11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\frac{3}{5}$，它的周长为36，求$△ ABC$的面积。

11 在Rt△ABC中,∠C=90°,因为$\sin A=\frac{3}{5}$,所以$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。设BC=3x,则AB=5x,由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=4x$,所以3x+4x+5x=36,解得x=3,所以AC=4x=12,BC=3x=9,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}×12×9=54$。

12 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为点$D$，且$CD=3$，$AD=4$，求$\cos B$的值。

12 因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°。在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=5$,所以$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$。在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以$\cos B=\frac{BC}{AB}=\sin A=\frac{3}{5}$。

13 已知直线$y=\frac{3}{4}x +6$与x轴、y轴分别交于点A和B，求$\sin∠ BAO$的值。

13 由题意可得A(-8,0),B(0,6),所以OA=8,OB=6。在Rt△OAB中,∠AOB=90°,所以$AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=10$,$\sin∠BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$。

14 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=10$,$\cos C=\dfrac{3}{4}$,$∠ ABC=2∠ C$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$边于点$D$,点$E$是$BC$边上的一个动点(不与$B$、$C$重合),$F$是$AC$边上一点,且$∠ AEF=∠ ABC$,$AE$与$BD$相交于点$G$。
(1)设$BE=x$,$CF=y$,求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围。
(2)当$△ AEF$是以$AE$为腰的等腰三角形时,求$BE$的长。

14 (1) 如图①,作FC的垂直平分线交BC于点M,交FC于点N,连接MF,则有NC=FN=$\frac{1}{2}FC=\frac{y}{2}$。在Rt△MNC中,$\cos C=\frac{NC}{MC}=\frac{3}{4}$,则$MC=\frac{2y}{3}$。因为MN垂直平分FC,所以MF=MC=$\frac{2y}{3}$,所以∠MFC=∠C,所以∠FME=∠MFC+∠C=2∠C。因为∠ABC=2∠C,所以∠ABC=∠FME。因为∠ABE=∠FME=∠AEF,所以∠BAE=∠FEM,所以△ABE∽△EMF,所以$\frac{AB}{EM}=\frac{BE}{MF}$,所以$AB·MF=BE·EM$。因为BE=x,BC=10,$MC=\frac{2y}{3}$,所以$EM=10-x-\frac{2y}{3}$。又因为AB=8,所以$8×\frac{2y}{3}=x(10-x-\frac{2y}{3})$,所以$y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}(0＜x＜10)$。
(2) ① EA=EF,如图②。因为△ABE∽△EMF(已证),所以$\frac{BE}{MF}=\frac{AE}{EF}$。因为EA=EF,所以BE=MF。因为BE=x,$MF=\frac{2y}{3}$,所以$x=\frac{2y}{3}$,所以$y=\frac{3}{2}x$,所以$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{3}{2}x$,整理得$x^2-x=0$,解得$x_1=0$(舍),$x_2=1$。
② AE=AF,过点F作FH⊥BC,垂足为点H,如图③。因为AE=AF,所以∠AEF=∠AFE。因为∠AEF=∠ABC=2∠C,所以∠AFE=2∠C。因为∠AFE=∠FEC+∠C,所以∠FEC=∠C,所以FE=FC。因为FH⊥EC,所以$EH=CH=\frac{1}{2}EC$。因为EC=10-x,所以$HC=\frac{10-x}{2}$。在Rt△FHC中,$\cos C=\frac{HC}{FC}=\frac{3}{4}$,所以4HC=3FC,所以$4×\frac{10-x}{2}=3y$,所以$y=\frac{20-2x}{3}$,所以$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{20-2x}{3}$,整理得$5x^2-82x+320=0$,解得$x_1=6.4$,$x_2=10$(舍)。
综上所述,当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,BE的长为1或6.4。