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1 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的根的判别式的值是 （
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定的方程中找出对应的$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意系数要带符号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
将系数代入判别式公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的易错点在于提取一次项系数时容易漏掉负号，计算时需注意符号运算的准确性，掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定的方程中找出对应的$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意系数要带符号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -5x +2=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
将系数代入判别式公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的易错点在于提取一次项系数时容易漏掉负号，计算时需注意符号运算的准确性，掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2 [2025 泗阳期末]下列一元二次方程中，没有实数根的是 （
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x(x - 1) = 0$
C.$x^2 + 12x = 0$
D.$x^2 + x = 1$
A
）A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x(x - 1) = 0$
C.$x^2 + 12x = 0$
D.$x^2 + x = 1$
答案
2. A
解析
【分析】
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。解题时先将各选项的方程整理为一元二次方程的标准形式，再分别计算判别式的值，和0比较大小即可找到没有实数根的方程。
【解析】
逐一计算各选项方程的判别式：
A. 方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1-4=-3＜0$，方程没有实数根；
B. 原方程整理为$x^2 - x = 0$，$a=1,b=-1,c=0$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×0 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根；
C. 方程$x^2 + 12x = 0$中，$a=1,b=12,c=0$，$\Delta = 12^2 - 4×1×0 = 144＞0$，方程有两个不相等的实数根；
D. 原方程整理为$x^2 + x -1 = 0$，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的化简
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记判别式与方程实数根个数的对应关系，计算前要先将方程整理为标准形式，注意系数的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。解题时先将各选项的方程整理为一元二次方程的标准形式，再分别计算判别式的值，和0比较大小即可找到没有实数根的方程。
【解析】
逐一计算各选项方程的判别式：
A. 方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1-4=-3＜0$，方程没有实数根；
B. 原方程整理为$x^2 - x = 0$，$a=1,b=-1,c=0$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×0 = 1＞0$，方程有两个不相等的实数根；
C. 方程$x^2 + 12x = 0$中，$a=1,b=12,c=0$，$\Delta = 12^2 - 4×1×0 = 144＞0$，方程有两个不相等的实数根；
D. 原方程整理为$x^2 + x -1 = 0$，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的化简
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记判别式与方程实数根个数的对应关系，计算前要先将方程整理为标准形式，注意系数的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3 [2025 扬州]关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
3. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断，解题步骤为：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中$a、b、c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可知$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记判别式的取值与方程根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断，解题步骤为：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中$a、b、c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可知$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记判别式的取值与方程根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4 [2024 绵阳]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k-1)x + k^2 + 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-\dfrac{1}{2}$
B.$k＜-\dfrac{1}{2}$
C.$k≥-\dfrac{1}{2}$
D.$k≤-\dfrac{1}{2}$
D
）A.$k＞-\dfrac{1}{2}$
B.$k＜-\dfrac{1}{2}$
C.$k≥-\dfrac{1}{2}$
D.$k≤-\dfrac{1}{2}$
答案
4. D
解析
【分析】
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需结合一元二次方程根的情况与判别式的关系求解：第一步先确定方程各项系数a、b、c；第二步根据“方程有实数根”的条件，可知判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式；第三步解不等式即可得到k的取值范围，注意解不等式时若两边同乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2(k-1)x + k^2 + 2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(k-1)$，常数项$c=k^2+2$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入系数得：
$\begin{aligned}[-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2+2) &≥ 0\\4(k^2 - 2k +1) -4k^2 -8 &≥ 0\\4k^2 -8k +4 -4k^2 -8 &≥ 0\\-8k -4 &≥ 0\\-8k &≥ 4\\k &≤ -\frac{1}{2}\end{aligned}$
因此k的取值范围是$k≤ -\frac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点为解不等式时两边同时除以负数，容易忘记改变不等号的方向，解题时需格外注意。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需结合一元二次方程根的情况与判别式的关系求解：第一步先确定方程各项系数a、b、c；第二步根据“方程有实数根”的条件，可知判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式；第三步解不等式即可得到k的取值范围，注意解不等式时若两边同乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2(k-1)x + k^2 + 2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(k-1)$，常数项$c=k^2+2$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入系数得：
$\begin{aligned}[-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2+2) &≥ 0\\4(k^2 - 2k +1) -4k^2 -8 &≥ 0\\4k^2 -8k +4 -4k^2 -8 &≥ 0\\-8k -4 &≥ 0\\-8k &≥ 4\\k &≤ -\frac{1}{2}\end{aligned}$
因此k的取值范围是$k≤ -\frac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点为解不等式时两边同时除以负数，容易忘记改变不等号的方向，解题时需格外注意。
【难度系数】
0.7
5 [2025 泗阳期中]若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$有两个相等的实数根，则m的值是
9
。答案
5. 9
解析
【分析】
当题目给出一元二次方程根的情况求参数值时，首先想到利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系解题。首先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。接下来确定本题方程的各项系数，代入$\Delta=0$列出关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
已知方程$x^2 -6x +m=0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$。
该方程中$a=1$，$b=-6$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×1× m = 0$
计算得：$36 - 4m = 0$
移项得：$4m = 36$
解得：$m=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的三种对应关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.85
当题目给出一元二次方程根的情况求参数值时，首先想到利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系解题。首先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。接下来确定本题方程的各项系数，代入$\Delta=0$列出关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
已知方程$x^2 -6x +m=0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$。
该方程中$a=1$，$b=-6$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×1× m = 0$
计算得：$36 - 4m = 0$
移项得：$4m = 36$
解得：$m=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的三种对应关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.85
[2025上海]如果一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么$m$的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{8}$
答案
6. $m＞\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程没有实数根，首先要联想到一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：没有实数根时判别式Δ＜0。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式得到关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1-8m＜0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得$m＞\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，求解不等式时注意不等号方向的变化规则即可得分。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程没有实数根，首先要联想到一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：没有实数根时判别式Δ＜0。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式得到关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1-8m＜0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得$m＞\frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，求解不等式时注意不等号方向的变化规则即可得分。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$.
（1）当$a$满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
（2）当$a$满足什么条件时，方程有两个实数根？
（3）当$a$满足什么条件时，方程没有实数根？
（1）当$a$满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
（2）当$a$满足什么条件时，方程有两个实数根？
（3）当$a$满足什么条件时，方程没有实数根？
答案
7. （1）
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²=0，即4a+1=0，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²≥0，即4a+1≥0，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）
∵ 方程没有实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²＜0，即4a+1＜0，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²=0，即4a+1=0，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²≥0，即4a+1≥0，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）
∵ 方程没有实数根，
∴ Δ=[-(2a+1)]²-4a²＜0，即4a+1＜0，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，化简得到$\Delta$关于$a$的表达式；第二步，明确一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：有两个相等的实数根对应$\Delta=0$，有两个实数根对应$\Delta≥0$，没有实数根对应$\Delta＜0$；第三步，分别根据三个小问的条件列等式或不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-(2a+1)$，常数项为$a^2$，先计算判别式：
$\Delta = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2 = 4a^2+4a+1-4a^2=4a+1$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=0$，即$4a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）$\because$ 方程有两个实数根，
$\therefore \Delta≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）$\because$ 方程没有实数根，
$\therefore \Delta＜0$，即$4a+1＜0$，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$a=-\dfrac{1}{4}$；
（2）$a≥-\dfrac{1}{4}$；
（3）$a＜-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意计算判别式时符号的准确性，区分不同根的情况对应的判别式符号条件。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，化简得到$\Delta$关于$a$的表达式；第二步，明确一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：有两个相等的实数根对应$\Delta=0$，有两个实数根对应$\Delta≥0$，没有实数根对应$\Delta＜0$；第三步，分别根据三个小问的条件列等式或不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-(2a+1)$，常数项为$a^2$，先计算判别式：
$\Delta = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2 = 4a^2+4a+1-4a^2=4a+1$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=0$，即$4a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）$\because$ 方程有两个实数根，
$\therefore \Delta≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）$\because$ 方程没有实数根，
$\therefore \Delta＜0$，即$4a+1＜0$，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$a=-\dfrac{1}{4}$；
（2）$a≥-\dfrac{1}{4}$；
（3）$a＜-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意计算判别式时符号的准确性，区分不同根的情况对应的判别式符号条件。
【难度系数】
0.8
8 [2025广州]关于x的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
8. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，再代入公式计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
根据根的判别式公式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) \\&= 1 - 4k^2 - 8 \\&= -4k^2 -7\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$，可得$-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，
因此该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式的常规考查，解题核心是正确计算判别式，并结合平方的非负性判断判别式的正负，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，再代入公式计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
根据根的判别式公式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) \\&= 1 - 4k^2 - 8 \\&= -4k^2 -7\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$，可得$-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，
因此该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式的常规考查，解题核心是正确计算判别式，并结合平方的非负性判断判别式的正负，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9（易错题）[2025雅安]若关于x的一元二次方程$(m-3)x^2 +6x +3=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m＜6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≤6$
D.$m＜6$且$m≠3$
B
）A.$m＜6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≤6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
9. B
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选C选项；另外解答本题时还容易忽视“有两个相等的实数根”也满足题意而错选D选项。
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选C选项；另外解答本题时还容易忽视“有两个相等的实数根”也满足题意而错选D选项。
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合题干两个关键条件推导：首先，题干明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0；其次，方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0（两个相等的实数根也属于两个实数根的范畴）。分别根据两个条件列不等式，求解后取公共范围即可得到答案。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
2. 方程有两个实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a = m-3$，$b = 6$，$c = 3$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × (m-3) × 3 ≥ 0$
计算得：$36 - 12(m-3) ≥ 0$
展开括号：$36 - 12m + 36 ≥ 0$
合并同类项：$72 - 12m ≥ 0$
移项化简：$12m ≤ 72$，解得$m ≤ 6$。
3. 结合两个条件的结果，可得m的取值范围是$m ≤ 6$且$m ≠ 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，解题时常出现两个错误：一是忽略一元二次方程要求二次项系数不为0的条件，错选C；二是误将“两个实数根”理解为“两个不相等的实数根”，错误使用$\Delta＞0$计算，错选D。解题时需仔细审题，抓住题干限定条件分步推导。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，需结合题干两个关键条件推导：首先，题干明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0；其次，方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0（两个相等的实数根也属于两个实数根的范畴）。分别根据两个条件列不等式，求解后取公共范围即可得到答案。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
2. 方程有两个实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a = m-3$，$b = 6$，$c = 3$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × (m-3) × 3 ≥ 0$
计算得：$36 - 12(m-3) ≥ 0$
展开括号：$36 - 12m + 36 ≥ 0$
合并同类项：$72 - 12m ≥ 0$
移项化简：$12m ≤ 72$，解得$m ≤ 6$。
3. 结合两个条件的结果，可得m的取值范围是$m ≤ 6$且$m ≠ 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，解题时常出现两个错误：一是忽略一元二次方程要求二次项系数不为0的条件，错选C；二是误将“两个实数根”理解为“两个不相等的实数根”，错误使用$\Delta＞0$计算，错选D。解题时需仔细审题，抓住题干限定条件分步推导。
【难度系数】
0.6
