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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=30°$，若$AC=12$，则$AB$边上的高是（
A.12
B.6
C.4
D.3
B
）A.12
B.6
C.4
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
拿到题目首先明确已知条件：Rt△ABC中∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=12，要求AB边上的高。首先我们可以过点C作AB的垂线，得到的垂线段就是所求的高，此时会形成一个新的Rt△AEC，其中∠A=30°，斜边AC长度已知，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，就可以直接求出高的长度，也可以先通过勾股定理求出BC和AB的长度，再用三角形面积法求解高。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE为AB边上的高。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠CAB=30°，斜边AC=12，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
所以AB边上的高为6，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角的性质，三角形高线的定义，勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用考题，解题方法灵活，既可以直接用特殊角的性质快速求解，也可以通过勾股定理结合面积法计算，能够很好地考查学生对直角三角形相关性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确已知条件：Rt△ABC中∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=12，要求AB边上的高。首先我们可以过点C作AB的垂线，得到的垂线段就是所求的高，此时会形成一个新的Rt△AEC，其中∠A=30°，斜边AC长度已知，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，就可以直接求出高的长度，也可以先通过勾股定理求出BC和AB的长度，再用三角形面积法求解高。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE为AB边上的高。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠CAB=30°，斜边AC=12，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
所以AB边上的高为6，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角的性质，三角形高线的定义，勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用考题，解题方法灵活，既可以直接用特殊角的性质快速求解，也可以通过勾股定理结合面积法计算，能够很好地考查学生对直角三角形相关性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$E$为$AC$的中点,连接$DE$,则$△ CDE$的周长为（
A.6.5
B.18
C.23
D.26
B
）A.6.5
B.18
C.23
D.26
答案
2.B
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，AD平分∠BAC，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出AD⊥BC且D为BC中点，先求出CD的长度；再观察E是AC中点，在Rt△ADC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=EC=½AC，最后将△CDE的三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=10
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，CD=BD=½BC=5
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，DE是斜边AC的中线
∴DE=EC=½AC
又
∵AC=13
∴DE=EC=½×13=6.5
∴△CDE的周长=CD + DE + EC = 5 + 6.5 + 6.5 = 18
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的特殊性质，将所求三角形的边长进行转化，无需逐一计算各边长度即可快速得出结果，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB=AC，AD平分∠BAC，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出AD⊥BC且D为BC中点，先求出CD的长度；再观察E是AC中点，在Rt△ADC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=EC=½AC，最后将△CDE的三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=10
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，CD=BD=½BC=5
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，DE是斜边AC的中线
∴DE=EC=½AC
又
∵AC=13
∴DE=EC=½×13=6.5
∴△CDE的周长=CD + DE + EC = 5 + 6.5 + 6.5 = 18
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的特殊性质，将所求三角形的边长进行转化，无需逐一计算各边长度即可快速得出结果，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,O为BC的中点,连接OD,OE,则∠DOE的度数是 (
A.40°
B.45°
C.60°
D.65°
C
)A.40°
B.45°
C.60°
D.65°
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，BD、CE分别是△ABC的两条高，可得Rt△BEC和Rt△BDC，O是BC中点，优先联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可推出OE=OB、OD=OC，得到两个等腰三角形；再结合已知∠A=60°，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再用等腰三角形等边对等角的性质表示出∠EOB和∠DOC的和，最后利用平角的定义即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，∠A=60°，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
2. 因为$BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，所以$△ BEC$和$△ BDC$都是直角三角形。
又因为O为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$OE = OB = \frac{1}{2}BC$，$OD = OC = \frac{1}{2}BC$
3. 由$OE=OB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$∠ OEB = ∠ OBE$，因此：
$∠ EOB = 180° - 2∠ OBE = 180° - 2∠ ABC$
同理，由$OD=OC$可得$∠ DOC = 180° - 2∠ ACB$
4. 计算$∠ EOB + ∠ DOC$：
$∠ EOB + ∠ DOC = (180° - 2∠ ABC) + (180° - 2∠ ACB) = 360° - 2(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC + ∠ ACB=120°$，得：
$∠ EOB + ∠ DOC = 360° - 2×120° = 120°$
5. 因为$∠ EOB + ∠ DOC + ∠ DOE = 180°$（平角的定义），所以：
$∠ DOE = 180° - (∠ EOB + ∠ DOC) = 180° - 120° = 60°$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形性质的典型应用题型，解题核心是将直角三角形斜边中线的性质转化为线段相等，进一步转化为角的数量关系，结合三角形内角和即可顺利求解，能有效考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，BD、CE分别是△ABC的两条高，可得Rt△BEC和Rt△BDC，O是BC中点，优先联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可推出OE=OB、OD=OC，得到两个等腰三角形；再结合已知∠A=60°，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再用等腰三角形等边对等角的性质表示出∠EOB和∠DOC的和，最后利用平角的定义即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，∠A=60°，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
2. 因为$BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，所以$△ BEC$和$△ BDC$都是直角三角形。
又因为O为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$OE = OB = \frac{1}{2}BC$，$OD = OC = \frac{1}{2}BC$
3. 由$OE=OB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$∠ OEB = ∠ OBE$，因此：
$∠ EOB = 180° - 2∠ OBE = 180° - 2∠ ABC$
同理，由$OD=OC$可得$∠ DOC = 180° - 2∠ ACB$
4. 计算$∠ EOB + ∠ DOC$：
$∠ EOB + ∠ DOC = (180° - 2∠ ABC) + (180° - 2∠ ACB) = 360° - 2(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC + ∠ ACB=120°$，得：
$∠ EOB + ∠ DOC = 360° - 2×120° = 120°$
5. 因为$∠ EOB + ∠ DOC + ∠ DOE = 180°$（平角的定义），所以：
$∠ DOE = 180° - (∠ EOB + ∠ DOC) = 180° - 120° = 60°$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形性质的典型应用题型，解题核心是将直角三角形斜边中线的性质转化为线段相等，进一步转化为角的数量关系，结合三角形内角和即可顺利求解，能有效考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且$DE// AB$,过点E作$EF⊥ DE$,交BC的延长线于点F.若$CD=3$,则DF的长为
6
.答案
4.6
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先利用等边三角形的内角性质和平行线的同位角相等性质，判断△EDC的形状，得到DE的长度；再根据垂直得到直角三角形DEF，结合直角三角形中30°角的性质推导DF与DE的数量关系，代入数值即可算出结果。具体思考步骤：1. 等边△ABC三个内角均为60°，结合DE//AB，可得△EDC三个内角都是60°，即△EDC是等边三角形，因此DE=CD=3；2. 由EF⊥DE可知△DEF是直角三角形，算出∠F=30°，利用直角三角形30°角对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠ACB=60°
∵DE//AB
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等边三角形
∴DE=CD=3
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
在Rt△DEF中，∠EDF=60°
∴∠F=90°-∠EDF=30°
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠F对应的直角边为DE
∴DE=½DF
∴DF=2DE=2×3=6
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过平行线和等边三角形性质得到等长线段，再结合直角三角形特殊角的性质求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.75
解题时从已知条件逐步推导：首先利用等边三角形的内角性质和平行线的同位角相等性质，判断△EDC的形状，得到DE的长度；再根据垂直得到直角三角形DEF，结合直角三角形中30°角的性质推导DF与DE的数量关系，代入数值即可算出结果。具体思考步骤：1. 等边△ABC三个内角均为60°，结合DE//AB，可得△EDC三个内角都是60°，即△EDC是等边三角形，因此DE=CD=3；2. 由EF⊥DE可知△DEF是直角三角形，算出∠F=30°，利用直角三角形30°角对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠ACB=60°
∵DE//AB
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等边三角形
∴DE=CD=3
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
在Rt△DEF中，∠EDF=60°
∴∠F=90°-∠EDF=30°
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠F对应的直角边为DE
∴DE=½DF
∴DF=2DE=2×3=6
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过平行线和等边三角形性质得到等长线段，再结合直角三角形特殊角的性质求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.75
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°,求∠COE的度数.
答案
5. 解:
∵∠ACB=90°,CE=AC,
∴∠CAE=∠AEC=45°.
∵∠BAE=15°,
∴∠CAB=60°,
∴∠B=30°.
∵∠ACB=90°,O为AB的中点,
∴CO=BO=AO=$\frac{1}{2}AB$,
∴△AOC是等边三角形,∠OCB=∠B=30°,
∴AC=OC=CE,
∴∠COE=∠CEO=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
∵∠ACB=90°,CE=AC,
∴∠CAE=∠AEC=45°.
∵∠BAE=15°,
∴∠CAB=60°,
∴∠B=30°.
∵∠ACB=90°,O为AB的中点,
∴CO=BO=AO=$\frac{1}{2}AB$,
∴△AOC是等边三角形,∠OCB=∠B=30°,
∴AC=OC=CE,
∴∠COE=∠CEO=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的∠ACB=90°、CE=AC入手，可判断△ACE是等腰直角三角形，求出∠CAE的度数，再结合∠BAE=15°算出△ABC的锐角∠CAB，进而得到∠B的度数；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得到CO与AB、AC的关系，判断△AOC为等边三角形，推出OC=CE，最后在等腰△COE中利用三角形内角和即可求出∠COE的度数。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠CAE=∠AEC=45°。
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=45°+15°=60°，
∴∠B=90°-∠CAB=30°。
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CO=BO=AO=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠OCB=∠B=30°，且AO=AC，即△AOC是等边三角形，
∴AC=OC，又
∵CE=AC，
∴OC=CE，即△COE为等腰三角形，
∴∠COE=∠CEO=$\frac{1}{2}$×(180°-∠OCB)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°。
【答案】
75°
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的综合题，将等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质结合考查，解题的关键是找到相等的线段，转化得到等腰三角形后利用内角和计算角度，是几何角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠ACB=90°、CE=AC入手，可判断△ACE是等腰直角三角形，求出∠CAE的度数，再结合∠BAE=15°算出△ABC的锐角∠CAB，进而得到∠B的度数；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得到CO与AB、AC的关系，判断△AOC为等边三角形，推出OC=CE，最后在等腰△COE中利用三角形内角和即可求出∠COE的度数。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠CAE=∠AEC=45°。
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=45°+15°=60°，
∴∠B=90°-∠CAB=30°。
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CO=BO=AO=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠OCB=∠B=30°，且AO=AC，即△AOC是等边三角形，
∴AC=OC，又
∵CE=AC，
∴OC=CE，即△COE为等腰三角形，
∴∠COE=∠CEO=$\frac{1}{2}$×(180°-∠OCB)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°。
【答案】
75°
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的综合题，将等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质结合考查，解题的关键是找到相等的线段，转化得到等腰三角形后利用内角和计算角度，是几何角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M，N分别是AB，AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC的周长是 （
A.30
B.25
C.19
D.15
B
）A.30
B.25
C.19
D.15
答案
6.B
解析
【分析】
首先由AD是BC边上的高，可得出△ABD、△ACD均为直角三角形；已知M、N分别是AB、AC边的中点，即M、N分别是两个直角三角形斜边的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可分别求出AB、AC的长度，最后将AB、AC、BC的长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
∵AD是BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD都是直角三角形
∵M是Rt△ABD斜边AB的中点
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB=2DM
又
∵DM=5，
∴AB=2×5=10
同理，N是Rt△ACD斜边AC的中点，得AC=2DN
∵DN=3，
∴AC=2×3=6
已知BC=9
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+6+9=25
【答案】B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形周长计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别直角三角形斜边上的中线，利用对应性质求出未知边的长度，再结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.8
首先由AD是BC边上的高，可得出△ABD、△ACD均为直角三角形；已知M、N分别是AB、AC边的中点，即M、N分别是两个直角三角形斜边的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可分别求出AB、AC的长度，最后将AB、AC、BC的长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
∵AD是BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD都是直角三角形
∵M是Rt△ABD斜边AB的中点
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB=2DM
又
∵DM=5，
∴AB=2×5=10
同理，N是Rt△ACD斜边AC的中点，得AC=2DN
∵DN=3，
∴AC=2×3=6
已知BC=9
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+6+9=25
【答案】B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形周长计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别直角三角形斜边上的中线，利用对应性质求出未知边的长度，再结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.8
