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6 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$P(m-1,2n)$，则$m$与$n$之间的数量关系为
$m+2n=1$
。答案
6. $m+2n=1$ 【解析】由作图, 可知点 $P$ 在第四象限的角平分线上, $\therefore$ 点 $P$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的距离相等, 即$|m-1|=|2n|$. 又$\because$ 点 $P(m-1,2n)$ 在第四象限,$\therefore m-1=-2n$, 即 $m+2n=1$.
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的痕迹，判断点P的位置：作图痕迹表明点P在第四象限的角平分线上；接下来回忆第四象限角平分线的坐标特征：第四象限内角平分线上的点横坐标为正、纵坐标为负，且横、纵坐标的绝对值相等，即横坐标等于纵坐标的相反数；最后将点P的坐标代入该特征，整理等式即可得到m与n的数量关系。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，点P在第四象限的角平分线上，因此点P到x轴、y轴的距离相等，即$|m-1|=|2n|$。
∵点$P(m-1,2n)$在第四象限，
∴横坐标$m-1＞0$，纵坐标$2n＜0$，
∴去绝对值得：$m-1=-2n$，
移项整理可得：$m+2n=1$。
【答案】
$m+2n=1$
【知识点】
象限内点的坐标特征，象限角平分线的坐标规律
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识点结合，解题的关键是通过作图痕迹判断点P的位置，再结合第四象限点的坐标符号特点列式化简，属于基础类题型，侧重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的痕迹，判断点P的位置：作图痕迹表明点P在第四象限的角平分线上；接下来回忆第四象限角平分线的坐标特征：第四象限内角平分线上的点横坐标为正、纵坐标为负，且横、纵坐标的绝对值相等，即横坐标等于纵坐标的相反数；最后将点P的坐标代入该特征，整理等式即可得到m与n的数量关系。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，点P在第四象限的角平分线上，因此点P到x轴、y轴的距离相等，即$|m-1|=|2n|$。
∵点$P(m-1,2n)$在第四象限，
∴横坐标$m-1＞0$，纵坐标$2n＜0$，
∴去绝对值得：$m-1=-2n$，
移项整理可得：$m+2n=1$。
【答案】
$m+2n=1$
【知识点】
象限内点的坐标特征，象限角平分线的坐标规律
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识点结合，解题的关键是通过作图痕迹判断点P的位置，再结合第四象限点的坐标符号特点列式化简，属于基础类题型，侧重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
7 [2024河南]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为
$(3,10)$
.答案
7. $(3,10)$ 【解析】如图, 设 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $G$, 正方形的边长为 $m$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, 边 $AB$ 在$x$ 轴上, $\therefore AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$ 轴, $CD⊥ y$ 轴. 由折叠, 得 $FB=CB=m,FE=CE$. $\because A(-2,0)$,$F(0,6)$,$\therefore OA=GD=2,OF=6$,$\therefore OB=m-2$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ FOB$ 中, $OB^2+OF^2=BF^2$,$\therefore (m-2)^2+6^2=m^2$,解得 $m=10$,$\therefore AD=OG=CD=10$,$\therefore FG=10-6=4$,$FE=CE=10-2-GE=8-GE$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ FGE$ 中,$GE^2+FG^2=FE^2$,$\therefore GE^2+4^2=(8-GE)^2$, 解得 $GE=3$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(3,10)$.
解析
【分析】
这是平面直角坐标系结合正方形折叠的几何计算题，解题思路如下：首先，折叠的核心性质是对应边相等，因此折叠后FB=CB，而CB是正方形的边长，我们可以先设正方形边长为m，结合已知点A、F的坐标，将Rt△FOB的三边用含m的代数式表示，利用勾股定理列方程求出正方形的边长；其次，得到边长后，再设GE的长度为未知数，结合折叠性质FE=CE，将Rt△FGE的三边用含该未知数的代数式表示，再次用勾股定理列方程求出GE的长度，最终根据坐标的定义得到点E的坐标。
【解析】
如图，设$CD$交$y$轴于点$G$，正方形的边长为$m$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，边$AB$在$x$轴上，
$\therefore AD=AB=CD=CB=m$，$AD⊥ x$ 轴， $CD⊥ y$ 轴。
由折叠的性质可得：$FB=CB=m$，$FE=CE$。
$\because A(-2,0)$，$F(0,6)$，$\therefore OA=GD=2$，$OF=6$，$OB=AB-OA=m-2$。
在$\mathrm{Rt}△ FOB$ 中，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
代入得：$(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开化简得：$m^2-4m+40=m^2$，解得 $m=10$。
$\therefore OG=CD=10$，则$FG=OG-OF=10-6=4$，$CE=CD-GD-GE=10-2-GE=8-GE$，
又$FE=CE$，$\therefore FE=8-GE$。
在 $\mathrm{Rt}△ FGE$ 中，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
代入得：$GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开化简得：$16GE=48$，解得 $GE=3$。
$\because$ 点E在CD上，纵坐标等于正方形边长10，横坐标等于GE的长度3，即点E坐标为$(3,10)$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是坐标与几何结合的常考题型，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合正方形边长相等的特点，两次运用勾股定理列方程求解未知量，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
这是平面直角坐标系结合正方形折叠的几何计算题，解题思路如下：首先，折叠的核心性质是对应边相等，因此折叠后FB=CB，而CB是正方形的边长，我们可以先设正方形边长为m，结合已知点A、F的坐标，将Rt△FOB的三边用含m的代数式表示，利用勾股定理列方程求出正方形的边长；其次，得到边长后，再设GE的长度为未知数，结合折叠性质FE=CE，将Rt△FGE的三边用含该未知数的代数式表示，再次用勾股定理列方程求出GE的长度，最终根据坐标的定义得到点E的坐标。
【解析】
如图，设$CD$交$y$轴于点$G$，正方形的边长为$m$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，边$AB$在$x$轴上，
$\therefore AD=AB=CD=CB=m$，$AD⊥ x$ 轴， $CD⊥ y$ 轴。
由折叠的性质可得：$FB=CB=m$，$FE=CE$。
$\because A(-2,0)$，$F(0,6)$，$\therefore OA=GD=2$，$OF=6$，$OB=AB-OA=m-2$。
在$\mathrm{Rt}△ FOB$ 中，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
代入得：$(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开化简得：$m^2-4m+40=m^2$，解得 $m=10$。
$\therefore OG=CD=10$，则$FG=OG-OF=10-6=4$，$CE=CD-GD-GE=10-2-GE=8-GE$，
又$FE=CE$，$\therefore FE=8-GE$。
在 $\mathrm{Rt}△ FGE$ 中，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
代入得：$GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开化简得：$16GE=48$，解得 $GE=3$。
$\because$ 点E在CD上，纵坐标等于正方形边长10，横坐标等于GE的长度3，即点E坐标为$(3,10)$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是坐标与几何结合的常考题型，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合正方形边长相等的特点，两次运用勾股定理列方程求解未知量，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
8 新考向 新定义题 对于平面直角坐标系中的点$P(a,b)$，称$P'(a+kb,ka+b)$（其中$k$为常数，且$k≠0$）为点$P$的“$k$属派生点”。例如，点$P(1,4)$的“2属派生点”为$P'(1+2×4,2×1+4)$，即$P'(9,6)$。
(1) 点$P(-2,3)$的“3属派生点”$P'$的坐标为
(2) 若点$P$的“5属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3) 若点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的2倍，求$k$的值。
(1) 点$P(-2,3)$的“3属派生点”$P'$的坐标为
$(7,-3)$
；(2) 若点$P$的“5属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3) 若点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的2倍，求$k$的值。
答案
8. (1) $(7,-3)$
(2) 设 $P(x,y)$. 根据题意, 得$\begin{cases} x+5y=3,\\ 5x+y=-9, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-2,\\ y=1, \end{cases}$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-2,1)$
(3) $\because$ 点 $P(a,b)$ 在 $x$ 轴的正半轴上, $\therefore b=0,a＞0$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(a,0)$, 此时点 $P'$ 的坐标为 $(a,ka)$,$\therefore PP'=|ka|,OP=a$. 根据题意, 得 $|PP'|=2|OP|$, 即$|ka|=2a$. $\because a＞0$,$\therefore |k|=2$,$\therefore k$ 的值为 $\pm 2$
(2) 设 $P(x,y)$. 根据题意, 得$\begin{cases} x+5y=3,\\ 5x+y=-9, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-2,\\ y=1, \end{cases}$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-2,1)$
(3) $\because$ 点 $P(a,b)$ 在 $x$ 轴的正半轴上, $\therefore b=0,a＞0$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(a,0)$, 此时点 $P'$ 的坐标为 $(a,ka)$,$\therefore PP'=|ka|,OP=a$. 根据题意, 得 $|PP'|=2|OP|$, 即$|ka|=2a$. $\because a＞0$,$\therefore |k|=2$,$\therefore k$ 的值为 $\pm 2$
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“k属派生点”的坐标变换规则：若原点点P坐标为$(a,b)$，则其“k属派生点”横坐标为$a+kb$，纵坐标为$ka+b$。
(1) 第一问直接套用变换公式，将$a=-2,b=3,k=3$分别代入横、纵坐标公式计算即可。
(2) 第二问已知派生点坐标反求原点点坐标，可设原点点P坐标为$(x,y)$，结合$k=5$和派生点坐标列二元一次方程组，解方程组即可得到原点点坐标。
(3) 第三问先利用x轴正半轴上点的特征（纵坐标为0，横坐标大于0）确定$b=0,a＞0$，再写出点P和派生点$P'$的坐标，分别计算$PP'$和$OP$的长度，根据线段长度的倍数关系列等式，结合$a＞0$化简即可求出k的值，注意绝对值方程要考虑正负两种情况。
【解析】
(1) 已知点$P(-2,3)$，$k=3$，根据“k属派生点”定义：
横坐标：$a+kb=-2+3×3=7$
纵坐标：$ka+b=3×(-2)+3=-3$
∴$P'$的坐标为$(7,-3)$。
(2) 设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$k=5$，派生点$P'$坐标为$(3,-9)$，列方程组：
$\begin{cases} x+5y=3\\ 5x+y=-9 \end{cases}$
将第一个方程乘5得$5x+25y=15$，减去第二个方程得$24y=24$，解得$y=1$，将$y=1$代入$x+5y=3$得$x=-2$。
∴点P的坐标为$(-2,1)$。
(3)
∵点$P(a,b)$在x轴的正半轴上，
∴$b=0,a＞0$，点P坐标为$(a,0)$，
代入派生点公式得$P'$的坐标为$(a,ka)$，
∴$PP'=|ka-0|=|ka|$，$OP=a$，
根据题意$|PP'|=2|OP|$，即$|ka|=2a$，
∵$a＞0$，等式两边同除以a得$|k|=2$，
∴$k=±2$。
【答案】
(1) $\boxed{(7,-3)}$
(2) 点P的坐标为$\boxed{(-2,1)}$
(3) k的值为$\boxed{\pm 2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的应用，平面直角坐标系中点的特征
【点评】
本题重点考察对新定义的理解和运用能力，结合了坐标系点的性质、方程求解等基础知识点，整体难度适中，求解第三问时注意绝对值方程的解有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“k属派生点”的坐标变换规则：若原点点P坐标为$(a,b)$，则其“k属派生点”横坐标为$a+kb$，纵坐标为$ka+b$。
(1) 第一问直接套用变换公式，将$a=-2,b=3,k=3$分别代入横、纵坐标公式计算即可。
(2) 第二问已知派生点坐标反求原点点坐标，可设原点点P坐标为$(x,y)$，结合$k=5$和派生点坐标列二元一次方程组，解方程组即可得到原点点坐标。
(3) 第三问先利用x轴正半轴上点的特征（纵坐标为0，横坐标大于0）确定$b=0,a＞0$，再写出点P和派生点$P'$的坐标，分别计算$PP'$和$OP$的长度，根据线段长度的倍数关系列等式，结合$a＞0$化简即可求出k的值，注意绝对值方程要考虑正负两种情况。
【解析】
(1) 已知点$P(-2,3)$，$k=3$，根据“k属派生点”定义：
横坐标：$a+kb=-2+3×3=7$
纵坐标：$ka+b=3×(-2)+3=-3$
∴$P'$的坐标为$(7,-3)$。
(2) 设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$k=5$，派生点$P'$坐标为$(3,-9)$，列方程组：
$\begin{cases} x+5y=3\\ 5x+y=-9 \end{cases}$
将第一个方程乘5得$5x+25y=15$，减去第二个方程得$24y=24$，解得$y=1$，将$y=1$代入$x+5y=3$得$x=-2$。
∴点P的坐标为$(-2,1)$。
(3)
∵点$P(a,b)$在x轴的正半轴上，
∴$b=0,a＞0$，点P坐标为$(a,0)$，
代入派生点公式得$P'$的坐标为$(a,ka)$，
∴$PP'=|ka-0|=|ka|$，$OP=a$，
根据题意$|PP'|=2|OP|$，即$|ka|=2a$，
∵$a＞0$，等式两边同除以a得$|k|=2$，
∴$k=±2$。
【答案】
(1) $\boxed{(7,-3)}$
(2) 点P的坐标为$\boxed{(-2,1)}$
(3) k的值为$\boxed{\pm 2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的应用，平面直角坐标系中点的特征
【点评】
本题重点考察对新定义的理解和运用能力，结合了坐标系点的性质、方程求解等基础知识点，整体难度适中，求解第三问时注意绝对值方程的解有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点.若以O,A,P为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有
$8$
个,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.答案
9. 8 满足条件的点 $P$ 的坐标为 $(5,0),(8,0),(0,5)$,$(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\dfrac{25}{6}),(\dfrac{25}{8},0)$
解析
【分析】
解决本题首先利用勾股定理求出OA的长度，再围绕等腰三角形的顶点分类讨论：①以O为顶角顶点，OA=OP；②以A为顶角顶点，OA=AP；③以P为顶角顶点，OP=AP。每类情况分别查找与x轴、y轴的交点，注意不要漏解、不要重复计算。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知点$A(4,3)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. 分三类讨论满足条件的点P：
情况1：$OA=OP$，O为顶角顶点：
以O为圆心、长度5为半径画圆，与坐标轴交点为：
x轴上：$OP=5$，得$P_1(5,0)$、$P_2(-5,0)$；
y轴上：$OP=5$，得$P_3(0,5)$、$P_4(0,-5)$，共4个点。
情况2：$OA=AP$，A为顶角顶点：
以A为圆心、长度5为半径画圆，与坐标轴交点为：
x轴上：过A作x轴垂线，垂足为$(4,0)$，P与原点关于直线$x=4$对称，得$x=8$，即$P_5(8,0)$；
y轴上：过A作y轴垂线，垂足为$(0,3)$，P与原点关于直线$y=3$对称，得$y=6$，即$P_6(0,6)$，共2个点。
情况3：$OP=AP$，OA为底边：
若P在x轴上，设$P(x,0)$，由$OP=AP$得$|x|=\sqrt{(x-4)^2+(0-3)^2}$，平方化简得$8x=25$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P_7(\frac{25}{8},0)$；
若P在y轴上，设$P(0,y)$，由$OP=AP$得$|y|=\sqrt{(0-4)^2+(y-3)^2}$，平方化简得$6y=25$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P_8(0,\frac{25}{6})$，共2个点。
综上，满足条件的点P共有$4+2+2=8$个。
【答案】
8；$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\dfrac{25}{6}),(\dfrac{25}{8},0)$
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中等腰三角形存在性的典型题，重点考查分类讨论思想，解题时要按顶角顶点的不同分类，同时兼顾点在x轴、y轴两种位置，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用勾股定理求出OA的长度，再围绕等腰三角形的顶点分类讨论：①以O为顶角顶点，OA=OP；②以A为顶角顶点，OA=AP；③以P为顶角顶点，OP=AP。每类情况分别查找与x轴、y轴的交点，注意不要漏解、不要重复计算。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知点$A(4,3)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. 分三类讨论满足条件的点P：
情况1：$OA=OP$，O为顶角顶点：
以O为圆心、长度5为半径画圆，与坐标轴交点为：
x轴上：$OP=5$，得$P_1(5,0)$、$P_2(-5,0)$；
y轴上：$OP=5$，得$P_3(0,5)$、$P_4(0,-5)$，共4个点。
情况2：$OA=AP$，A为顶角顶点：
以A为圆心、长度5为半径画圆，与坐标轴交点为：
x轴上：过A作x轴垂线，垂足为$(4,0)$，P与原点关于直线$x=4$对称，得$x=8$，即$P_5(8,0)$；
y轴上：过A作y轴垂线，垂足为$(0,3)$，P与原点关于直线$y=3$对称，得$y=6$，即$P_6(0,6)$，共2个点。
情况3：$OP=AP$，OA为底边：
若P在x轴上，设$P(x,0)$，由$OP=AP$得$|x|=\sqrt{(x-4)^2+(0-3)^2}$，平方化简得$8x=25$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P_7(\frac{25}{8},0)$；
若P在y轴上，设$P(0,y)$，由$OP=AP$得$|y|=\sqrt{(0-4)^2+(y-3)^2}$，平方化简得$6y=25$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P_8(0,\frac{25}{6})$，共2个点。
综上，满足条件的点P共有$4+2+2=8$个。
【答案】
8；$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\dfrac{25}{6}),(\dfrac{25}{8},0)$
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中等腰三角形存在性的典型题，重点考查分类讨论思想，解题时要按顶角顶点的不同分类，同时兼顾点在x轴、y轴两种位置，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
