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1 从长度分别为1cm、2cm、6cm的三条线段中任选2条，与长度为5cm的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）。A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先分两步走：第一步，先列举出从长度为1cm、2cm、6cm的三条线段中任选2条的所有等可能结果，得到总情况数；第二步，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），逐一判断每种选出的两条线段和5cm的线段能否构成三角形，统计符合条件的情况数；最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
首先，从1cm、2cm、6cm三条线段中任选2条，共有3种等可能的结果，分别是：①1cm和2cm；②1cm和6cm；③2cm和6cm。
接下来逐一判断能否与5cm线段构成三角形：
1. 若选1cm和2cm，三条线段长度为1cm、2cm、5cm：
因为$1+2=3＜5$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
2. 若选1cm和6cm，三条线段长度为1cm、5cm、6cm：
因为$1+5=6$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
3. 若选2cm和6cm，三条线段长度为2cm、5cm、6cm：
因为$2+5=7＞6$，$2+6=8＞5$，$5+6=11＞2$，同时$6-2=4＜5$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，符合条件的情况有1种，所以能连成三角形的概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；三角形三边关系
【点评】
本题是概率与三角形性质的基础综合题，解题核心是准确列举所有等可能情况，再依据三角形三边关系筛选有效情况，注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
解题时先分两步走：第一步，先列举出从长度为1cm、2cm、6cm的三条线段中任选2条的所有等可能结果，得到总情况数；第二步，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），逐一判断每种选出的两条线段和5cm的线段能否构成三角形，统计符合条件的情况数；最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
首先，从1cm、2cm、6cm三条线段中任选2条，共有3种等可能的结果，分别是：①1cm和2cm；②1cm和6cm；③2cm和6cm。
接下来逐一判断能否与5cm线段构成三角形：
1. 若选1cm和2cm，三条线段长度为1cm、2cm、5cm：
因为$1+2=3＜5$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
2. 若选1cm和6cm，三条线段长度为1cm、5cm、6cm：
因为$1+5=6$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
3. 若选2cm和6cm，三条线段长度为2cm、5cm、6cm：
因为$2+5=7＞6$，$2+6=8＞5$，$5+6=11＞2$，同时$6-2=4＜5$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，符合条件的情况有1种，所以能连成三角形的概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；三角形三边关系
【点评】
本题是概率与三角形性质的基础综合题，解题核心是准确列举所有等可能情况，再依据三角形三边关系筛选有效情况，注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
2 四张背面相同的卡片上分别写有李商隐《夜雨寄北》的四句诗：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池。何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时。”将四张卡片背面朝上打乱洗匀，然后依次抽出四张卡片，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{24}$
D
）。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{24}$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道概率题，核心是运用“等可能事件概率=符合要求的结果数÷所有等可能的总结果数”的公式求解。第一步先确定总结果数：依次抽取4张不同的卡片，第一张有4种选择，抽完第一张后剩余3张，第二张有3种选择，同理第三张2种、第四张1种，用乘法就能算出总排列数；第二步确定符合要求的结果数：只有和原诗句顺序完全一致的1种情况；最后代入公式计算概率，对应选项即可。
【解析】
解：依次抽取4张不同的卡片，所有等可能的排列结果数计算如下：
抽取第一张卡片，共有4种可选情况；
抽取第二张卡片，剩余3张，共有3种可选情况；
抽取第三张卡片，剩余2张，共有2种可选情况；
抽取第四张卡片，仅剩1张，只有1种情况。
因此总共有 $4×3×2×1=24$ 种等可能的结果。
其中，四张卡片诗句顺序和原诗完全一致的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率 $P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{24}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，排列计数，等可能事件概率
【点评】
本题重点考查等可能事件概率的计算，解题的关键是通过分步计数的方法求出所有排列的总情况数，易错点是容易误将总情况数算成4种导致选错，只要理清分步抽取的逻辑就能正确作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道概率题，核心是运用“等可能事件概率=符合要求的结果数÷所有等可能的总结果数”的公式求解。第一步先确定总结果数：依次抽取4张不同的卡片，第一张有4种选择，抽完第一张后剩余3张，第二张有3种选择，同理第三张2种、第四张1种，用乘法就能算出总排列数；第二步确定符合要求的结果数：只有和原诗句顺序完全一致的1种情况；最后代入公式计算概率，对应选项即可。
【解析】
解：依次抽取4张不同的卡片，所有等可能的排列结果数计算如下：
抽取第一张卡片，共有4种可选情况；
抽取第二张卡片，剩余3张，共有3种可选情况；
抽取第三张卡片，剩余2张，共有2种可选情况；
抽取第四张卡片，仅剩1张，只有1种情况。
因此总共有 $4×3×2×1=24$ 种等可能的结果。
其中，四张卡片诗句顺序和原诗完全一致的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率 $P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{24}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，排列计数，等可能事件概率
【点评】
本题重点考查等可能事件概率的计算，解题的关键是通过分步计数的方法求出所有排列的总情况数，易错点是容易误将总情况数算成4种导致选错，只要理清分步抽取的逻辑就能正确作答。
【难度系数】
0.7
3 从-3、-2、-1、0、1、2、3这七个数中，随机抽一个数，记为a。若数a使关于x的一元二次方程$x^2 - 2(a - 4)x + a^2 = 0$有实数解，且关于y的分式方程$\frac{y + a}{y - 1} - 3 = \frac{1}{1 - y}$有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（
A.$\frac{6}{7}$
B.$\frac{5}{7}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{2}{7}$
D
）。A.$\frac{6}{7}$
B.$\frac{5}{7}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{2}{7}$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步先根据一元二次方程有实数解的条件，利用判别式求出a的取值范围，从给定的7个数中筛选出符合第一个条件的a；第二步解分式方程，结合分式方程有正整数解、分母不为0（避免增根）的要求，从第一步筛选出的a里再挑出同时满足第二个条件的a；第三步用符合条件的a的个数除以总个数7，即可得到所求概率。
【解析】
1. 根据一元二次方程有实数解的条件筛选a：
对于一元二次方程$x^2 - 2(a - 4)x + a^2 = 0$，判别式$\Delta ≥ 0$时方程有实根。
计算判别式：
$\Delta = [-2(a-4)]^2 - 4×1× a^2$
$=4(a^2 -8a +16) -4a^2$
$=-32a +64$
令$\Delta ≥ 0$，即$-32a +64 ≥ 0$，解得$a ≤ 2$。
给定的7个数中，符合该条件的a为：-3、-2、-1、0、1、2。
2. 根据分式方程的条件筛选a：
解分式方程$\frac{y + a}{y - 1} - 3 = \frac{1}{1 - y}$，首先分母不为0，即$y ≠ 1$。
方程两边同乘$(y-1)$消去分母得：
$y + a - 3(y-1) = -1$
整理得：$-2y = -a -4$，解得$y=\frac{a+4}{2}$。
要求解为正整数，因此：
① $y＞0$，即$\frac{a+4}{2}＞0$，得$a＞-4$，第一步筛选出的a均满足该条件；
② $y$为正整数，即$a+4$是正偶数；
③ $y ≠ 1$，即$\frac{a+4}{2} ≠ 1$，得$a ≠ -2$。
将第一步筛选出的a逐个验证：
a=-3：$y=\frac{1}{2}$，不是整数，排除；
a=-2：$y=1$，为增根，排除；
a=-1：$y=\frac{3}{2}$，不是整数，排除；
a=0：$y=2$，是正整数，符合；
a=1：$y=\frac{5}{2}$，不是整数，排除；
a=2：$y=3$，是正整数，符合。
综上，符合所有条件的a为0、2，共2个。
3. 计算概率：总共有7个数，所以概率$P=\frac{2}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式方程的解，概率公式
【点评】
本题是方程与概率的综合题，解题时需注意两个易错点：一是解分式方程时要检验分母不为0，避免把增根当成有效解；二是要同时满足两个方程的条件，不能漏看任一限制要求。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，需分三步思考：第一步先根据一元二次方程有实数解的条件，利用判别式求出a的取值范围，从给定的7个数中筛选出符合第一个条件的a；第二步解分式方程，结合分式方程有正整数解、分母不为0（避免增根）的要求，从第一步筛选出的a里再挑出同时满足第二个条件的a；第三步用符合条件的a的个数除以总个数7，即可得到所求概率。
【解析】
1. 根据一元二次方程有实数解的条件筛选a：
对于一元二次方程$x^2 - 2(a - 4)x + a^2 = 0$，判别式$\Delta ≥ 0$时方程有实根。
计算判别式：
$\Delta = [-2(a-4)]^2 - 4×1× a^2$
$=4(a^2 -8a +16) -4a^2$
$=-32a +64$
令$\Delta ≥ 0$，即$-32a +64 ≥ 0$，解得$a ≤ 2$。
给定的7个数中，符合该条件的a为：-3、-2、-1、0、1、2。
2. 根据分式方程的条件筛选a：
解分式方程$\frac{y + a}{y - 1} - 3 = \frac{1}{1 - y}$，首先分母不为0，即$y ≠ 1$。
方程两边同乘$(y-1)$消去分母得：
$y + a - 3(y-1) = -1$
整理得：$-2y = -a -4$，解得$y=\frac{a+4}{2}$。
要求解为正整数，因此：
① $y＞0$，即$\frac{a+4}{2}＞0$，得$a＞-4$，第一步筛选出的a均满足该条件；
② $y$为正整数，即$a+4$是正偶数；
③ $y ≠ 1$，即$\frac{a+4}{2} ≠ 1$，得$a ≠ -2$。
将第一步筛选出的a逐个验证：
a=-3：$y=\frac{1}{2}$，不是整数，排除；
a=-2：$y=1$，为增根，排除；
a=-1：$y=\frac{3}{2}$，不是整数，排除；
a=0：$y=2$，是正整数，符合；
a=1：$y=\frac{5}{2}$，不是整数，排除；
a=2：$y=3$，是正整数，符合。
综上，符合所有条件的a为0、2，共2个。
3. 计算概率：总共有7个数，所以概率$P=\frac{2}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式方程的解，概率公式
【点评】
本题是方程与概率的综合题，解题时需注意两个易错点：一是解分式方程时要检验分母不为0，避免把增根当成有效解；二是要同时满足两个方程的条件，不能漏看任一限制要求。
【难度系数】
0.4
4 如图，在边长为1的小正方形组成的4×4网格中，网格线的交点称为格点。已知A、B是两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为（
A.$\frac{4}{25}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{6}{25}$
D.$\frac{8}{25}$
C
）。A.$\frac{4}{25}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{6}{25}$
D.$\frac{8}{25}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是结合网格的几何概率问题，解题步骤可分为三步：第一步先确定总样本数，即网格中所有可放置点C的格点总数；第二步利用格点三角形面积的计算方法，结合同底等高三角形面积相等的性质，找出所有能使△ABC面积为1的格点C的数量；第三步根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总格点数：边长为1的小正方形组成的4×4网格，横向、纵向的格点数量均为$4+1=5$个，因此总格点数量为$5×5=25$个，即点C的所有可能位置共25种。
2. 计算满足条件的点C个数：设小正方形边长为1，要使△ABC的面积为1，根据三角形面积公式，结合AB的位置特征，逐一排查格点后，可得符合条件的格点C共有6个。
3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得所求概率为$\frac{6}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
几何概率，格点三角形面积计算，概率公式
【点评】
本题综合考查了网格中的面积计算和概率求解，解题的关键是准确计数符合条件的格点，注意避免漏数或多数格点，掌握格点图形面积的计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.6
本题是结合网格的几何概率问题，解题步骤可分为三步：第一步先确定总样本数，即网格中所有可放置点C的格点总数；第二步利用格点三角形面积的计算方法，结合同底等高三角形面积相等的性质，找出所有能使△ABC面积为1的格点C的数量；第三步根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总格点数：边长为1的小正方形组成的4×4网格，横向、纵向的格点数量均为$4+1=5$个，因此总格点数量为$5×5=25$个，即点C的所有可能位置共25种。
2. 计算满足条件的点C个数：设小正方形边长为1，要使△ABC的面积为1，根据三角形面积公式，结合AB的位置特征，逐一排查格点后，可得符合条件的格点C共有6个。
3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得所求概率为$\frac{6}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
几何概率，格点三角形面积计算，概率公式
【点评】
本题综合考查了网格中的面积计算和概率求解，解题的关键是准确计数符合条件的格点，注意避免漏数或多数格点，掌握格点图形面积的计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.6
5 在如图所示的电路图中，随机闭合开关$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个，灯泡$L_1$发光的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
5.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题需结合电路知识和概率公式求解：第一步先利用列举法找出随机闭合2个开关的所有等可能情况，三个开关选2个，共有3种不同的组合；第二步逐一分析每种组合下的电路通断，判断灯泡L₁是否发光，统计满足L₁发光的情况数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
首先列举随机闭合开关$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个的所有等可能结果，共3种：
1. 闭合$S_1$、$S_2$：电流路径为电源正极→$L_1$→$S_2$→$S_1$→电源负极，$L_1$所在通路导通，$L_1$发光；
2. 闭合$S_1$、$S_3$：电流路径为电源正极→$L_2$→$S_3$→$S_1$→电源负极，$L_1$支路因$S_2$断开无电流，$L_1$不发光；
3. 闭合$S_2$、$S_3$：干路开关$S_1$断开，整个电路为断路，$L_1$不发光。
其中能让$L_1$发光的情况只有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{灯泡}L_1\mathrm{发光})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断
【点评】
本题是概率与简单电路的综合题，既考查了对电路通路、断路的判断能力，也考查了用列举法计算概率的方法，整体难度不大，需注意不要遗漏或重复计数开关的组合情况。
【难度系数】
0.7
本题需结合电路知识和概率公式求解：第一步先利用列举法找出随机闭合2个开关的所有等可能情况，三个开关选2个，共有3种不同的组合；第二步逐一分析每种组合下的电路通断，判断灯泡L₁是否发光，统计满足L₁发光的情况数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
首先列举随机闭合开关$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个的所有等可能结果，共3种：
1. 闭合$S_1$、$S_2$：电流路径为电源正极→$L_1$→$S_2$→$S_1$→电源负极，$L_1$所在通路导通，$L_1$发光；
2. 闭合$S_1$、$S_3$：电流路径为电源正极→$L_2$→$S_3$→$S_1$→电源负极，$L_1$支路因$S_2$断开无电流，$L_1$不发光；
3. 闭合$S_2$、$S_3$：干路开关$S_1$断开，整个电路为断路，$L_1$不发光。
其中能让$L_1$发光的情况只有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{灯泡}L_1\mathrm{发光})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断
【点评】
本题是概率与简单电路的综合题，既考查了对电路通路、断路的判断能力，也考查了用列举法计算概率的方法，整体难度不大，需注意不要遗漏或重复计数开关的组合情况。
【难度系数】
0.7
⑥ 在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义。若“--”代表“阴”，“一”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是
$\frac{3}{8}$
。答案
6.$\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要计算随机画三行符号出现一阴两阳的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数：每行有阴、阳2种可能，三行的所有结果可以通过列举或分步计数得到；第二步找出符合“一阴两阳”条件的结果数；最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：
∵每行出现阴、阳的可能性相同，
∴三行符号的所有等可能结果共有：$2×2×2=8$种，分别为：
（阳，阳，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阴，阴）、（阴，阳，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阴，阴）
其中满足“一阴两阳”的结果有：（阳，阳，阴）、（阳，阴，阳）、（阴，阳，阳），共3种
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{一阴两阳})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题结合传统阴阳符号的文化背景考查概率的基础计算，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的结果代入概率公式求解，既考查了概率基础知识，也能让学生了解传统文化中的符号内涵。
【难度系数】
0.8
要计算随机画三行符号出现一阴两阳的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总结果数：每行有阴、阳2种可能，三行的所有结果可以通过列举或分步计数得到；第二步找出符合“一阴两阳”条件的结果数；最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：
∵每行出现阴、阳的可能性相同，
∴三行符号的所有等可能结果共有：$2×2×2=8$种，分别为：
（阳，阳，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阴，阴）、（阴，阳，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阴，阴）
其中满足“一阴两阳”的结果有：（阳，阳，阴）、（阳，阴，阳）、（阴，阳，阳），共3种
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{一阴两阳})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题结合传统阴阳符号的文化背景考查概率的基础计算，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的结果代入概率公式求解，既考查了概率基础知识，也能让学生了解传统文化中的符号内涵。
【难度系数】
0.8
7 从-1、2、3这三个数中随机抽取两个数分别记为x、y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N(5，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第二象限的概率为
$\frac{2}{3}$
。答案
7.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：①首先确定所有等可能的点M的坐标，由于是从3个数中不放回抽取两个分别作为x、y，属于有序排列，总共有3×2=6种等可能结果；②结合一次函数的图像性质，逐个判断每个点M对应的直线MN是否经过第二象限：一次函数斜率为负时必过第二象限，斜率为正时需看截距是否为正，截距为正才过第二象限；③用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：第一步，列举所有等可能的点M(x,y)的坐标：
从-1、2、3中随机抽取两个不同的数分别作为x、y，共有6种情况：$(-1,2)$、$(-1,3)$、$(2,-1)$、$(2,3)$、$(3,-1)$、$(3,2)$。
第二步，逐个判断直线MN是否经过第二象限（N为$(5,0)$）：
1. 当$M(-1,2)$时，直线斜率$k=\frac{0-2}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
2. 当$M(-1,3)$时，直线斜率$k=\frac{0-3}{5-(-1)}=-\frac{1}{2}＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
3. 当$M(2,-1)$时，直线斜率$k=\frac{0-(-1)}{5-2}=\frac{1}{3}＞0$，代入$(5,0)$得解析式$y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$，截距为负，直线不过第二象限，不符合；
4. 当$M(2,3)$时，直线斜率$k=\frac{0-3}{5-2}=-1＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
5. 当$M(3,-1)$时，直线斜率$k=\frac{0-(-1)}{5-3}=\frac{1}{2}＞0$，代入$(5,0)$得解析式$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$，截距为负，直线不过第二象限，不符合；
6. 当$M(3,2)$时，直线斜率$k=\frac{0-2}{5-3}=-1＜0$，直线必过第二象限，符合要求。
第三步，计算概率：
符合条件的结果共4种，总等可能结果共6种，因此$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率、一次函数的图像性质
【点评】
本题将概率计算与一次函数知识结合，既需要准确列举所有等可能情况，也需要熟练掌握一次函数斜率、截距和图像经过象限的对应关系，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题思路分为三步：①首先确定所有等可能的点M的坐标，由于是从3个数中不放回抽取两个分别作为x、y，属于有序排列，总共有3×2=6种等可能结果；②结合一次函数的图像性质，逐个判断每个点M对应的直线MN是否经过第二象限：一次函数斜率为负时必过第二象限，斜率为正时需看截距是否为正，截距为正才过第二象限；③用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：第一步，列举所有等可能的点M(x,y)的坐标：
从-1、2、3中随机抽取两个不同的数分别作为x、y，共有6种情况：$(-1,2)$、$(-1,3)$、$(2,-1)$、$(2,3)$、$(3,-1)$、$(3,2)$。
第二步，逐个判断直线MN是否经过第二象限（N为$(5,0)$）：
1. 当$M(-1,2)$时，直线斜率$k=\frac{0-2}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
2. 当$M(-1,3)$时，直线斜率$k=\frac{0-3}{5-(-1)}=-\frac{1}{2}＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
3. 当$M(2,-1)$时，直线斜率$k=\frac{0-(-1)}{5-2}=\frac{1}{3}＞0$，代入$(5,0)$得解析式$y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$，截距为负，直线不过第二象限，不符合；
4. 当$M(2,3)$时，直线斜率$k=\frac{0-3}{5-2}=-1＜0$，直线必过第二象限，符合要求；
5. 当$M(3,-1)$时，直线斜率$k=\frac{0-(-1)}{5-3}=\frac{1}{2}＞0$，代入$(5,0)$得解析式$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$，截距为负，直线不过第二象限，不符合；
6. 当$M(3,2)$时，直线斜率$k=\frac{0-2}{5-3}=-1＜0$，直线必过第二象限，符合要求。
第三步，计算概率：
符合条件的结果共4种，总等可能结果共6种，因此$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率、一次函数的图像性质
【点评】
本题将概率计算与一次函数知识结合，既需要准确列举所有等可能情况，也需要熟练掌握一次函数斜率、截距和图像经过象限的对应关系，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
8 我们把十位上的数比个位、百位上的数都要大的三位数叫作“凸数”，例如：571就是一个“凸数”。若十位上的数字为4，则从2、3、5、6中随机选取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为
$\frac{1}{6}$
。答案
8.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】首先需准确理解“凸数”的定义，本题中十位数字固定为4，因此要构成凸数，需所选的两个分别作为百位、个位的数字都小于4。解题时先通过列举法求出从2、3、5、6中选2个不同数的所有等可能结果数，再找出满足“两个数都小于4”的结果数，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。
【解析】
解：根据“凸数”的定义，十位数字为4时，需百位数字＜4、个位数字＜4，即所选的两个数字都要小于4。
在给出的2、3、5、6四个数中，小于4的数字只有2和3两个。
从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的选法共6种，分别是：(2,3)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3,6)、(5,6)。
其中只有选到(2,3)这1种选法时，两个数都小于4，可与4组成凸数。
因此所求概率为 $ P=\frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算，新定义理解，列举法
【点评】
本题结合新定义考查概率的求解，解题的核心是正确理解“凸数”的要求，准确列举出所有可能的情况和符合条件的情况，再代入概率公式计算即可，注意不要遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：根据“凸数”的定义，十位数字为4时，需百位数字＜4、个位数字＜4，即所选的两个数字都要小于4。
在给出的2、3、5、6四个数中，小于4的数字只有2和3两个。
从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的选法共6种，分别是：(2,3)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3,6)、(5,6)。
其中只有选到(2,3)这1种选法时，两个数都小于4，可与4组成凸数。
因此所求概率为 $ P=\frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算，新定义理解，列举法
【点评】
本题结合新定义考查概率的求解，解题的核心是正确理解“凸数”的要求，准确列举出所有可能的情况和符合条件的情况，再代入概率公式计算即可，注意不要遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.6
