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1 [2025青海]甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（
A.乙车先到达B地
B.A,B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时，乙车追上甲车
C
）A.乙车先到达B地
B.A,B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时，乙车追上甲车
答案
1. C
解析
【分析】首先要读懂行程问题的函数图像，明确横轴代表行驶时刻，纵轴代表离开A地的路程，先从图像中提取甲、乙两车的出发时间、到达时间、总路程这些关键信息，再结合行程公式“速度=路程÷时间”分别计算两车速度，再判断两车相遇的时间，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
首先从函数图像提取基础信息：
1. 纵轴最大值为300km，说明A、B两地相距300km，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 甲车6:00出发，11:00到达B地，行驶总时长为$11-6=5\mathrm{h}$，甲车的平均速度为$300÷5=60\mathrm{km/h}$，故C选项结论错误，符合题意；
3. 乙车7:00出发，10:00到达B地，到达时间早于甲车的11:00，因此乙车先到达B地，A选项结论正确，不符合题意；
4. 计算乙车的平均速度：乙车行驶总时长为$10-7=3\mathrm{h}$，速度为$300÷3=100\mathrm{km/h}$；
计算8:30时两车的行驶路程：
甲车行驶时长为$8.5-6=2.5\mathrm{h}$，行驶路程为$60×2.5=150\mathrm{km}$；
乙车行驶时长为$8.5-7=1.5\mathrm{h}$，行驶路程为$100×1.5=150\mathrm{km}$；
两车行驶路程相等，说明8:30时乙车追上甲车，D选项结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是C选项。
【答案】C
【知识点】一次函数图像应用；行程问题计算；平均速度计算
【点评】本题是典型的一次函数行程类图像题，解题核心是准确从图像中提取出发时间、到达时间、总路程等有效信息，结合行程基本公式逐一分析选项即可，解题时要注意行驶时长的计算要对应各自的出发时间，不要混淆。
【难度系数】0.7
【解析】
首先从函数图像提取基础信息：
1. 纵轴最大值为300km，说明A、B两地相距300km，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 甲车6:00出发，11:00到达B地，行驶总时长为$11-6=5\mathrm{h}$，甲车的平均速度为$300÷5=60\mathrm{km/h}$，故C选项结论错误，符合题意；
3. 乙车7:00出发，10:00到达B地，到达时间早于甲车的11:00，因此乙车先到达B地，A选项结论正确，不符合题意；
4. 计算乙车的平均速度：乙车行驶总时长为$10-7=3\mathrm{h}$，速度为$300÷3=100\mathrm{km/h}$；
计算8:30时两车的行驶路程：
甲车行驶时长为$8.5-6=2.5\mathrm{h}$，行驶路程为$60×2.5=150\mathrm{km}$；
乙车行驶时长为$8.5-7=1.5\mathrm{h}$，行驶路程为$100×1.5=150\mathrm{km}$；
两车行驶路程相等，说明8:30时乙车追上甲车，D选项结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是C选项。
【答案】C
【知识点】一次函数图像应用；行程问题计算；平均速度计算
【点评】本题是典型的一次函数行程类图像题，解题核心是准确从图像中提取出发时间、到达时间、总路程等有效信息，结合行程基本公式逐一分析选项即可，解题时要注意行驶时长的计算要对应各自的出发时间，不要混淆。
【难度系数】0.7
2 [2024哈尔滨]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量 y（L）与时间 x（min）之间的关系如图所示，当x=9时，y=
38
.答案
2. 38
解析
【分析】
解题时首先观察函数图像，明确两段不同的变化阶段：①0~5min只进水不出水，先根据这段的水量变化计算每分钟进水量；②5~15min既进水又出水，根据这段的起止水量和时长，计算该阶段每分钟的净增水量；x=9处于第二阶段，先算出9min比5min多的时长，用5min时的水量加上这段时间的净增水量，即可得到对应的y值。
【解析】
1. 计算0~5min的进水速度
由图可知，0~5min只进水，5min时容器水量为30L，
则每分钟进水量为 $ \frac{30}{5}=6\ \mathrm{L/min} $。
2. 计算5~15min每分钟的净增水量
5~15min时长为 $15-5=10\ \mathrm{min}$，水量从30L增加到50L，共增加 $50-30=20\ \mathrm{L}$，
则该阶段每分钟水量净增加 $ \frac{20}{10}=2\ \mathrm{L/min} $。
3. 计算x=9时的水量
x=9属于5~15min的区间，和x=5的时间差为 $9-5=4\ \mathrm{min}$，
因此此时水量 $y=30 + 2×4=38\ \mathrm{L}$。
【答案】
38
【知识点】
一次函数应用，图像信息提取，分段函数问题
【点评】
本题是结合生活场景的函数应用题，核心是读懂图像的分段含义，准确计算不同阶段的水量变化速率，再代入数值计算，注重考查信息提取和基础计算能力，是函数实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察函数图像，明确两段不同的变化阶段：①0~5min只进水不出水，先根据这段的水量变化计算每分钟进水量；②5~15min既进水又出水，根据这段的起止水量和时长，计算该阶段每分钟的净增水量；x=9处于第二阶段，先算出9min比5min多的时长，用5min时的水量加上这段时间的净增水量，即可得到对应的y值。
【解析】
1. 计算0~5min的进水速度
由图可知，0~5min只进水，5min时容器水量为30L，
则每分钟进水量为 $ \frac{30}{5}=6\ \mathrm{L/min} $。
2. 计算5~15min每分钟的净增水量
5~15min时长为 $15-5=10\ \mathrm{min}$，水量从30L增加到50L，共增加 $50-30=20\ \mathrm{L}$，
则该阶段每分钟水量净增加 $ \frac{20}{10}=2\ \mathrm{L/min} $。
3. 计算x=9时的水量
x=9属于5~15min的区间，和x=5的时间差为 $9-5=4\ \mathrm{min}$，
因此此时水量 $y=30 + 2×4=38\ \mathrm{L}$。
【答案】
38
【知识点】
一次函数应用，图像信息提取，分段函数问题
【点评】
本题是结合生活场景的函数应用题，核心是读懂图像的分段含义，准确计算不同阶段的水量变化速率，再代入数值计算，注重考查信息提取和基础计算能力，是函数实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
3 甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率.从工作开始到加工完这批零件，两台机器恰好同时工作了6小时.甲、乙两台机器各自加工的零件数量y(个)与加工时间x(小时)之间的函数图象分别为折线OAB与折线OCD(如图).请回答下列问题：
（1）甲机器改变工作效率前每小时加工
（2）乙机器改变工作效率后y与x之间的函数表达式为
（3）这批零件总共有
（1）甲机器改变工作效率前每小时加工
20
个零件；（2）乙机器改变工作效率后y与x之间的函数表达式为
y=10x+60
；（3）这批零件总共有
260
个.答案
3. （1）20 （2）y=10x+60 （3）260
解析
【分析】
（1）甲机器改变工作效率前对应图象OA段，工作4小时加工零件80个，用加工总量除以工作时间即可求出每小时加工的零件数；
（2）乙机器改变工作效率后对应图象CD段，已知图象过点C(2,80)和点(5,110)，利用待定系数法设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b即可得到函数表达式；
（3）先利用待定系数法求出甲机器改变效率后AB段的函数表达式，再将x=6分别代入甲、乙改变效率后的函数表达式，求出6小时甲乙各加工的零件数，相加即可得到零件总数量。
【解析】
（1）甲机器改变工作效率前，4小时加工了80个零件，
所以每小时加工零件数为：$80÷4=20$（个）。
（2）设乙机器改变工作效率后y与x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由图象可知函数过点$(2,80)$和$(5,110)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=80\\5k+b=110\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，得$3k=30$，解得$k=10$，
将$k=10$代入$2k+b=80$，得$20+b=80$，解得$b=60$，
所以函数表达式为$\boldsymbol{y=10x+60}$（$2≤ x≤6$）。
（3）设甲机器改变工作效率后AB段的函数表达式为$y=mx+n$（$m≠0$），
由图象可知函数过点$(4,80)$和$(5,110)$，代入得：
$\begin{cases}4m+n=80\\5m+n=110\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，得$m=30$，
将$m=30$代入$4m+n=80$，得$120+n=80$，解得$n=-40$，
所以AB段函数表达式为$y=30x-40$（$4≤ x≤6$）。
当$x=6$时，甲加工的零件数：$30×6-40=140$（个），
乙加工的零件数：$10×6+60=120$（个），
这批零件总数量：$140+120=260$（个）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20}$；（2）$\boldsymbol{y=10x+60}$；（3）$\boldsymbol{260}$
【知识点】
一次函数图象应用，待定系数法求解析式，工程问题计算
【点评】
本题结合零件加工的工程背景考查一次函数的实际应用，解题关键是准确从函数图象中提取已知点的坐标，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应自变量的值计算即可，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）甲机器改变工作效率前对应图象OA段，工作4小时加工零件80个，用加工总量除以工作时间即可求出每小时加工的零件数；
（2）乙机器改变工作效率后对应图象CD段，已知图象过点C(2,80)和点(5,110)，利用待定系数法设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b即可得到函数表达式；
（3）先利用待定系数法求出甲机器改变效率后AB段的函数表达式，再将x=6分别代入甲、乙改变效率后的函数表达式，求出6小时甲乙各加工的零件数，相加即可得到零件总数量。
【解析】
（1）甲机器改变工作效率前，4小时加工了80个零件，
所以每小时加工零件数为：$80÷4=20$（个）。
（2）设乙机器改变工作效率后y与x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由图象可知函数过点$(2,80)$和$(5,110)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=80\\5k+b=110\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，得$3k=30$，解得$k=10$，
将$k=10$代入$2k+b=80$，得$20+b=80$，解得$b=60$，
所以函数表达式为$\boldsymbol{y=10x+60}$（$2≤ x≤6$）。
（3）设甲机器改变工作效率后AB段的函数表达式为$y=mx+n$（$m≠0$），
由图象可知函数过点$(4,80)$和$(5,110)$，代入得：
$\begin{cases}4m+n=80\\5m+n=110\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，得$m=30$，
将$m=30$代入$4m+n=80$，得$120+n=80$，解得$n=-40$，
所以AB段函数表达式为$y=30x-40$（$4≤ x≤6$）。
当$x=6$时，甲加工的零件数：$30×6-40=140$（个），
乙加工的零件数：$10×6+60=120$（个），
这批零件总数量：$140+120=260$（个）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20}$；（2）$\boldsymbol{y=10x+60}$；（3）$\boldsymbol{260}$
【知识点】
一次函数图象应用，待定系数法求解析式，工程问题计算
【点评】
本题结合零件加工的工程背景考查一次函数的实际应用，解题关键是准确从函数图象中提取已知点的坐标，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应自变量的值计算即可，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4 [2025甘孜]某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度$y$($μ g/mL$)与服药后经过的时间$x$(h)之间满足如图所示的函数关系($0≤ x≤11$).服药后3 h,测得血液中药物浓度达到最高值9 $μ g/mL$;服药后11 h,测得血液中药物浓度为1 $μ g/mL$.
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段$y$与$x$之间的函数表达式;
(2)根据测试,成人服药后,血液中药物浓度不低于3 $μ g/mL$时,才能对人体产生抗菌作用,试求成人服药后,药物对人体产生抗菌作用的有效时长.
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段$y$与$x$之间的函数表达式;
(2)根据测试,成人服药后,血液中药物浓度不低于3 $μ g/mL$时,才能对人体产生抗菌作用,试求成人服药后,药物对人体产生抗菌作用的有效时长.
答案
4. （1）当$0≤ x≤ 3$时，设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx$，将$(3,9)$代入，得$9=3k$，$\therefore k=3$，$\therefore$ 在血液中药物浓度上升阶段，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=3x$；当$3＜ x≤ 11$时，设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=ax+b$，将$(3,9)$，$(11,1)$代入，得$\begin{cases}3a+b=9,\\11a+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=12.\end{cases}$ $\therefore$ 在血液中药物浓度下降阶段，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+12$ （2）在$y=3x$中，令$y≥ 3$，得$x≥ 1$；在$y=-x+12$中，令$y≥ 3$，则$x≤ 9$.$\therefore$ 当$1≤ x≤ 9$时，药物对人体产生抗菌作用，有效时长为$9-1=8(\mathrm{h})$
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路分两步：(1)求分段函数解析式：首先观察图象，上升阶段（$0≤ x≤3$）函数图象过原点，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入已知点$(3,9)$即可求出$k$的值；下降阶段（$3＜x≤11$）是普通一次函数，已知图象经过$(3,9)$和$(11,1)$两个点，设解析式为$y=ax+b$，代入两点坐标得到二元一次方程组，解方程组即可求出$a、b$的值。(2)求抗菌有效时长：有效时长对应药物浓度$y≥3$时$x$的取值范围，分别将$y=3$代入两段函数解析式，求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是有效时长。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
① 上升阶段（$0≤ x≤3$）：
设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将点$(3,9)$代入得：$9=3k$，解得$k=3$，
因此上升阶段函数表达式为$y=3x（0≤ x≤3）$；
② 下降阶段（$3＜ x≤11$）：
设$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b$（$a≠0$），
将点$(3,9)$、$(11,1)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}3a+b=9\\11a+b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$8a=-8$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$3a+b=9$得：$-3+b=9$，解得$b=12$，
因此下降阶段函数表达式为$y=-x+12（3＜ x≤11）$。
(2) 求抗菌有效时长：
要使药物浓度不低于$3\ μ g/mL$，即$y≥3$，分别代入两段函数求解：
① 代入上升阶段$y=3x$：
令$3x≥3$，解得$x≥1$，结合$0≤ x≤3$，得$1≤ x≤3$；
② 代入下降阶段$y=-x+12$：
令$-x+12≥3$，移项得$x≤9$，结合$3＜ x≤11$，得$3＜ x≤9$；
综合得有效时间段为$1≤ x≤9$，有效时长为$9-1=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 上升阶段：$\boldsymbol{y=3x（0≤ x≤3）}$；下降阶段：$\boldsymbol{y=-x+12（3＜ x≤11）}$
(2) $\boldsymbol{8\ \mathrm{h}}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题结合医药试验的实际情境考查一次函数的相关知识，解题的核心是准确从图象和题干中提取有效信息，正确求出分段函数的解析式，再结合不等式求解有效时长，对学生的读图能力、计算能力和应用数学知识解决实际问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路分两步：(1)求分段函数解析式：首先观察图象，上升阶段（$0≤ x≤3$）函数图象过原点，属于正比例函数，可设解析式为$y=kx$，代入已知点$(3,9)$即可求出$k$的值；下降阶段（$3＜x≤11$）是普通一次函数，已知图象经过$(3,9)$和$(11,1)$两个点，设解析式为$y=ax+b$，代入两点坐标得到二元一次方程组，解方程组即可求出$a、b$的值。(2)求抗菌有效时长：有效时长对应药物浓度$y≥3$时$x$的取值范围，分别将$y=3$代入两段函数解析式，求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是有效时长。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
① 上升阶段（$0≤ x≤3$）：
设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将点$(3,9)$代入得：$9=3k$，解得$k=3$，
因此上升阶段函数表达式为$y=3x（0≤ x≤3）$；
② 下降阶段（$3＜ x≤11$）：
设$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b$（$a≠0$），
将点$(3,9)$、$(11,1)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}3a+b=9\\11a+b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$8a=-8$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$3a+b=9$得：$-3+b=9$，解得$b=12$，
因此下降阶段函数表达式为$y=-x+12（3＜ x≤11）$。
(2) 求抗菌有效时长：
要使药物浓度不低于$3\ μ g/mL$，即$y≥3$，分别代入两段函数求解：
① 代入上升阶段$y=3x$：
令$3x≥3$，解得$x≥1$，结合$0≤ x≤3$，得$1≤ x≤3$；
② 代入下降阶段$y=-x+12$：
令$-x+12≥3$，移项得$x≤9$，结合$3＜ x≤11$，得$3＜ x≤9$；
综合得有效时间段为$1≤ x≤9$，有效时长为$9-1=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 上升阶段：$\boldsymbol{y=3x（0≤ x≤3）}$；下降阶段：$\boldsymbol{y=-x+12（3＜ x≤11）}$
(2) $\boldsymbol{8\ \mathrm{h}}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题结合医药试验的实际情境考查一次函数的相关知识，解题的核心是准确从图象和题干中提取有效信息，正确求出分段函数的解析式，再结合不等式求解有效时长，对学生的读图能力、计算能力和应用数学知识解决实际问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
