10 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c)$的值为.

10. -2

11 [2024 南充]已知$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.

11. （1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0，解得k＞1，
∴ k的取值范围是k＞1
（2）
∵ k＜5，k＞1，
∴ 1＜k＜5，
∴ 整数k的值为2，3，4.当k=2时，方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；当k=3或k=4时，方程的解不为整数，舍去.综上所述，k的值为2

12 [2025宿迁段考]已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m -1 =0$.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围.

12. （1）
∵ a=1,b=2m,c=2m-1,
∴ Δ=b²-4ac=(2m)²-4(2m-1)=4m²-8m+4=(2m-2)²≥0,
∴ 方程总有两个实数根
（2）
∵ $x^2 + 2mx + 2m -1 = 0$,即$(x+1)(x+2m-1)=0$,
∴ $x_1=-1,x_2=-2m+1$.
∵ 方程有一个根不小于5,
∴ $-2m+1≥5$,
∴ $m≤-2$

13 数形结合思想 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$.
（1）试判断该方程的根的情况.
（2）已知$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是关于该方程的两个实数根，$BC$的长为5.
① 当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
② 当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？请求出此时$△ ABC$的周长.

13. （1）由题意，得Δ=[-(2k+3)]²-4(k²+3k+2)=1＞0,
∴ 该方程有两个不相等的实数根
（2）
∵ $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0$,
∴ $x_1=k+1,x_2=k+2$.不妨设$AB=k+1,AC=k+2$.
① 由题意，得$AB^2 + AC^2 = BC^2$,即$(k+1)^2+(k+2)^2=25$,解得$k_1=2,k_2=-5$(舍去).
∴ 当k=2时，$△ ABC$是以BC为斜边的直角三角形
②
∵ $AB=k+1,AC=k+2$,
∴ $AB≠AC$,
∴ 分两种情况讨论.（Ⅰ）当$AC=BC=5$时，$k+2=5$,
∴ $k=3$,
∴ $AB=3+1=4$.
∵ 4,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$4+5+5=14$.（Ⅱ）当$AB=BC=5$时，$k+1=5$,
∴ $k=4$,
∴ $AC=4+2=6$.
∵ 6,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$6+5+5=16$.综上所述，当k=3或k=4时，$△ ABC$是等腰三角形，且当k=3时，$△ ABC$的周长为14；当k=4时，$△ ABC$的周长为16