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1 某市出租车收费标准:起步价10元(3 km内),超过3 km后每千米加收2元.小明乘坐出租车行驶了$x\ \mathrm{km}(x≥3)$,费用为$y$元,则$y$与$x$之间的函数表达式为 (
A.$y=2x+4$
B.$y=2x+10$
C.$y=2x+16$
D.$y=2x+6$
A
)A.$y=2x+4$
B.$y=2x+10$
C.$y=2x+16$
D.$y=2x+6$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是分段计费类的一次函数实际问题，解题时需先明确费用的构成：总费用由3km以内的固定起步价、超出3km部分的加收费用两部分组成。首先算出超出3km的路程，再根据“超出费用=超出路程×每千米加收费用”算出可变费用，最后将两部分费用相加化简，即可得到y与x的函数表达式，再匹配对应选项。
【解析】
已知x≥3，即行驶路程超过3km：
1. 超出3km的路程为：$(x-3)\ \mathrm{km}$
2. 超出部分的费用为：$2(x-3)$元
3. 总费用=起步价+超出部分费用，因此：
$y=10 + 2(x-3)$
展开并化简得：
$y=10 + 2x -6 = 2x +4$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，分段计费
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清费用的组成结构，准确计算可变部分的费用，再进行整式化简即可得到结果，需注意计费规则对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.8
本题是分段计费类的一次函数实际问题，解题时需先明确费用的构成：总费用由3km以内的固定起步价、超出3km部分的加收费用两部分组成。首先算出超出3km的路程，再根据“超出费用=超出路程×每千米加收费用”算出可变费用，最后将两部分费用相加化简，即可得到y与x的函数表达式，再匹配对应选项。
【解析】
已知x≥3，即行驶路程超过3km：
1. 超出3km的路程为：$(x-3)\ \mathrm{km}$
2. 超出部分的费用为：$2(x-3)$元
3. 总费用=起步价+超出部分费用，因此：
$y=10 + 2(x-3)$
展开并化简得：
$y=10 + 2x -6 = 2x +4$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，分段计费
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清费用的组成结构，准确计算可变部分的费用，再进行整式化简即可得到结果，需注意计费规则对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.8
2[2024淮安]一辆轿车从A地驶向B地，设出发x h后，这辆轿车离B地路程为y km，已知y与x之间的函数表达式为$y=200-80x$，则轿车从A地到达B地所用时间是
2.5
h.答案
2. 2.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确函数表达式中两个变量的实际意义：x表示轿车出发的时间，y表示轿车离B地的路程。当轿车到达B地时，离B地的路程为0，因此只需将y=0代入函数表达式，解出对应的x值，就是轿车从A地到B地所用的时间。
【解析】
当轿车到达B地时，离B地的路程$y=0$，将$y=0$代入函数表达式$y=200-80x$，得：
$0=200-80x$
移项得：$80x=200$
解得：$x=200÷80=2.5$
即轿车从A地到达B地所用时间是2.5h。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的相关应用，解题关键是准确理解函数变量的实际含义，找到特殊状态下的函数值代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确函数表达式中两个变量的实际意义：x表示轿车出发的时间，y表示轿车离B地的路程。当轿车到达B地时，离B地的路程为0，因此只需将y=0代入函数表达式，解出对应的x值，就是轿车从A地到B地所用的时间。
【解析】
当轿车到达B地时，离B地的路程$y=0$，将$y=0$代入函数表达式$y=200-80x$，得：
$0=200-80x$
移项得：$80x=200$
解得：$x=200÷80=2.5$
即轿车从A地到达B地所用时间是2.5h。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的相关应用，解题关键是准确理解函数变量的实际含义，找到特殊状态下的函数值代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3 新情境 学科融合 [2025苏州]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v(\mathrm{m/s})$与温度$t(\mathrm{℃})$的部分对应数值如下表：
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度为$15\ \mathrm{℃}$时，声音传播的速度为
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度为$15\ \mathrm{℃}$时，声音传播的速度为
339
$\mathrm{m/s}.$答案
3. 339
解析
【分析】
题目明确给出声速$v$和温度$t$满足一次函数关系$v=at+b$，解题思路为：首先从表格中选取两组对应的$t$、$v$数值，代入一次函数表达式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组；其次解方程组求出$a$、$b$的值，确定$v$与$t$的函数解析式；最后将$t=15$代入解析式计算，即可得到对应温度下的声速。
【解析】
选取表格中两组数据：当$t=0$时，$v=330$；当$t=10$时，$v=336$，代入$v=at+b$可得：
$\begin{cases} b = 330 \\ 10a + b = 336 \end{cases}$
将$b=330$代入第二个方程，得$10a+330=336$，解得$a=0.6$。
因此$v$与$t$的函数解析式为$v=0.6t+330$。
当$t=15$时，代入解析式得：
$v=0.6×15+330=9+330=339$
【答案】
339
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合声速与温度的关系的物理情境，考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意数值运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
题目明确给出声速$v$和温度$t$满足一次函数关系$v=at+b$，解题思路为：首先从表格中选取两组对应的$t$、$v$数值，代入一次函数表达式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组；其次解方程组求出$a$、$b$的值，确定$v$与$t$的函数解析式；最后将$t=15$代入解析式计算，即可得到对应温度下的声速。
【解析】
选取表格中两组数据：当$t=0$时，$v=330$；当$t=10$时，$v=336$，代入$v=at+b$可得：
$\begin{cases} b = 330 \\ 10a + b = 336 \end{cases}$
将$b=330$代入第二个方程，得$10a+330=336$，解得$a=0.6$。
因此$v$与$t$的函数解析式为$v=0.6t+330$。
当$t=15$时，代入解析式得：
$v=0.6×15+330=9+330=339$
【答案】
339
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合声速与温度的关系的物理情境，考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意数值运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
4 [2025 济南]随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升. 某健身中心要购买甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求. 已知甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元. 该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时购买费用最少？最少购买费用是多少元？
答案
4. 设购买甲型健身器材 $x$ 台,甲、乙两种型号的健身器材的购买费用为 $w$ 元, 则 $w = 2\ 800（20 - x）+2\ 500x=-300x+56\ 000$.根据题意,得 $x≤3(20 - x)$,解得 $x≤15. \because - 300＜0,\therefore w$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=15$ 时, $w$ 取得最小值, $w_{最小值}=-300×15+56\ 000=51\ 500$,此时 $20 - x=5$. 答:购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,购买费用最少,最少购买费用为51 500元
$\therefore$ 当 $x=15$ 时, $w$ 取得最小值, $w_{最小值}=-300×15+56\ 000=51\ 500$,此时 $20 - x=5$. 答:购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,购买费用最少,最少购买费用为51 500元
解析
【分析】
本题为一次函数实际最值问题，解题思路如下：1. 先设购买甲型健身器材的数量为自变量x，总购买费用为w，根据“总费用=甲型器材总费用+乙型器材总费用”列出w关于x的一次函数表达式；2. 结合“甲型购买数量不超过乙型购买数量的3倍”的限制条件，列一元一次不等式求出自变量x的取值范围；3. 根据一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w取最小值的x值，代入计算即可得到最少费用。
【解析】
设购买甲型健身器材$x$台，购买甲、乙两种型号健身器材的总费用为$w$元，则购买乙型健身器材$(20-x)$台。
根据总费用计算公式可得：
$w=2500x+2800(20-x)$
整理得：$w=-300x+56000$
根据题意列不等式：
$x≤ 3(20-x)$
解不等式：
$x≤ 60-3x$
$4x≤ 60$
$x≤ 15$
$\because$ 一次函数$w=-300x+56000$中，$k=-300＜0$，
$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x$取最大值15时，$w$取得最小值，
代入计算得：$w_{最小值}=-300× 15+56000=51500$。
【答案】
购买甲型健身器材15台时购买费用最少，最少购买费用是51500元。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式求解，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数结合不等式的典型应用题型，解题核心是正确建立费用与器材数量的函数模型，结合自变量取值范围和一次函数增减性确定最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数实际最值问题，解题思路如下：1. 先设购买甲型健身器材的数量为自变量x，总购买费用为w，根据“总费用=甲型器材总费用+乙型器材总费用”列出w关于x的一次函数表达式；2. 结合“甲型购买数量不超过乙型购买数量的3倍”的限制条件，列一元一次不等式求出自变量x的取值范围；3. 根据一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w取最小值的x值，代入计算即可得到最少费用。
【解析】
设购买甲型健身器材$x$台，购买甲、乙两种型号健身器材的总费用为$w$元，则购买乙型健身器材$(20-x)$台。
根据总费用计算公式可得：
$w=2500x+2800(20-x)$
整理得：$w=-300x+56000$
根据题意列不等式：
$x≤ 3(20-x)$
解不等式：
$x≤ 60-3x$
$4x≤ 60$
$x≤ 15$
$\because$ 一次函数$w=-300x+56000$中，$k=-300＜0$，
$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x$取最大值15时，$w$取得最小值，
代入计算得：$w_{最小值}=-300× 15+56000=51500$。
【答案】
购买甲型健身器材15台时购买费用最少，最少购买费用是51500元。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式求解，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数结合不等式的典型应用题型，解题核心是正确建立费用与器材数量的函数模型，结合自变量取值范围和一次函数增减性确定最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
5 [2025 沭阳期末]如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂重物的质量x(kg)之间满足一次函数关系，记录几次数据之后，列表如下. 不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离是（
A.1 cm
B.2.5 cm
C.4 cm
D.5.5 cm
B
）A.1 cm
B.2.5 cm
C.4 cm
D.5.5 cm
答案
5. B 【解析】设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k,b$ 为常数, 且 $k≠0)$. 将 $x=1,y=8$ 和 $x=3$,$y=19$ 代入,得 $\begin{cases}k + b=8,\\3k + b=19,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=5.5,\\b=2.5,\end{cases}$ $\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=5.5x+2.5$. 当 $x=0$ 时,得 $y=2.5,\therefore$ 不挂重物时,秤砣到秤纽的水平距离是 2.5 cm.
解析
【分析】
首先题目明确秤砣到秤纽的水平距离y与所挂重物质量x满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$。接下来利用题目给出的两组x、y的对应值，代入解析式得到关于k和b的二元一次方程组，解出k、b的值即可确定函数解析式。最后不挂重物对应所挂重物质量$x=0$，将$x=0$代入解析式求出对应的y值，就是所求的距离。
【解析】
设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）。
将$x=1,y=8$和$x=3,y=19$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b=8\\3k + b=19\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$2k=11$，解得$k=5.5$。
将$k=5.5$代入$k+b=8$，得$5.5 + b=8$，解得$b=2.5$。
因此y与x的函数表达式为$y=5.5x + 2.5$。
当不挂重物时，$x=0$，代入得$y=5.5×0 + 2.5=2.5$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，再代入自变量的值求解对应函数值，题目贴近生活，有助于提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
首先题目明确秤砣到秤纽的水平距离y与所挂重物质量x满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$。接下来利用题目给出的两组x、y的对应值，代入解析式得到关于k和b的二元一次方程组，解出k、b的值即可确定函数解析式。最后不挂重物对应所挂重物质量$x=0$，将$x=0$代入解析式求出对应的y值，就是所求的距离。
【解析】
设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）。
将$x=1,y=8$和$x=3,y=19$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b=8\\3k + b=19\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$2k=11$，解得$k=5.5$。
将$k=5.5$代入$k+b=8$，得$5.5 + b=8$，解得$b=2.5$。
因此y与x的函数表达式为$y=5.5x + 2.5$。
当不挂重物时，$x=0$，代入得$y=5.5×0 + 2.5=2.5$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景考查一次函数的实际应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，再代入自变量的值求解对应函数值，题目贴近生活，有助于提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
