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1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=5$，$AB=13$，那么$\tan A$的值是（
A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{13}{5}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
C
）。A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{13}{5}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
要求$\tan A$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。首先确定$∠ A$的对边是$BC$，已知$BC=5$，还需要求出$∠ A$的邻边$AC$的长度，可通过勾股定理在$\mathrm{Rt}△ ABC$中计算出$AC$，再代入正切公式即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
代入数值得：$\tan A=\frac{5}{12}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角正切的定义，解题的关键是准确区分所求锐角的对边和邻边，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
要求$\tan A$的值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。首先确定$∠ A$的对边是$BC$，已知$BC=5$，还需要求出$∠ A$的邻边$AC$的长度，可通过勾股定理在$\mathrm{Rt}△ ABC$中计算出$AC$，再代入正切公式即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
代入数值得：$\tan A=\frac{5}{12}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角正切的定义，解题的关键是准确区分所求锐角的对边和邻边，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，已知$∠ A$和边$a$，为求$∠ B$的对边$b$，则下列式子中正确的是（
A.$b=\dfrac{a}{\tan A}$
B.$b=a\tan A$
C.$b=\dfrac{\cos A}{a}$
D.$b=\dfrac{a}{\sin A}$
A
）。A.$b=\dfrac{a}{\tan A}$
B.$b=a\tan A$
C.$b=\dfrac{\cos A}{a}$
D.$b=\dfrac{a}{\sin A}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正切的定义，明确直角三角形中锐角的对边和邻边的对应关系：在∠C=90°的Rt△ABC中，∠A的对边为a，∠A的邻边就是∠B的对边b。接下来根据正切定义列出关系式，再通过等式变形求出b的表达式，最后和选项对比就能得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：
$\tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}$
已知$∠ A$的对边为$a$，$∠ A$的邻边是$∠ B$的对边$b$，代入得：
$\tan A = \dfrac{a}{b}$
对等式变形求$b$：
等式两边同时乘$b$，得$b·\tan A = a$
等式两边同时除以$\tan A$，得$b = \dfrac{a}{\tan A}$
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数中正切定义的应用，解题的核心是准确区分对应锐角的对边和邻边，再根据定义列式变形即可，掌握正切的基本定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆锐角正切的定义，明确直角三角形中锐角的对边和邻边的对应关系：在∠C=90°的Rt△ABC中，∠A的对边为a，∠A的邻边就是∠B的对边b。接下来根据正切定义列出关系式，再通过等式变形求出b的表达式，最后和选项对比就能得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：
$\tan A = \dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}$
已知$∠ A$的对边为$a$，$∠ A$的邻边是$∠ B$的对边$b$，代入得：
$\tan A = \dfrac{a}{b}$
对等式变形求$b$：
等式两边同时乘$b$，得$b·\tan A = a$
等式两边同时除以$\tan A$，得$b = \dfrac{a}{\tan A}$
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数中正切定义的应用，解题的核心是准确区分对应锐角的对边和邻边，再根据定义列式变形即可，掌握正切的基本定义就能快速解答。
【难度系数】
0.8
3 已知等腰$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，那么$\tan C$的值是(
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
D
)。A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3.D
解析
【分析】
要求$\tan C$的值，根据锐角正切的定义，需要将$∠ C$放在直角三角形中，找到$∠ C$的对边和邻边的长度。已知$△ ABC$是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边$BC$的高，构造出包含$∠ C$的直角三角形，再结合勾股定理求出所需边长，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，$D$为$BC$的中点，
$\therefore CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt△ ACD$中，$AC=5$，$CD=4$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$。
根据正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，因此：
$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将所求角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的定义求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要求$\tan C$的值，根据锐角正切的定义，需要将$∠ C$放在直角三角形中，找到$∠ C$的对边和邻边的长度。已知$△ ABC$是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作底边$BC$的高，构造出包含$∠ C$的直角三角形，再结合勾股定理求出所需边长，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，$D$为$BC$的中点，
$\therefore CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt△ ACD$中，$AC=5$，$CD=4$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$。
根据正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，因此：
$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将所求角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的定义求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4 在$△ ABC$中，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，则$\tan A=$
$\dfrac{4}{3}$
。答案
4.$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边的长度，发现6、8、10是常见勾股数，优先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；再根据锐角正切的定义，准确找到∠A的对边和邻边，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算△ABC三边的平方：
$AC^2=6^2=36$，$BC^2=8^2=64$，$AB^2=10^2=100$
∵ $36+64=100$，即$AC^2+BC^2=AB^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$
根据锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值
对于$∠ A$，对边为$BC$，邻边为$AC$
∴ $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊直角三角形的判定和锐角三角函数的基本定义，解题的关键是先确定直角位置，再找准对应边代入计算，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形三边的长度，发现6、8、10是常见勾股数，优先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；再根据锐角正切的定义，准确找到∠A的对边和邻边，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算△ABC三边的平方：
$AC^2=6^2=36$，$BC^2=8^2=64$，$AB^2=10^2=100$
∵ $36+64=100$，即$AC^2+BC^2=AB^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$
根据锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值
对于$∠ A$，对边为$BC$，邻边为$AC$
∴ $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊直角三角形的判定和锐角三角函数的基本定义，解题的关键是先确定直角位置，再找准对应边代入计算，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5 已知∠A为锐角，且$\tan(90° - ∠ A)=\frac{5}{12}$，那么$\tan A=$
$\dfrac{12}{5}$
。答案
5.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
首先观察已知条件中的$\tan(90°-∠A)$，可知$90°-∠A$与$∠A$是互余的两个锐角，我们可以先回忆互余锐角的三角函数性质，得到$\tan(90°-∠A)$与$∠A$的余切值相等，再结合同角的正切和余切互为倒数的关系，就能推出$\tan A$的值。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，
∴$90°-∠A$也是锐角，
根据互余锐角的三角函数性质：$\tan(90°-α)=\cotα$，可得：
$\tan(90°-∠A)=\cot∠A=\frac{5}{12}$，
又
∵同角的正切与余切互为倒数，即$\cotα=\frac{1}{\tanα}$，
∴$\tan A=\frac{1}{\cot A}=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
互余角的三角函数性质；正切与余切的倒数关系
【点评】
本题是基础题型，核心考察锐角三角函数中互余角的相关性质，只要熟练掌握对应三角函数的转换关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件中的$\tan(90°-∠A)$，可知$90°-∠A$与$∠A$是互余的两个锐角，我们可以先回忆互余锐角的三角函数性质，得到$\tan(90°-∠A)$与$∠A$的余切值相等，再结合同角的正切和余切互为倒数的关系，就能推出$\tan A$的值。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，
∴$90°-∠A$也是锐角，
根据互余锐角的三角函数性质：$\tan(90°-α)=\cotα$，可得：
$\tan(90°-∠A)=\cot∠A=\frac{5}{12}$，
又
∵同角的正切与余切互为倒数，即$\cotα=\frac{1}{\tanα}$，
∴$\tan A=\frac{1}{\cot A}=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
互余角的三角函数性质；正切与余切的倒数关系
【点评】
本题是基础题型，核心考察锐角三角函数中互余角的相关性质，只要熟练掌握对应三角函数的转换关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
⑥ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$，$AC=9$，那么$AB=$
$\dfrac{45}{4}$
。答案
6.$\dfrac{45}{4}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中结合锐角正切求斜边长的问题，解题思路分两步：第一步根据正切的定义，明确∠A的正切值等于其对边BC与邻边AC的比值，结合已知的AC长度先求出BC的长度；第二步利用直角三角形的勾股定理，结合AC和BC的长度计算斜边AB的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\dfrac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\dfrac{3}{4}$，$AC=9$，代入得：
$\dfrac{BC}{9}=\dfrac{3}{4}$，解得$BC=\dfrac{27}{4}$
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+(\dfrac{27}{4})^2}=\sqrt{81+\dfrac{729}{16}}=\sqrt{\dfrac{1296+729}{16}}=\sqrt{\dfrac{2025}{16}}=\dfrac{45}{4}$
【答案】
$\dfrac{45}{4}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查锐角三角函数的基本定义和勾股定理的简单应用，解题时需明确直角三角形中各边与锐角的对应关系，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中结合锐角正切求斜边长的问题，解题思路分两步：第一步根据正切的定义，明确∠A的正切值等于其对边BC与邻边AC的比值，结合已知的AC长度先求出BC的长度；第二步利用直角三角形的勾股定理，结合AC和BC的长度计算斜边AB的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\dfrac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\dfrac{3}{4}$，$AC=9$，代入得：
$\dfrac{BC}{9}=\dfrac{3}{4}$，解得$BC=\dfrac{27}{4}$
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+(\dfrac{27}{4})^2}=\sqrt{81+\dfrac{729}{16}}=\sqrt{\dfrac{1296+729}{16}}=\sqrt{\dfrac{2025}{16}}=\dfrac{45}{4}$
【答案】
$\dfrac{45}{4}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查锐角三角函数的基本定义和勾股定理的简单应用，解题时需明确直角三角形中各边与锐角的对应关系，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
7 如果α是锐角，且$\tanα=\dfrac{4}{5}$，那么$\sinα=$
$\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$
。答案
7.$\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$
解析
【分析】
已知锐角α的正切值求正弦值，可结合锐角三角函数的定义求解：第一步，正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此可以根据tanα的值设出直角三角形对应两条直角边的长度；第二步，利用勾股定理求出直角三角形的斜边长；第三步，根据正弦是锐角的对边与斜边的比值，代入数值计算，最后化简为最简二次根式即可。
【解析】
∵α是锐角，可构造直角三角形，令∠C=90°，∠A=α
∵$\tanα=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$
∴设$BC=4k$，$AC=5k$（$k＞0$）
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(4k)^2+(5k)^2}=\sqrt{16k^2+25k^2}=\sqrt{41}k$
∴$\sinα=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4k}{\sqrt{41}k}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是结合三角函数的定义将数值关系转化为直角三角形的边长关系，计算时注意最终结果要化为最简二次根式，避免出现分母带根号的情况。
【难度系数】
0.8
已知锐角α的正切值求正弦值，可结合锐角三角函数的定义求解：第一步，正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此可以根据tanα的值设出直角三角形对应两条直角边的长度；第二步，利用勾股定理求出直角三角形的斜边长；第三步，根据正弦是锐角的对边与斜边的比值，代入数值计算，最后化简为最简二次根式即可。
【解析】
∵α是锐角，可构造直角三角形，令∠C=90°，∠A=α
∵$\tanα=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$
∴设$BC=4k$，$AC=5k$（$k＞0$）
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(4k)^2+(5k)^2}=\sqrt{16k^2+25k^2}=\sqrt{41}k$
∴$\sinα=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4k}{\sqrt{41}k}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是结合三角函数的定义将数值关系转化为直角三角形的边长关系，计算时注意最终结果要化为最简二次根式，避免出现分母带根号的情况。
【难度系数】
0.8
8 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，$\tan A=\dfrac{1}{2}$，$CD=1$，则$AB=$
$\dfrac{5}{2}$
。答案
8.$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
要求AB的长度，可将AB拆分为AD+BD，分别求出AD、BD的长度再相加即可。首先由CD⊥AB可得Rt△ADC和Rt△BDC，先在Rt△ADC中，利用正切的定义，结合已知tanA=1/2、CD=1求出AD的长；再根据同角的余角相等推出∠BCD=∠A，得到∠BCD的正切值，再在Rt△BDC中利用正切定义求出BD的长，最后求和得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ADC中，$\tan A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，
将CD=1代入得：$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{2}$，解得$AD=2$。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
又
∵ 在Rt△BDC中，∠BCD + ∠B = 90°，
∴ ∠BCD=∠A（同角的余角相等），
∴ $\tan∠ BCD=\tan A=\dfrac{1}{2}$。
在Rt△BDC中，$\tan∠ BCD=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{1}{2}$，
将CD=1代入得：$\dfrac{BD}{1}=\dfrac{1}{2}$，解得$BD=\dfrac{1}{2}$。
∴ $AB=AD+BD=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
正切的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是通过角度的等量关系将已知正切值转化到对应直角三角形中求解线段长度，解题思路灵活，也可通过先求AC、BC的长度再用勾股定理求AB，是三角函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求AB的长度，可将AB拆分为AD+BD，分别求出AD、BD的长度再相加即可。首先由CD⊥AB可得Rt△ADC和Rt△BDC，先在Rt△ADC中，利用正切的定义，结合已知tanA=1/2、CD=1求出AD的长；再根据同角的余角相等推出∠BCD=∠A，得到∠BCD的正切值，再在Rt△BDC中利用正切定义求出BD的长，最后求和得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ADC中，$\tan A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，
将CD=1代入得：$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{2}$，解得$AD=2$。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
又
∵ 在Rt△BDC中，∠BCD + ∠B = 90°，
∴ ∠BCD=∠A（同角的余角相等），
∴ $\tan∠ BCD=\tan A=\dfrac{1}{2}$。
在Rt△BDC中，$\tan∠ BCD=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{1}{2}$，
将CD=1代入得：$\dfrac{BD}{1}=\dfrac{1}{2}$，解得$BD=\dfrac{1}{2}$。
∴ $AB=AD+BD=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
正切的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是通过角度的等量关系将已知正切值转化到对应直角三角形中求解线段长度，解题思路灵活，也可通过先求AC、BC的长度再用勾股定理求AB，是三角函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9 如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动,已知细绳从悬挂点O到球心的长度OG为50厘米,小球在左、右两个最高位置时(不考虑阻力等其他因素),细绳相应所成的角为90°,连接EG,则∠OGE的正切值为
$1+\sqrt{2}$
。答案
9.$1+\sqrt{2}$ ［提示:过点E作$EH ⊥ OG$于点H。易证$△ OEH$是等腰直角三角形,所以$EH = OH = 25\sqrt{2}$ 厘米,$GH = (50 - 25\sqrt{2})$ 厘米, $\tan∠ OGE = \dfrac{EH}{GH} = \dfrac{25\sqrt{2}}{50 - 25\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$。］
解析
【分析】
要求∠OGE的正切值，根据正切的定义，需要将该角放在直角三角形中，求出其对边与邻边的比值。首先由题意可知OE=OG=50cm，∠EOF=90°，OG平分∠EOF，可得∠EOG=45°，因此过点E作EH⊥OG于点H，构造出含∠OGE的直角△EHG，再分别求出EH、GH的长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，OE=OG=50cm，∠EOF=90°，
∵OG是∠EOF的角平分线，
∴∠EOG=$\frac{1}{2}$∠EOF=45°，
过点E作EH⊥OG，垂足为H，
∴△OEH为等腰直角三角形，
∴$EH=OH=OE·\sin45°=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}$ cm，
∴$GH=OG-OH=50-25\sqrt{2}$ cm，
在Rt△EHG中，∠EHG=90°，
$\tan∠ OGE=\frac{EH}{GH}=\frac{25\sqrt{2}}{50-25\sqrt{2}}$，
对式子化简：
分子分母同除以25得：$\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$，
分母有理化，分子分母同乘$(2+\sqrt{2})$：
原式=$\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=1+\sqrt{2}$。
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形的性质，二次根式的化简
【点评】
本题考查锐角三角函数的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，把所求角转化为直角三角形的内角，再结合等腰直角三角形的性质和二次根式运算求解，计算时要注意分母有理化的正确运用。
【难度系数】
0.6
要求∠OGE的正切值，根据正切的定义，需要将该角放在直角三角形中，求出其对边与邻边的比值。首先由题意可知OE=OG=50cm，∠EOF=90°，OG平分∠EOF，可得∠EOG=45°，因此过点E作EH⊥OG于点H，构造出含∠OGE的直角△EHG，再分别求出EH、GH的长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，OE=OG=50cm，∠EOF=90°，
∵OG是∠EOF的角平分线，
∴∠EOG=$\frac{1}{2}$∠EOF=45°，
过点E作EH⊥OG，垂足为H，
∴△OEH为等腰直角三角形，
∴$EH=OH=OE·\sin45°=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}$ cm，
∴$GH=OG-OH=50-25\sqrt{2}$ cm，
在Rt△EHG中，∠EHG=90°，
$\tan∠ OGE=\frac{EH}{GH}=\frac{25\sqrt{2}}{50-25\sqrt{2}}$，
对式子化简：
分子分母同除以25得：$\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$，
分母有理化，分子分母同乘$(2+\sqrt{2})$：
原式=$\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=1+\sqrt{2}$。
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
正切的定义，等腰直角三角形的性质，二次根式的化简
【点评】
本题考查锐角三角函数的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，把所求角转化为直角三角形的内角，再结合等腰直角三角形的性质和二次根式运算求解，计算时要注意分母有理化的正确运用。
【难度系数】
0.6
10 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,点E是边BC的中点,连接AE,若将△ABE沿AE翻折,点B落在点F处,连接FC,则tan∠ECF =
$\dfrac{6}{5}$
。答案
10.$\dfrac{6}{5}$ ［提示:连接 BF,由题意可得 $BE = EF = EC$,所以 $∠ BFC = 90°$,导角可得 $∠ ECF = ∠ AEB$。］
解析
【分析】
遇到矩形中的折叠问题，首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，本题中E是BC中点，折叠后BE=EF，可推出BE=EF=EC，连接BF后可判定△BFC是直角三角形；再结合折叠的对称性可知AE垂直于BF，通过同角的余角相等可推导得出∠ECF=∠AEB，最后将求tan∠ECF转化为求Rt△ABE中∠AEB的正切值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=10，
∴BC=AD=10，∠ABC=90°，
∵E是BC的中点，
∴$BE=EC=\frac{1}{2}BC=5$，
由折叠的性质可得：$BE=EF=5$，∠AEB=∠AEF，
∴$EF=EC$，
∴∠ECF=∠EFC，
连接BF，
∵$BE=EF=EC$，
∴△BFC为直角三角形，∠BFC=90°，
∴∠FBC + ∠ECF=90°，
由折叠对称性可知，AE垂直平分BF，即AE⊥BF，
∴∠AEB + ∠FBC=90°，
∴∠ECF=∠AEB（同角的余角相等），
在Rt△ABE中，$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{6}{5}$，
∴$\tan∠ ECF=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；正切的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线BF，结合折叠性质和直角三角形的性质进行角度转化，将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中内角的三角函数值求解，很好地考查了几何转化思维。
【难度系数】
0.6
遇到矩形中的折叠问题，首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，本题中E是BC中点，折叠后BE=EF，可推出BE=EF=EC，连接BF后可判定△BFC是直角三角形；再结合折叠的对称性可知AE垂直于BF，通过同角的余角相等可推导得出∠ECF=∠AEB，最后将求tan∠ECF转化为求Rt△ABE中∠AEB的正切值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=10，
∴BC=AD=10，∠ABC=90°，
∵E是BC的中点，
∴$BE=EC=\frac{1}{2}BC=5$，
由折叠的性质可得：$BE=EF=5$，∠AEB=∠AEF，
∴$EF=EC$，
∴∠ECF=∠EFC，
连接BF，
∵$BE=EF=EC$，
∴△BFC为直角三角形，∠BFC=90°，
∴∠FBC + ∠ECF=90°，
由折叠对称性可知，AE垂直平分BF，即AE⊥BF，
∴∠AEB + ∠FBC=90°，
∴∠ECF=∠AEB（同角的余角相等），
在Rt△ABE中，$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{6}{5}$，
∴$\tan∠ ECF=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；正切的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线BF，结合折叠性质和直角三角形的性质进行角度转化，将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中内角的三角函数值求解，很好地考查了几何转化思维。
【难度系数】
0.6
