三、解答题
11 [2025天津]已知小华家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离小华家0.6 km，公园离小华家1.8 km. 小华从家出发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家. 如图所示的图象反映了这个过程中小华离家的距离 y(km)与离开家的时间 x(min)之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题：
(1) ① 填表：

② 填空：小华从公园返回家的速度为 km/min；
③ 当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离 y(km)关于时间 x(min)的函数表达式.
(2) 若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中，对于同一时间 x(min)，当小华离家的距离小于小华的妈妈离家的距离时，x的取值范围是.

11. (1) ① 0.1 0.6 1.8 ② 0.12 ③ 当$0≤ x≤6$时，$y=0.1x$；当$6＜x≤18$时，$y=0.6$；当$18＜x≤30$时，$y=0.1x-1.2$
(2) $12＜x＜24$ 【解析】妈妈从家到公园所用时间为$1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$，则小华的妈妈离家的距离与时间之间的函数表达式为$y=0.05x(0≤ x≤36)$，其图象如图所示。当$6＜x≤18$时，令$0.05x=0.6$，解得$x=12.$ 当$18＜x≤30$时，令$0.1x-1.2=0.05x$，解得$x=24.$ 结合图象可知，对于同一时间$x(\mathrm{min})$，当小华离家的距离小于小华的妈妈离家的距离时，$x$的取值范围是$12＜x＜24.$

【分析】
解题时首先结合题干描述的小华运动过程，对应理清函数图像每一段代表的运动状态：
1. 解决第(1)问时：①根据“速度=路程÷时间”、停留阶段路程不变的特点计算对应数值；②返程速度同样用返程总路程除以返程总时间计算；③0≤x≤30分为三个运动阶段：步行去书店、书店停留、步行去公园，分别根据已知点求各段的函数解析式即可。
2. 解决第(2)问时：先求出小华妈妈的离家距离与时间的函数表达式，再分段比较小华和妈妈的离家距离，联立函数求交点，结合图像确定小华距离更小的x的范围。
【解析】
(1) ① 小华步行到书店的速度为：$0.6÷6=0.1\ \mathrm{km/min}$；
小华在书店停留时，离家距离始终为书店到家的距离，即$0.6\ \mathrm{km}$；
小华到达公园时，离家距离为公园到家的距离，即$1.8\ \mathrm{km}$。
故表格依次填0.1、0.6、1.8。
② 小华从公园返家的路程为$1.8\ \mathrm{km}$，用时$70-55=15\ \mathrm{min}$，则速度为$1.8÷15=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③ 分三段讨论：
当$0≤ x≤6$时，小华匀速步行去书店，速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，故$y=0.1x$；
当$6＜x≤18$时，小华在书店停留，离家距离不变，故$y=0.6$；
当$18＜x≤30$时，设函数解析式为$y=kx+b$，将$(18,0.6)$、$(30,1.8)$代入得：
$\begin{cases}18k+b=0.6\\30k+b=1.8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=0.1\\b=-1.2\end{cases}$，故$y=0.1x-1.2$。
(2) 小华妈妈到公园的总用时为$1.8÷0.05=36\ \mathrm{min}$，因此妈妈的离家距离函数为$y=0.05x\ (0≤ x≤36)$。
分情况比较小华和妈妈的离家距离：
当$0≤ x≤6$时，小华的$y=0.1x＞0.05x$，不符合要求；
当$6＜x≤18$时，小华的$y=0.6$，令$0.05x＞0.6$，解得$x＞12$，故此段符合要求的范围是$12＜x≤18$；
当$18＜x≤30$时，小华的$y=0.1x-1.2$，令$0.1x-1.2＜0.05x$，解得$x＜24$，故此段符合要求的范围是$18＜x＜24$；
当$30＜x≤36$时，小华的$y=1.8$，妈妈的$y=0.05x≤1.8$，小华的距离更大，不符合要求。
综上，符合要求的$x$取值范围是$12＜x＜24$。
【答案】
(1) ① $\boxed{0.1}$；$\boxed{0.6}$；$\boxed{1.8}$ ② $\boxed{0.12}$ ③ 当$0≤ x≤6$时，$y=0.1x$；当$6＜x≤18$时，$y=0.6$；当$18＜x≤30$时，$y=0.1x-1.2$
(2) $\boxed{12＜x＜24}$

【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题计算
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的图像与应用，核心是读懂函数图像各段对应的运动状态，能根据已知条件求解分段函数解析式，通过联立函数、分类讨论的方法比较函数值大小，对图像分析能力和分类讨论思维有一定要求。
【难度系数】
0.65

12 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1:y=k_1x+b(k_1≠0) $ 经过点 $ A(4,0),B(0,2) $,与直线 $ l_2:y=k_2x(k_2≠0) $ 交于点 $ P(a,1) $.
(1) 求直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式;
(2) 当 $ x=m $ 时,有 $ k_1m+b＞k_2m $,则 $ m $ 的取值范围是 ;
(3) $ C $ 为直线 $ l_2 $ 上一点,且 $ △ ABC $ 的面积为 3,求点 $ C $ 的坐标.

12. (1) $\because$ 直线 $ l_1:y=k_1x+b(k_1≠0) $ 经过点 $ A(4,0) $，$ B(0,2) $，$\therefore \begin{cases}b=2,\\0=4k_1+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{1}{2}x+2. $ $\because$ 直线 $ l_1 $ 经过点 $ P(a,1) $，$\therefore 1=-\dfrac{1}{2}a+2$，解得 $ a=2 $，$\therefore P(2,1).$ $\because$ 直线 $ l_2:y=k_2x(k_2≠0) $ 也经过点 $ P(2,1) $，$\therefore 1=2k_2$，解得 $ k_2=\dfrac{1}{2} $，$\therefore$ 直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x $
(2) $ m＜2 $
(3) 设点 $ C $ 的坐标为 $ (t,\dfrac{1}{2}t). $ $\because A(4,0) $，$ B(0,2) $，$\therefore OA=4,OB=2.$ ① 如图①，当 $ t＞2 $，即点 $ C $ 在 $ AB $ 上方时，$ S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}-S_{△ OAB}=3 $，$\therefore \dfrac{1}{2}×2t+\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{2}×4×2=3 $，解得 $ t=\dfrac{7}{2}. $ 此时点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4}). $ ② 如图②，当 $ t＜2 $，即点 $ C $ 在 $ AB $ 下方时，$\because S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×4×2=4＞3 $，$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=3 $，$\therefore 4-\dfrac{1}{2}×2t-\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{1}{2}t=3 $，解得 $ t=\dfrac{1}{2}. $ 此时点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}). $ 综上所述，点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4}) $ 或 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}) $

【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式需先得到其上点$P$的坐标：首先用待定系数法，将$A$、$B$两点坐标代入$l_1$的表达式求出$k_1$和$b$，得到$l_1$的解析式；再将$P(a,1)$代入$l_1$的解析式求出$a$，得到$P$点坐标；最后将$P$点坐标代入$l_2$的表达式求出$k_2$，即可得到$l_2$的解析式。
(2) 不等式$k_1m+b＞k_2m$的几何意义是$x=m$时直线$l_1$的函数值大于$l_2$的函数值，观察图像可知两直线交点横坐标为2，交点左侧$l_1$在$l_2$上方，即可得到$m$的取值范围。
(3) 点$C$在$l_2$上，可设$C$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t)$，分两种情况讨论：①点$C$在$AB$上方（$t＞2$），利用$S_{△ OBC}+S_{△ OAC}-S_{△ OAB}=S_{△ ABC}$列方程求解；②点$C$在$AB$下方（$t＜2$），利用$S_{△ OAB}-S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=S_{△ ABC}$列方程求解，最终得到两种情况对应的$C$点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 直线 $ l_1:y=k_1x+b(k_1≠0) $ 经过点 $ A(4,0) $，$ B(0,2) $，
$\therefore \begin{cases}b=2,\\0=4k_1+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{1}{2}x+2. $
$\because$ 直线 $ l_1 $ 经过点 $ P(a,1) $，
$\therefore 1=-\dfrac{1}{2}a+2$，解得 $ a=2 $，
$\therefore P(2,1).$
$\because$ 直线 $ l_2:y=k_2x(k_2≠0) $ 也经过点 $ P(2,1) $，
$\therefore 1=2k_2$，解得 $ k_2=\dfrac{1}{2} $，
$\therefore$ 直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x $。
(2) 不等式$k_1m+b＞k_2m$表示$x=m$时直线$l_1$的函数值大于直线$l_2$的函数值，观察图像可知两直线交点横坐标为2，当$x＜2$时$l_1$位于$l_2$上方，故$m＜2$。
(3) 设点 $ C $ 的坐标为 $ (t,\dfrac{1}{2}t). $
$\because A(4,0) $，$ B(0,2) $，
$\therefore OA=4,OB=2.$
① 当 $ t＞2 $，即点 $ C $ 在 $ AB $ 上方时，$ S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}-S_{△ OAB}=3 $，
$\therefore \dfrac{1}{2}×2t+\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{2}×4×2=3 $，解得 $ t=\dfrac{7}{2}. $
此时点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4}). $
② 当 $ t＜2 $，即点 $ C $ 在 $ AB $ 下方时，
$\because S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×4×2=4＞3 $，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=3 $，
$\therefore 4-\dfrac{1}{2}×2t-\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{1}{2}t=3 $，解得 $ t=\dfrac{1}{2}. $
此时点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}). $
综上，点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4}) $ 或 $ (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}) $。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x$
(2) $m＜2$
(3) $(\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4})$或$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$

【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；一次函数面积计算
【点评】
本题为一次函数综合题，基础考查待定系数法求解析式、数形结合求解不等式解集，难点在于第三问的面积计算，需要用割补法表示三角形面积，同时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6