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1 将第一象限的“小旗”上的各点的横坐标分别乘－1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确坐标变换规则：各点横坐标乘-1，纵坐标保持不变。首先回忆点的坐标变化规律：若点坐标为(x,y)，按规则变换后得到的点坐标为(-x,y)，这两个点关于y轴对称，因此变换后的图形与原图形关于y轴对称。原小旗在第一象限，可知变换后的小旗应在第二象限，且与原小旗关于y轴对称（沿y轴折叠可重合）。接下来先排除纵坐标为负的选项，再对比剩余选项是否满足关于y轴对称的特征即可得到答案。
【解析】
设原第一象限小旗上任意一点坐标为(x,y)（x＞0，y＞0），按要求变换后得到的点坐标为(-x,y)，可知变换前后的点关于y轴对称，因此变换后的图形与原小旗关于y轴对称，应位于第二象限，纵坐标仍为正。
对各选项逐一判断：
选项A：第二象限的小旗与第一象限小旗朝向相同，不关于y轴对称，不符合要求；
选项B：变换后的图形在第四象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求，错误；
选项C：第二象限的小旗与第一象限小旗关于y轴对称，符合坐标变换的特征，正确；
选项D：变换后的图形在第三象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、坐标与图形变换
【点评】
本题考查坐标变换与图形对称的对应关系，解题核心是掌握“横坐标互为相反数、纵坐标相同的两个点关于y轴对称”这一规律，结合象限的坐标特征即可快速排除错误选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确坐标变换规则：各点横坐标乘-1，纵坐标保持不变。首先回忆点的坐标变化规律：若点坐标为(x,y)，按规则变换后得到的点坐标为(-x,y)，这两个点关于y轴对称，因此变换后的图形与原图形关于y轴对称。原小旗在第一象限，可知变换后的小旗应在第二象限，且与原小旗关于y轴对称（沿y轴折叠可重合）。接下来先排除纵坐标为负的选项，再对比剩余选项是否满足关于y轴对称的特征即可得到答案。
【解析】
设原第一象限小旗上任意一点坐标为(x,y)（x＞0，y＞0），按要求变换后得到的点坐标为(-x,y)，可知变换前后的点关于y轴对称，因此变换后的图形与原小旗关于y轴对称，应位于第二象限，纵坐标仍为正。
对各选项逐一判断：
选项A：第二象限的小旗与第一象限小旗朝向相同，不关于y轴对称，不符合要求；
选项B：变换后的图形在第四象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求，错误；
选项C：第二象限的小旗与第一象限小旗关于y轴对称，符合坐标变换的特征，正确；
选项D：变换后的图形在第三象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、坐标与图形变换
【点评】
本题考查坐标变换与图形对称的对应关系，解题核心是掌握“横坐标互为相反数、纵坐标相同的两个点关于y轴对称”这一规律，结合象限的坐标特征即可快速排除错误选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2 如图，在$3×3$的正方形网格中有四个格点$A$，$B$，$C$，$D$，以其中一点为原点，网格线所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是格点
B
。答案
2. B
解析
【分析】
解题思路：我们需要依次将四个格点分别作为原点建立平面直角坐标系，根据关于坐标轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数），判断其余三个点中是否存在两个点满足轴对称特征，最终找到符合要求的原点。
【解析】
设每个小方格的边长为1，逐一验证如下：
1. 若以A为原点建立坐标系：可得B(1,1)、C(2,0)、D(2,-1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若以B为原点建立坐标系：可得A(-1,-1)、C(1,-1)、D(1,-2)，其中A(-1,-1)和C(1,-1)纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，符合要求；
3. 若以C为原点建立坐标系：可得B(-1,1)、A(-2,0)、D(0,-1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若以D为原点建立坐标系：可得C(0,1)、B(-1,2)、A(-2,1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求。
因此原点是格点B。
【答案】
B
【知识点】
1. 轴对称点的坐标特征
2. 平面直角坐标系的建立
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，采用逐一验证的方法即可快速求解，解题的关键是熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律。
【难度系数】
0.8
解题思路：我们需要依次将四个格点分别作为原点建立平面直角坐标系，根据关于坐标轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数），判断其余三个点中是否存在两个点满足轴对称特征，最终找到符合要求的原点。
【解析】
设每个小方格的边长为1，逐一验证如下：
1. 若以A为原点建立坐标系：可得B(1,1)、C(2,0)、D(2,-1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若以B为原点建立坐标系：可得A(-1,-1)、C(1,-1)、D(1,-2)，其中A(-1,-1)和C(1,-1)纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，符合要求；
3. 若以C为原点建立坐标系：可得B(-1,1)、A(-2,0)、D(0,-1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若以D为原点建立坐标系：可得C(0,1)、B(-1,2)、A(-2,1)，三个点中不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求。
因此原点是格点B。
【答案】
B
【知识点】
1. 轴对称点的坐标特征
2. 平面直角坐标系的建立
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，采用逐一验证的方法即可快速求解，解题的关键是熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律。
【难度系数】
0.8
3 教材 P128 习题 T6 变式
（1）若点 $ A(a - 4, 2 - 2a) $ 在第二象限，且到 $ x $ 轴和 $ y $ 轴距离相等，求点 $ A $ 的坐标。
（2）已知 $ M(m + 1, n - 2) $，$ N(4, 3) $ 两点。若点 $ M $ 到 $ y $ 轴的距离是 3，且 $ MN // x $ 轴，求点 $ M $ 的坐标。
（1）若点 $ A(a - 4, 2 - 2a) $ 在第二象限，且到 $ x $ 轴和 $ y $ 轴距离相等，求点 $ A $ 的坐标。
（2）已知 $ M(m + 1, n - 2) $，$ N(4, 3) $ 两点。若点 $ M $ 到 $ y $ 轴的距离是 3，且 $ MN // x $ 轴，求点 $ M $ 的坐标。
答案
3. (1) $\because$ 点 $A(a-4,2-2a)$ 在第二象限, $\therefore \begin{cases} a-4＜0,\\ 2-2a＞0, \end{cases}$
$\therefore a＜1.$ 根据题意,得 $|a-4|=|2-2a|$, 解得 $a=2$(不合题意,舍去)或 $a=-2$, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-6,6)$
(2) $\because$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 3, $\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 3 或$-3$. 又$\because MN// x$ 轴, $\therefore$ 点 $M$ 的纵坐标为 3, $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(-3,3)$
$\therefore a＜1.$ 根据题意,得 $|a-4|=|2-2a|$, 解得 $a=2$(不合题意,舍去)或 $a=-2$, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-6,6)$
(2) $\because$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 3, $\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 3 或$-3$. 又$\because MN// x$ 轴, $\therefore$ 点 $M$ 的纵坐标为 3, $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(-3,3)$
解析
【分析】
（1）解答第一问首先要明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出关于a的不等式组确定a的取值范围；再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合“距离相等”列绝对值方程，求解后结合a的取值范围舍去不符合的解，最后代入计算得到点A的坐标。
（2）解答第二问首先根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，求出点M横坐标的可能取值；再根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，结合点N的纵坐标得到点M的纵坐标，最终确定点M的坐标。
【解析】
（1）$\because$ 点 $A(a - 4, 2 - 2a)$ 在第二象限，
$\therefore \begin{cases} a-4＜0\\ 2-2a＞0 \end{cases}$，解得 $a＜1$。
根据题意，点A到x轴和y轴距离相等，得 $|a-4|=|2-2a|$，
结合$a＜1$的范围，解方程得 $a=2$（不合题意，舍去）或 $a=-2$，
将$a=-2$代入点A的坐标得：$a-4=-6$，$2-2a=6$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-6,6)$。
（2）$\because$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 3，
$\therefore |m+1|=3$，即点 $M$ 的横坐标为 3 或$-3$。
又$\because MN// x$ 轴，
$\therefore$ 点M和点N的纵坐标相等，即点 $M$ 的纵坐标为 3，
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(-3,3)$。
【答案】
（1）$A(-6,6)$；（2）$M(3,3)$或$(-3,3)$
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题时需注意结合坐标特征对参数的取值进行筛选，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
（1）解答第一问首先要明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出关于a的不等式组确定a的取值范围；再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合“距离相等”列绝对值方程，求解后结合a的取值范围舍去不符合的解，最后代入计算得到点A的坐标。
（2）解答第二问首先根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，求出点M横坐标的可能取值；再根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，结合点N的纵坐标得到点M的纵坐标，最终确定点M的坐标。
【解析】
（1）$\because$ 点 $A(a - 4, 2 - 2a)$ 在第二象限，
$\therefore \begin{cases} a-4＜0\\ 2-2a＞0 \end{cases}$，解得 $a＜1$。
根据题意，点A到x轴和y轴距离相等，得 $|a-4|=|2-2a|$，
结合$a＜1$的范围，解方程得 $a=2$（不合题意，舍去）或 $a=-2$，
将$a=-2$代入点A的坐标得：$a-4=-6$，$2-2a=6$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-6,6)$。
（2）$\because$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 3，
$\therefore |m+1|=3$，即点 $M$ 的横坐标为 3 或$-3$。
又$\because MN// x$ 轴，
$\therefore$ 点M和点N的纵坐标相等，即点 $M$ 的纵坐标为 3，
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(-3,3)$。
【答案】
（1）$A(-6,6)$；（2）$M(3,3)$或$(-3,3)$
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题时需注意结合坐标特征对参数的取值进行筛选，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
4 [2024安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）在(1)的条件下，求以B,C₁,B₁,C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）在(1)的条件下，求以B,C₁,B₁,C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.
答案
4. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) 如图,以 $B,C_1,B_1,C$ 为顶点的四边形的面积为 $2× \frac{1}{2}× 10× 4=40$
(3) $(3,0)$ 或 $(4,2)$ 或 $(5,4)$ 或 $(6,6)$ (写出一个即可)
【解析】根据题意,得 $AB=AC=5$, 只要满足 $EB=EC$, 即可说明 $△ ABE ≌ △ ACE$ (SSS), 此时射线 $AE$ 平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
（1）旋转180°本质是中心对称，旋转中心D是对应点连线的中点，可利用中点坐标规律求出A、B、C关于D的对称点$A_1,B_1,C_1$的坐标，依次连接三点即可画出$△ A_1B_1C_1$。
（2）先确定四边形$BC_1B_1C$各顶点坐标，观察可知可将四边形拆分为两个同底的三角形，分别计算面积后求和即可得到四边形面积。
（3）先通过坐标计算得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ BAC$的平分线与BC的中线重合，找到该中线上的格点即为所求E点。
【解析】
（1）已知旋转中心$D(5,4)$，旋转180°后对应点与原点点的中点为D，设点$P(x,y)$的对应点为$P'(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=5$，$\frac{y+y'}{2}=4$，即$x'=10-x$，$y'=8-y$。
代入$A(7,8)$得$A_1(3,0)$，代入$B(2,8)$得$B_1(8,0)$，代入$C(10,4)$得$C_1(0,4)$，依次连接$A_1,B_1,C_1$即可。
（2）由坐标可知$C(10,4)$，$C_1(0,4)$，则$CC_1$长度为$10-0=10$，且$CC_1$在直线$y=4$上。
点$B(2,8)$到直线$y=4$的距离为$8-4=4$，点$B_1(8,0)$到直线$y=4$的距离为$4-0=4$。
四边形$BC_1B_1C$的面积 = $S_{△ BCC_1} + S_{△ B_1CC_1} = \frac{1}{2}×10×4 + \frac{1}{2}×10×4 = 40$。
（3）计算边长：$A(7,8)$，$B(2,8)$，故$AB=7-2=5$；$A(7,8)$，$C(10,4)$，由勾股定理得$AC=\sqrt{(10-7)^2+(4-8)^2}=\sqrt{9+16}=5$，故$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
根据等腰三角形三线合一，$∠ BAC$的平分线是BC边上的中线所在直线，BC中点为$(6,6)$，该直线上的格点还有$(5,4)、(4,2)、(3,0)$，任选其一即可。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) $40$
(3) $(3,0)$（或$(4,2)$、$(5,4)$、$(6,6)$，写出一个即可）
【知识点】
中心对称的性质，等腰三角形的性质，网格图形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系网格，综合考查了旋转作图、四边形面积求解、角平分线的判定，注重对基础几何性质的灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.65
（1）旋转180°本质是中心对称，旋转中心D是对应点连线的中点，可利用中点坐标规律求出A、B、C关于D的对称点$A_1,B_1,C_1$的坐标，依次连接三点即可画出$△ A_1B_1C_1$。
（2）先确定四边形$BC_1B_1C$各顶点坐标，观察可知可将四边形拆分为两个同底的三角形，分别计算面积后求和即可得到四边形面积。
（3）先通过坐标计算得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ BAC$的平分线与BC的中线重合，找到该中线上的格点即为所求E点。
【解析】
（1）已知旋转中心$D(5,4)$，旋转180°后对应点与原点点的中点为D，设点$P(x,y)$的对应点为$P'(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=5$，$\frac{y+y'}{2}=4$，即$x'=10-x$，$y'=8-y$。
代入$A(7,8)$得$A_1(3,0)$，代入$B(2,8)$得$B_1(8,0)$，代入$C(10,4)$得$C_1(0,4)$，依次连接$A_1,B_1,C_1$即可。
（2）由坐标可知$C(10,4)$，$C_1(0,4)$，则$CC_1$长度为$10-0=10$，且$CC_1$在直线$y=4$上。
点$B(2,8)$到直线$y=4$的距离为$8-4=4$，点$B_1(8,0)$到直线$y=4$的距离为$4-0=4$。
四边形$BC_1B_1C$的面积 = $S_{△ BCC_1} + S_{△ B_1CC_1} = \frac{1}{2}×10×4 + \frac{1}{2}×10×4 = 40$。
（3）计算边长：$A(7,8)$，$B(2,8)$，故$AB=7-2=5$；$A(7,8)$，$C(10,4)$，由勾股定理得$AC=\sqrt{(10-7)^2+(4-8)^2}=\sqrt{9+16}=5$，故$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
根据等腰三角形三线合一，$∠ BAC$的平分线是BC边上的中线所在直线，BC中点为$(6,6)$，该直线上的格点还有$(5,4)、(4,2)、(3,0)$，任选其一即可。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) $40$
(3) $(3,0)$（或$(4,2)$、$(5,4)$、$(6,6)$，写出一个即可）
【知识点】
中心对称的性质，等腰三角形的性质，网格图形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系网格，综合考查了旋转作图、四边形面积求解、角平分线的判定，注重对基础几何性质的灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.65
5 [2024河北]在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”. 如图，长方形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最小的是（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
5. B 【解析】不妨采用赋值法求解. 设 $A(1.5,1)$,$AB=3.5,AD=2$, 则 $B(5,1),C(5,3),D(1.5,3)$, 此时点 $A,B,C,D$ 的“特征值”分别是 $\frac{2}{3},\frac{1}{5},\frac{3}{5},2$, $\therefore$ “特征值”最小的是点 $B$.
解析
【分析】
首先明确题目的新定义：点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即$λ=\frac{y}{x}$。观察矩形ABCD的特点：四条边分别与坐标轴平行，因此同一条水平边上的点纵坐标相等，同一条竖直边上的点横坐标相等。要找特征值最小的点，可选用适合选择题的赋值法，给各点赋予符合题意的具体坐标，分别计算特征值后比较大小即可，也可根据“纵坐标越小、横坐标越大，$\frac{y}{x}$的值越小”的规律直接分析。
【解析】
根据题意，点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即特征值$λ=\frac{y}{x}$。
采用赋值法简化计算，设点$A$的坐标为$(1.5,1)$，$AB=3.5$，$AD=2$，
∵矩形ABCD的边与坐标轴平行，
∴点B的纵坐标与A相同，横坐标为$1.5+3.5=5$，即$B(5,1)$；
点C的横坐标与B相同，纵坐标为$1+2=3$，即$C(5,3)$；
点D的横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即$D(1.5,3)$。
分别计算四个点的特征值：
点A的特征值：$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$；
点B的特征值：$\frac{1}{5}$；
点C的特征值：$\frac{3}{5}$；
点D的特征值：$\frac{3}{1.5}=2$。
比较大小可得：$\frac{1}{5}＜\frac{3}{5}＜\frac{2}{3}＜2$，因此特征值最小的是点B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，矩形坐标特征，分式大小比较
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中矩形的坐标特点，赋值法是解决这类选择题的便捷方法，可快速简化计算得到结果，也可通过分析横、纵坐标对特征值的影响直接判断，侧重考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的新定义：点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即$λ=\frac{y}{x}$。观察矩形ABCD的特点：四条边分别与坐标轴平行，因此同一条水平边上的点纵坐标相等，同一条竖直边上的点横坐标相等。要找特征值最小的点，可选用适合选择题的赋值法，给各点赋予符合题意的具体坐标，分别计算特征值后比较大小即可，也可根据“纵坐标越小、横坐标越大，$\frac{y}{x}$的值越小”的规律直接分析。
【解析】
根据题意，点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即特征值$λ=\frac{y}{x}$。
采用赋值法简化计算，设点$A$的坐标为$(1.5,1)$，$AB=3.5$，$AD=2$，
∵矩形ABCD的边与坐标轴平行，
∴点B的纵坐标与A相同，横坐标为$1.5+3.5=5$，即$B(5,1)$；
点C的横坐标与B相同，纵坐标为$1+2=3$，即$C(5,3)$；
点D的横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即$D(1.5,3)$。
分别计算四个点的特征值：
点A的特征值：$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$；
点B的特征值：$\frac{1}{5}$；
点C的特征值：$\frac{3}{5}$；
点D的特征值：$\frac{3}{1.5}=2$。
比较大小可得：$\frac{1}{5}＜\frac{3}{5}＜\frac{2}{3}＜2$，因此特征值最小的是点B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，矩形坐标特征，分式大小比较
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中矩形的坐标特点，赋值法是解决这类选择题的便捷方法，可快速简化计算得到结果，也可通过分析横、纵坐标对特征值的影响直接判断，侧重考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
