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6 [2024绥化改编]为适应共享电动车出行市场需求，某公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.若A，B两种电动车的单价分别为1 000元、3 500元，则当购买A种电动车
66
辆时，所需的总费用最少.答案
6. 66
解析
【分析】
这是一道一次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，设自变量和因变量，设购买A种电动车的数量为x辆，总费用为y元，即可表示出B种电动车的数量；第二步，根据“总费用=A种总费用+B种总费用”列出y关于x的函数关系式并化简；第三步，根据题干中“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”这个限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围，注意x为非负整数；第四步，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使总费用y最小的x值即可。
【解析】
设购买A种电动车x辆，购买两种电动车的总费用为y元，则购买B种电动车$(200 - x)$辆。
1. 列总费用的函数关系式：
$y = 1000x + 3500(200 - x)$
化简得：$y = -2500x + 700000$
2. 求自变量x的取值范围：
由“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”可得：
$x ≤ \frac{1}{2}(200 - x)$
解不等式：
两边同乘2得：$2x ≤ 200 - x$
移项合并得：$3x ≤ 200$
解得：$x ≤ \frac{200}{3} \approx 66.67$
又因为x为非负整数，所以x的最大正整数值为66。
3. 结合一次函数性质求最值：
在一次函数$y = -2500x + 700000$中，$k = -2500 ＜ 0$，所以y随x的增大而减小。
因此当x取最大允许值66时，总费用y最小。
【答案】
66
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数最值的求解，解题的核心是正确建立一次函数模型，同时要注意自变量的取值要符合实际意义，结合函数的增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，设自变量和因变量，设购买A种电动车的数量为x辆，总费用为y元，即可表示出B种电动车的数量；第二步，根据“总费用=A种总费用+B种总费用”列出y关于x的函数关系式并化简；第三步，根据题干中“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”这个限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围，注意x为非负整数；第四步，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使总费用y最小的x值即可。
【解析】
设购买A种电动车x辆，购买两种电动车的总费用为y元，则购买B种电动车$(200 - x)$辆。
1. 列总费用的函数关系式：
$y = 1000x + 3500(200 - x)$
化简得：$y = -2500x + 700000$
2. 求自变量x的取值范围：
由“A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半”可得：
$x ≤ \frac{1}{2}(200 - x)$
解不等式：
两边同乘2得：$2x ≤ 200 - x$
移项合并得：$3x ≤ 200$
解得：$x ≤ \frac{200}{3} \approx 66.67$
又因为x为非负整数，所以x的最大正整数值为66。
3. 结合一次函数性质求最值：
在一次函数$y = -2500x + 700000$中，$k = -2500 ＜ 0$，所以y随x的增大而减小。
因此当x取最大允许值66时，总费用y最小。
【答案】
66
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数最值的求解，解题的核心是正确建立一次函数模型，同时要注意自变量的取值要符合实际意义，结合函数的增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.7
7 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=4$，$AC=2$，$P$为直角边上一动点，现从点$B$出发，沿着$B\rightarrow C\rightarrow A$的方向运动至点$A$处停止，设点$P$运动的路程为$x$，$△ APB$的面积为$y$（点$P$不与点$B$，$A$重合）。
（1）求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$△ APB$的面积等于$△ ABC$面积的一半时，求$x$的值。
（1）求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$△ APB$的面积等于$△ ABC$面积的一半时，求$x$的值。
答案
7. (1) 当 $0＜x≤4$ 时,点 $P$ 在 $BC$ 上运动, $\therefore BP=x$.
$\because ∠ ACB=90^{\circ },\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}AC· BP$, 即 $y=x(0＜x≤4)$. 当 $4＜x＜6$ 时,点 $P$ 在 $AC$ 上运动, $\therefore AP=4+2-x=6-x.\because ∠ ACB=90^{\circ },\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}AP· BC$,即 $y = - 2x + 12$（$4 ＜ x ＜ 6$）. 综上所述, $y = \begin{cases}x(0＜x≤4),\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$
(2) $\because ∠ ACB=90^{\circ },BC=4$,$AC=2$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AC· BC=4$.$\because △ APB$ 的面积等于 $△ ABC$ 面积的一半, $\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}S_{△ ABC}=2$, 即 $y=2$. 当 $0＜x≤4$ 时, $x=2$; 当 $4＜x＜6$ 时, $-2x+12=2$,解得 $x=5$. $\therefore$ 当 $△ APB$ 的面积等于 $△ ABC$ 面积的一半时, $x$ 的值为 2 或 5
$\because ∠ ACB=90^{\circ },\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}AC· BP$, 即 $y=x(0＜x≤4)$. 当 $4＜x＜6$ 时,点 $P$ 在 $AC$ 上运动, $\therefore AP=4+2-x=6-x.\because ∠ ACB=90^{\circ },\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}AP· BC$,即 $y = - 2x + 12$（$4 ＜ x ＜ 6$）. 综上所述, $y = \begin{cases}x(0＜x≤4),\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$
(2) $\because ∠ ACB=90^{\circ },BC=4$,$AC=2$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AC· BC=4$.$\because △ APB$ 的面积等于 $△ ABC$ 面积的一半, $\therefore S_{△ APB}=\frac {1}{2}S_{△ ABC}=2$, 即 $y=2$. 当 $0＜x≤4$ 时, $x=2$; 当 $4＜x＜6$ 时, $-2x+12=2$,解得 $x=5$. $\therefore$ 当 $△ APB$ 的面积等于 $△ ABC$ 面积的一半时, $x$ 的值为 2 或 5
解析
【分析】
本题是动点结合分段函数的问题，解题思路如下：首先根据点P的运动路径，分点P在BC上、点P在AC上两种情况讨论，分别确定不同阶段自变量x的取值范围；再结合直角三角形的特征，找到△APB对应的底和高，利用三角形面积公式推导y与x的函数表达式；第二问先计算△ABC的面积，得到对应y的取值，再分别代入两段函数求解，验证解是否符合对应自变量范围即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$0＜x≤4$时，点P在BC边上运动，此时$BP=x$。
$\because ∠ACB=90°$，即AC垂直于BC，$\therefore △APB$中BP边上的高为AC的长度，
$\therefore S_{△APB}=\frac{1}{2}·BP·AC$，代入AC=2，得$y=\frac{1}{2}·x·2=x$，即$y=x(0＜x≤4)$。
②当$4＜x＜6$时，点P在AC边上运动，此时点P运动的总路程为x，BC长为4，故$CP=x-4$，
$\therefore AP=AC-CP=2-(x-4)=6-x$。
$\because ∠ACB=90°$，即BC垂直于AC，$\therefore △APB$中AP边上的高为BC的长度，
$\therefore S_{△APB}=\frac{1}{2}·AP·BC$，代入BC=4，得$y=\frac{1}{2}·(6-x)·4=-2x+12$，即$y=-2x+12(4＜x＜6)$。
综上，y与x的函数表达式为$y = \begin{cases}x(0＜x≤4)\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$。
（2）先计算$△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}×2×4=4$，
由题意得$S_{△APB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=2$，即$y=2$。
分情况代入求解：
①当$0＜x≤4$时，$x=2$，符合取值范围；
②当$4＜x＜6$时，$-2x+12=2$，解得$x=5$，符合取值范围。
【答案】
(1) $y = \begin{cases}x(0＜x≤4)\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$
(2) $x$的值为2或5
【知识点】
1. 分段函数
2. 三角形面积公式
3. 一次函数的应用
【点评】
本题考查动点背景下的分段函数问题，核心是根据动点的不同位置分类讨论，解题时要注意结合几何图形的性质确定各段的数量关系，同时要关注自变量的取值范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合分段函数的问题，解题思路如下：首先根据点P的运动路径，分点P在BC上、点P在AC上两种情况讨论，分别确定不同阶段自变量x的取值范围；再结合直角三角形的特征，找到△APB对应的底和高，利用三角形面积公式推导y与x的函数表达式；第二问先计算△ABC的面积，得到对应y的取值，再分别代入两段函数求解，验证解是否符合对应自变量范围即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$0＜x≤4$时，点P在BC边上运动，此时$BP=x$。
$\because ∠ACB=90°$，即AC垂直于BC，$\therefore △APB$中BP边上的高为AC的长度，
$\therefore S_{△APB}=\frac{1}{2}·BP·AC$，代入AC=2，得$y=\frac{1}{2}·x·2=x$，即$y=x(0＜x≤4)$。
②当$4＜x＜6$时，点P在AC边上运动，此时点P运动的总路程为x，BC长为4，故$CP=x-4$，
$\therefore AP=AC-CP=2-(x-4)=6-x$。
$\because ∠ACB=90°$，即BC垂直于AC，$\therefore △APB$中AP边上的高为BC的长度，
$\therefore S_{△APB}=\frac{1}{2}·AP·BC$，代入BC=4，得$y=\frac{1}{2}·(6-x)·4=-2x+12$，即$y=-2x+12(4＜x＜6)$。
综上，y与x的函数表达式为$y = \begin{cases}x(0＜x≤4)\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$。
（2）先计算$△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}×2×4=4$，
由题意得$S_{△APB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=2$，即$y=2$。
分情况代入求解：
①当$0＜x≤4$时，$x=2$，符合取值范围；
②当$4＜x＜6$时，$-2x+12=2$，解得$x=5$，符合取值范围。
【答案】
(1) $y = \begin{cases}x(0＜x≤4)\\-2x+12(4＜x＜6)\end{cases}$
(2) $x$的值为2或5
【知识点】
1. 分段函数
2. 三角形面积公式
3. 一次函数的应用
【点评】
本题考查动点背景下的分段函数问题，核心是根据动点的不同位置分类讨论，解题时要注意结合几何图形的性质确定各段的数量关系，同时要关注自变量的取值范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
8 为了迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双，售价分别为240元/双、160元/双.
（1）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价－进价）不少于21 700元，且不超过22 300元，那么该专卖店有几种进货方案？
（2）在（1）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠$a(50＜a＜70)$元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应怎样进货？
（1）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价－进价）不少于21 700元，且不超过22 300元，那么该专卖店有几种进货方案？
（2）在（1）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠$a(50＜a＜70)$元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应怎样进货？
答案
8. (1) 设购进甲种运动鞋 $x$ 双,则购进乙种运动鞋 $(200-x)$ 双. 根据题意,得
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21\ 700①,\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22\ 300②.\end{cases}$ 解不等式①,得 $x≥95$; 解不等式②,得 $x≤105$. $\therefore$ 不等式组的解集是 $95≤ x≤105$. $\because x$ 是正整数, $105-95+1=11$(种),$\therefore$ 该专卖店有 11 种进货方案
(2) 设总利润为 $W$ 元. 由题意,得 $W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16\ 000(95≤ x≤105)$. ① 当 $50＜a＜60$ 时, $60-a＞0$, 此时 $W$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $x=105$ 时, $W$ 有最大值, $200-x=95$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ② 当 $a=60$ 时, $60-a=0$,$W=16\ 000$. $\therefore$ 当 $95≤ x≤105$ 时,无论 $x$ 取何值,获得的最大利润都为 16 000 元,进货方案分别为购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双;购进甲种运动鞋 96 双,购进乙种运动鞋 104 双;购进甲种运动鞋 97 双,购进乙种运动鞋 103 双;购进甲种运动鞋 98 双,购进乙种运动鞋 102 双;购进甲种运动鞋 99 双,购进乙种运动鞋 101 双;购进甲种运动鞋 100 双,购进乙种运动鞋 100 双;购进甲种运动鞋 101 双,购进乙种运动鞋 99 双;购进甲种运动鞋 102 双,购进乙种运动鞋 98 双;购进甲种运动鞋 103 双,购进乙种运动鞋 97 双;购进甲种运动鞋 104 双,购进乙种运动鞋 96 双;购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ③ 当 $60＜a＜70$ 时, $60-a＜0$, 此时 $W$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=95$ 时, $W$ 取得最大值, $200-x=105$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21\ 700①,\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22\ 300②.\end{cases}$ 解不等式①,得 $x≥95$; 解不等式②,得 $x≤105$. $\therefore$ 不等式组的解集是 $95≤ x≤105$. $\because x$ 是正整数, $105-95+1=11$(种),$\therefore$ 该专卖店有 11 种进货方案
(2) 设总利润为 $W$ 元. 由题意,得 $W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16\ 000(95≤ x≤105)$. ① 当 $50＜a＜60$ 时, $60-a＞0$, 此时 $W$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $x=105$ 时, $W$ 有最大值, $200-x=95$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ② 当 $a=60$ 时, $60-a=0$,$W=16\ 000$. $\therefore$ 当 $95≤ x≤105$ 时,无论 $x$ 取何值,获得的最大利润都为 16 000 元,进货方案分别为购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双;购进甲种运动鞋 96 双,购进乙种运动鞋 104 双;购进甲种运动鞋 97 双,购进乙种运动鞋 103 双;购进甲种运动鞋 98 双,购进乙种运动鞋 102 双;购进甲种运动鞋 99 双,购进乙种运动鞋 101 双;购进甲种运动鞋 100 双,购进乙种运动鞋 100 双;购进甲种运动鞋 101 双,购进乙种运动鞋 99 双;购进甲种运动鞋 102 双,购进乙种运动鞋 98 双;购进甲种运动鞋 103 双,购进乙种运动鞋 97 双;购进甲种运动鞋 104 双,购进乙种运动鞋 96 双;购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双. ③ 当 $60＜a＜70$ 时, $60-a＜0$, 此时 $W$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=95$ 时, $W$ 取得最大值, $200-x=105$,$\therefore$ 此时应购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先设购进甲种运动鞋的数量为x双，即可用含x的式子表示乙种运动鞋的数量。根据总利润=单利润×销售数量，结合总利润的上下限列出一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合x为正整数，即可算出进货方案的总数。
（2）解决第二问时，先根据优惠后的利润规则写出总利润W关于x的一次函数表达式，由于一次函数的增减性由一次项系数的正负决定，且一次项系数含参数a，因此需要分三种情况讨论a的取值，分别判断W随x的变化规律，进而确定获得最大利润的进货方案。
【解析】
(1) 设购进甲种运动鞋 $x$ 双，则购进乙种运动鞋 $(200-x)$ 双。
甲每双利润为$240-100=140$元，乙每双利润为$160-80=80$元，根据总利润的范围列不等式组：
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700①\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②\end{cases}$
解不等式①：
$140x + 80(200-x) ≥21700$
$140x + 16000 -80x ≥21700$
$60x ≥5700$
$x≥95$
解不等式②：
$140x + 16000 -80x ≤22300$
$60x ≤6300$
$x≤105$
因此不等式组的解集为$95≤x≤105$，又因为x是正整数，符合条件的x共有$105-95+1=11$个，即共有11种进货方案。
(2) 设总利润为$W$元，甲种运动鞋每双优惠a元后，单利润为$(140-a)$元，乙单利润仍为80元，因此：
$W=(240-100-a)x + (160-80)(200-x)$
化简得：$W=(60-a)x + 16000$（$95≤x≤105$）
根据a的取值范围分情况讨论：
① 当$50＜a＜60$时，$60-a＞0$，一次函数W随x的增大而增大，因此当x取最大值105时，W最大，此时$200-x=95$；
② 当$a=60$时，$60-a=0$，此时$W=16000$，与x的取值无关，因此x在$95≤x≤105$范围内的所有进货方案利润都相同，均为16000元，对应11种方案：甲95双乙105双、甲96双乙104双、……、甲105双乙95双；
③ 当$60＜a＜70$时，$60-a＜0$，一次函数W随x的增大而减小，因此当x取最小值95时，W最大，此时$200-x=105$。
【答案】
(1) 该专卖店有11种进货方案；
(2) ①当$50＜a＜60$时，购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双可获得最大利润；②当$a=60$时，购进甲种运动鞋数量为95~105双之间的任意正整数时，利润均为最大值16000元，共11种进货方案；③当$60＜a＜70$时，购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双可获得最大利润。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际经营场景考查不等式组和一次函数的综合应用，第一问侧重不等式组的解法和方案计数，第二问需要结合参数的取值范围判断一次函数的增减性，重点考查分类讨论的数学思维，易错点是容易遗漏a=60的特殊情况。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一问时，先设购进甲种运动鞋的数量为x双，即可用含x的式子表示乙种运动鞋的数量。根据总利润=单利润×销售数量，结合总利润的上下限列出一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合x为正整数，即可算出进货方案的总数。
（2）解决第二问时，先根据优惠后的利润规则写出总利润W关于x的一次函数表达式，由于一次函数的增减性由一次项系数的正负决定，且一次项系数含参数a，因此需要分三种情况讨论a的取值，分别判断W随x的变化规律，进而确定获得最大利润的进货方案。
【解析】
(1) 设购进甲种运动鞋 $x$ 双，则购进乙种运动鞋 $(200-x)$ 双。
甲每双利润为$240-100=140$元，乙每双利润为$160-80=80$元，根据总利润的范围列不等式组：
$\begin{cases}(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700①\\(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②\end{cases}$
解不等式①：
$140x + 80(200-x) ≥21700$
$140x + 16000 -80x ≥21700$
$60x ≥5700$
$x≥95$
解不等式②：
$140x + 16000 -80x ≤22300$
$60x ≤6300$
$x≤105$
因此不等式组的解集为$95≤x≤105$，又因为x是正整数，符合条件的x共有$105-95+1=11$个，即共有11种进货方案。
(2) 设总利润为$W$元，甲种运动鞋每双优惠a元后，单利润为$(140-a)$元，乙单利润仍为80元，因此：
$W=(240-100-a)x + (160-80)(200-x)$
化简得：$W=(60-a)x + 16000$（$95≤x≤105$）
根据a的取值范围分情况讨论：
① 当$50＜a＜60$时，$60-a＞0$，一次函数W随x的增大而增大，因此当x取最大值105时，W最大，此时$200-x=95$；
② 当$a=60$时，$60-a=0$，此时$W=16000$，与x的取值无关，因此x在$95≤x≤105$范围内的所有进货方案利润都相同，均为16000元，对应11种方案：甲95双乙105双、甲96双乙104双、……、甲105双乙95双；
③ 当$60＜a＜70$时，$60-a＜0$，一次函数W随x的增大而减小，因此当x取最小值95时，W最大，此时$200-x=105$。
【答案】
(1) 该专卖店有11种进货方案；
(2) ①当$50＜a＜60$时，购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双可获得最大利润；②当$a=60$时，购进甲种运动鞋数量为95~105双之间的任意正整数时，利润均为最大值16000元，共11种进货方案；③当$60＜a＜70$时，购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双可获得最大利润。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际经营场景考查不等式组和一次函数的综合应用，第一问侧重不等式组的解法和方案计数，第二问需要结合参数的取值范围判断一次函数的增减性，重点考查分类讨论的数学思维，易错点是容易遗漏a=60的特殊情况。
【难度系数】
0.6
