$代入②：
$7x+8(13-x)=99$，解得$x=5$，代入①得$y=8$。
（2）由$x+y=13$可知，70分和80分的总人数为13，二者中必有一个人数多于4，因此众数为70分或80分，分情况讨论：
①当$x＞6$时，$x＞y$，70分人数最多，众数$a=70$；排序后前$1+4=5$人为50、60分，后续至少7个70分，因此第10、11个成绩均为70分，中位数$b=70$，$a-b=0$；
②当$x=6$时，$y=7$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前5人，后续6个70分到第11位，第10、11个成绩均为70分，中位数$b=70$，$a-b=10$；
③当$x=5$时，$y=8$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前5人，后续5个70分到第10位，第10个成绩为70，第11个为80，中位数$b=\frac{70+80}{2}=75$，$a-b=5$；
④当$x＜5$时，$y≥9$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前$1+4+x≤9$人，第10、11个成绩均为80分，中位数$b=80$，$a-b=0$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}$
（2）a-b的值为0或5或10
【知识点】
二元一次方程组的应用；加权平均数计算；中位数与众数
【点评】
本题综合考查了统计量的计算与方程的应用，解题核心是熟练掌握各类统计量的定义，第二问需要结合x的取值分类讨论，避免漏解，能够很好地锻炼分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先依据总人数为20可列出第一个关于x、y的方程，再结合加权平均数的计算公式，利用平均分为73分列第二个方程，联立得到二元一次方程组，求解即可得到x、y的值；
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数（第10、11个成绩）的平均数，结合x+y=13的条件，分情况讨论x的不同取值，分别确定对应的众数a和中位数b，再计算a-b的值即可。
【解析】
（1）根据题意列方程组：
$\begin{cases}1+4+x+y+2=20\\\frac{50×1 + 60×4 + 70x + 80y + 90×2}{20}=73\end{cases}$
化简第一个方程得：$x+y=13$ ①
化简第二个方程：
$50+240+70x+80y+180=1460$
整理得$7x+8y=99$ ②
将①变形为$y=13-x$代入②：
$7x+8(13-x)=99$，解得$x=5$，代入①得$y=8$。
（2）由$x+y=13$可知，70分和80分的总人数为13，二者中必有一个人数多于4，因此众数为70分或80分，分情况讨论：
①当$x＞6$时，$x＞y$，70分人数最多，众数$a=70$；排序后前$1+4=5$人为50、60分，后续至少7个70分，因此第10、11个成绩均为70分，中位数$b=70$，$a-b=0$；
②当$x=6$时，$y=7$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前5人，后续6个70分到第11位，第10、11个成绩均为70分，中位数$b=70$，$a-b=10$；
③当$x=5$时，$y=8$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前5人，后续5个70分到第10位，第10个成绩为70，第11个为80，中位数$b=\frac{70+80}{2}=75$，$a-b=5$；
④当$x＜5$时，$y≥9$，80分人数最多，众数$a=80$；排序后前$1+4+x≤9$人，第10、11个成绩均为80分，中位数$b=80$，$a-b=0$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}$
（2）a-b的值为0或5或10
【知识点】
二元一次方程组的应用；加权平均数计算；中位数与众数
【点评】
本题综合考查了统计量的计算与方程的应用，解题核心是熟练掌握各类统计量的定义，第二问需要结合x的取值分类讨论，避免漏解，能够很好地锻炼分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
