10 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c)$的值为.

10. -2

【分析】
首先，已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，可得判别式Δ=0，由此可推导出b²与c的等量关系；再将得到的等量关系整体代入所求的代数式，化简后即可求出结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数$a=1$，
即 $b^2 - 4×1× c = 0$，
整理得 $b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
$\begin{aligned}原式&= 4c - 2(1 + 2c) \\&= 4c - 2 - 4c \\&= -2\end{aligned}$
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是根据“方程有两个相等的实数根”得到判别式为0，进而得到b²与c的关系，再通过整体代入的方法计算即可，解题时注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.8

11 [2024 南充]已知$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.

11. （1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0，解得k＞1，
∴ k的取值范围是k＞1
（2）
∵ k＜5，k＞1，
∴ 1＜k＜5，
∴ 整数k的值为2，3，4.当k=2时，方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；当k=3或k=4时，方程的解不为整数，舍去.综上所述，k的值为2

【分析】
第（1）问思路：题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程存在两个不等实根，因此先计算该方程的判别式，再列不等式求解即可得到k的取值范围。
第（2）问思路：结合第（1）问得到的k＞1和题目给出的k＜5，先确定k的整数取值范围，得到所有可能的整数k值，再依次将这些k值代入原方程求解，判断根是否为整数，符合条件的k即为所求。
【解析】
（1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0，
解得k＞1，
∴ k的取值范围是k＞1。
（2）结合（1）的结论k＞1，又已知k＜5，
∴ 1＜k＜5，
∵ k是整数，
∴ 整数k的可能取值为2，3，4。
当k=2时，方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，均为整数，符合题意；
当k=3时，方程为$x^2-6x+7=0$，根为$3±\sqrt{2}$，不是整数，舍去；
当k=4时，方程为$x^2-8x+13=0$，根为$4±\sqrt{3}$，不是整数，舍去。
综上所述，k的值为2。
【答案】
（1）$k＞1$；（2）$k=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，不等式的整数解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式的应用和整数根的验证方法，解题时需先通过判别式确定参数的取值范围，再结合限制条件逐步筛选符合要求的参数值。
【难度系数】
0.7

12 [2025宿迁段考]已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m -1 =0$.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围.

12. （1）
∵ a=1,b=2m,c=2m-1,
∴ Δ=b²-4ac=(2m)²-4(2m-1)=4m²-8m+4=(2m-2)²≥0,
∴ 方程总有两个实数根
（2）
∵ $x^2 + 2mx + 2m -1 = 0$,即$(x+1)(x+2m-1)=0$,
∴ $x_1=-1,x_2=-2m+1$.
∵ 方程有一个根不小于5,
∴ $-2m+1≥5$,
∴ $m≤-2$

【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心依据是一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程总有两个实数根。解题时先确定方程各项的系数a、b、c，代入判别式公式化简，判断化简结果的非负性即可完成证明。
（2）要求m的取值范围，先求出方程的两个根，观察发现其中一个根为-1，明显小于5，因此只需让另一个根满足“不小于5”的条件，列出关于m的一元一次不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m -1 =0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=2m-1$，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(2m-1) = 4m^2 - 8m + 4 = (2m-2)^2$，
∵ 平方数具有非负性，即$(2m-2)^2 ≥ 0$，
∴ 方程总有两个实数根。
（2）解：对原方程因式分解可得：
$x^2 + 2mx + 2m -1 = (x+1)(x+2m-1) = 0$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = -2m + 1$，
∵ $-1 ＜ 5$，且方程有一个根不小于5，
∴ 仅$x_2 = -2m + 1$满足条件，即$-2m + 1 ≥ 5$，
移项合并同类项得$-2m ≥ 4$，
系数化为1得$m ≤ -2$。
【答案】
（1）方程总有两个实数根得证；
（2）$m ≤ -2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，第一问是根的判别式的常规应用，考察对判别式判定根的个数这一知识点的掌握；第二问需要先求出方程的根，结合题意筛选符合条件的根列不等式求解，侧重考察基础运算能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7

13 数形结合思想 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$.
（1）试判断该方程的根的情况.
（2）已知$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是关于该方程的两个实数根，$BC$的长为5.
① 当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
② 当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？请求出此时$△ ABC$的周长.

13. （1）由题意，得Δ=[-(2k+3)]²-4(k²+3k+2)=1＞0,
∴ 该方程有两个不相等的实数根
（2）
∵ $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0$,
∴ $x_1=k+1,x_2=k+2$.不妨设$AB=k+1,AC=k+2$.
① 由题意，得$AB^2 + AC^2 = BC^2$,即$(k+1)^2+(k+2)^2=25$,解得$k_1=2,k_2=-5$(舍去).
∴ 当k=2时，$△ ABC$是以BC为斜边的直角三角形
②
∵ $AB=k+1,AC=k+2$,
∴ $AB≠AC$,
∴ 分两种情况讨论.（Ⅰ）当$AC=BC=5$时，$k+2=5$,
∴ $k=3$,
∴ $AB=3+1=4$.
∵ 4,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$4+5+5=14$.（Ⅱ）当$AB=BC=5$时，$k+1=5$,
∴ $k=4$,
∴ $AC=4+2=6$.
∵ 6,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$6+5+5=16$.综上所述，当k=3或k=4时，$△ ABC$是等腰三角形，且当k=3时，$△ ABC$的周长为14；当k=4时，$△ ABC$的周长为16

【分析】
（1）判断一元二次方程的根的情况，只需计算根的判别式$\Delta$的取值，根据$\Delta$与0的大小关系即可得出结论。
（2）先通过因式分解求出方程的两个实根，得到$AB$、$AC$的长度表达式。①要得到以$BC$为斜边的直角三角形，根据勾股定理列方程求解$k$，再结合边长为正的要求舍去不符合题意的解；②等腰三角形需分腰长为$AB$或腰长为$AC$两种情况讨论，分别令边长等于$BC$的长度求出$k$，再验证三边是否满足三角形三边关系，最后计算对应周长即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，
判别式$\Delta = [-(2k+3)]^2 - 4×1×(k^2+3k+2)$
$=4k^2+12k+9 - 4k^2-12k-8 = 1＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）将方程因式分解得：
$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0$，
解得$x_1=k+1$，$x_2=k+2$，不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$。
①
∵$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，$BC=5$，
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$，即$(k+1)^2+(k+2)^2=25$，
整理得$k^2+3k-10=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$，
当$k=-5$时，$AB=-4＜0$，不符合边长为正的要求，舍去，
∴当$k=2$时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形。
②
∵$AB=k+1$，$AC=k+2$，
∴$AB≠AC$，分两种情况讨论：
（Ⅰ）当$AC=BC=5$时，$k+2=5$，解得$k=3$，此时$AB=4$，三边为4、5、5，满足三角形三边关系，周长为$4+5+5=14$；
（Ⅱ）当$AB=BC=5$时，$k+1=5$，解得$k=4$，此时$AC=6$，三边为5、5、6，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
综上，当$k=3$或$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，对应周长分别为14、16。
【答案】
（1）该方程有两个不相等的实数根；
（2）①$k=2$；②当$k=3$时$△ ABC$周长为14，当$k=4$时$△ ABC$周长为16。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 等腰三角形性质与三边关系
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，考查了分类讨论思想，解题时要注意求出的参数需要验证是否符合边长为正、三角形三边关系等实际要求，讨论等腰三角形时要避免漏解。
【难度系数】
0.6