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1 [2025苏州工业园区段考]如图，PA，PB切$\odot O$于A，B两点，CD切$\odot O$于点E，交PA，PB于点C，D。若$△ PCD$的周长等于4，则线段PA的长是 （
A.4
B.8
C.2
D.1
（第1题）
C
）A.4
B.8
C.2
D.1
（第1题）答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先联想切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。第一步先梳理图中相等的切线长：点P引的两条切线PA=PB，点C引的两条切线CA=CE，点D引的两条切线DB=DE；第二步将△PCD的周长拆解，通过相等线段替换，把周长转化为PA与PB的和，再结合PA=PB的关系，即可求出PA的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
∵ PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，$\therefore$ PA = PB；
∵ CD切$\odot O$于点E，交PA于C、交PB于D，$\therefore$ CA = CE，DB = DE。
△PCD的周长为$PC + CD + PD$，将CD拆分为$CE+DE$代入得：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CE + DE + PD\\&=PC + CA + PD + DB \quad (\mathrm{用} \ CE=CA、DE=DB \ \mathrm{替换})\\&=(PC+CA)+(PD+DB)\\&=PA + PB\end{aligned}$
又
∵ PA=PB，$\therefore C_{△ PCD}=2PA$，已知$C_{△ PCD}=4$，即$2PA=4$，解得$PA=2$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题核心是通过线段等量替换，将三角形周长转化为两条切线长的和，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先联想切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。第一步先梳理图中相等的切线长：点P引的两条切线PA=PB，点C引的两条切线CA=CE，点D引的两条切线DB=DE；第二步将△PCD的周长拆解，通过相等线段替换，把周长转化为PA与PB的和，再结合PA=PB的关系，即可求出PA的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
∵ PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，$\therefore$ PA = PB；
∵ CD切$\odot O$于点E，交PA于C、交PB于D，$\therefore$ CA = CE，DB = DE。
△PCD的周长为$PC + CD + PD$，将CD拆分为$CE+DE$代入得：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CE + DE + PD\\&=PC + CA + PD + DB \quad (\mathrm{用} \ CE=CA、DE=DB \ \mathrm{替换})\\&=(PC+CA)+(PD+DB)\\&=PA + PB\end{aligned}$
又
∵ PA=PB，$\therefore C_{△ PCD}=2PA$，已知$C_{△ PCD}=4$，即$2PA=4$，解得$PA=2$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题核心是通过线段等量替换，将三角形周长转化为两条切线长的和，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 [2025常熟市段考]如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上.若$∠ E=68°$，则$∠ BAE+∠ BCD$的度数为 （
A.$202°$
B.$236°$
C.$240°$
D.$248°$
B
）A.$202°$
B.$236°$
C.$240°$
D.$248°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，由EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，结合已知∠E=68°，可求出等腰△EAD的底角∠EAD的度数；第二步，观察所求的∠BAE+∠BCD，将∠BAE拆分为∠EAD+∠BAD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD+∠BCD=180°，代入计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 连接AD，
∵EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理得EA=ED，
∴△EAD为等腰三角形。
2. 已知∠E=68°，
∴∠EAD=$\frac{180°-∠ E}{2}=\frac{180°-68°}{2}=56°$。
3.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠BAD+∠BCD=180°。
4.
∵∠BAE=∠EAD+∠BAD，
∴∠BAE+∠BCD=∠EAD+(∠BAD+∠BCD)=56°+180°=236°。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质与圆内接四边形的性质，解题关键是合理拆分角度，结合已有定理完成角度转化计算，是圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，由EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，结合已知∠E=68°，可求出等腰△EAD的底角∠EAD的度数；第二步，观察所求的∠BAE+∠BCD，将∠BAE拆分为∠EAD+∠BAD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD+∠BCD=180°，代入计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 连接AD，
∵EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理得EA=ED，
∴△EAD为等腰三角形。
2. 已知∠E=68°，
∴∠EAD=$\frac{180°-∠ E}{2}=\frac{180°-68°}{2}=56°$。
3.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠BAD+∠BCD=180°。
4.
∵∠BAE=∠EAD+∠BAD，
∴∠BAE+∠BCD=∠EAD+(∠BAD+∠BCD)=56°+180°=236°。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线相关性质与圆内接四边形的性质，解题关键是合理拆分角度，结合已有定理完成角度转化计算，是圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
3 [2025龙东地区]如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是直径，$∠ BAC=35°$，则$∠ P$的度数为
70°
.答案
3.$70°$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆切线的相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以选择两种路径解题：路径1：连接OB，先利用等腰三角形性质求出圆心角∠AOB的度数，再结合切线性质得到的两个直角，利用四边形内角和求∠P；路径2：先根据切线性质求出∠PAB的度数，再利用切线长定理得到PA=PB，即△PAB为等腰三角形，用三角形内角和求∠P。两种方法均符合课标要求，此处以路径1为例讲解。
【解析】
解：连接OB。
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ OA=OB（同圆的半径相等），
∴ $∠ OBA=∠ BAC=35°$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ OAB$中，$∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=180°-35°-35°=110°$。
∵ 四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴ $∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-110°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆切线部分的常规考题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过添加辅助线构造直角，结合三角形、四边形的内角和定理即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆切线的相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以选择两种路径解题：路径1：连接OB，先利用等腰三角形性质求出圆心角∠AOB的度数，再结合切线性质得到的两个直角，利用四边形内角和求∠P；路径2：先根据切线性质求出∠PAB的度数，再利用切线长定理得到PA=PB，即△PAB为等腰三角形，用三角形内角和求∠P。两种方法均符合课标要求，此处以路径1为例讲解。
【解析】
解：连接OB。
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ OA=OB（同圆的半径相等），
∴ $∠ OBA=∠ BAC=35°$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ OAB$中，$∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=180°-35°-35°=110°$。
∵ 四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴ $∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-110°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆切线部分的常规考题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过添加辅助线构造直角，结合三角形、四边形的内角和定理即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
4 [2025 西宁]如图，四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，且$AB=9$，$CD=15$，则四边形ABCD的周长为
48
。答案
4.48
解析
【分析】
本题可根据圆外切四边形的性质求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，由此可推导出圆外切四边形的核心性质：两组对边之和相等。已知AB和CD的长度，我们可先求出一组对边的和，再利用对边和相等的性质得到另一组对边的和，最后相加即可得到四边形的周长。
【解析】
根据切线长定理可推出：圆外切四边形的两组对边之和相等，即对于⊙O的外切四边形ABCD，有$AB+CD=AD+BC$。
已知$AB=9$，$CD=15$，因此$AB+CD=9+15=24$，由此可得$AD+BC=24$。
四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=24+24=48$
【答案】
48
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，熟记相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题可根据圆外切四边形的性质求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，由此可推导出圆外切四边形的核心性质：两组对边之和相等。已知AB和CD的长度，我们可先求出一组对边的和，再利用对边和相等的性质得到另一组对边的和，最后相加即可得到四边形的周长。
【解析】
根据切线长定理可推出：圆外切四边形的两组对边之和相等，即对于⊙O的外切四边形ABCD，有$AB+CD=AD+BC$。
已知$AB=9$，$CD=15$，因此$AB+CD=9+15=24$，由此可得$AD+BC=24$。
四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=24+24=48$
【答案】
48
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，熟记相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，且AB//CD，OB＝6，OC＝8.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求⊙O的半径OF.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求⊙O的半径OF.
答案
5. (1) $△ OBC$ 为直角三角形 $\because AB,BC$ 分别是 $\odot O$ 的切线，
$\therefore BE=BF$. 又 $\because OB=OB,OE=OF,\therefore △ BEO≌ △ BFO$,
$\therefore ∠ BOE=∠ BOF$, 即 $∠ BOF=\frac{1}{2}∠ EOF$. 同理, 可得 $∠ COF=$$\frac{1}{2}∠ GOF.\because AB,CD$ 与 $\odot O$ 相切, $\therefore OE⊥ AB,OG⊥ CD.\because AB//$$CD,\therefore$ 点 $E,O,G$ 在一条直线上, $\therefore ∠ EOF+∠ GOF=180°$,
$\therefore ∠ BOF+∠ COF=90°$, 即 $∠ BOC=90°,\therefore △ OBC$ 为直角三角形
(2) $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中, $OB=6,OC=8,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
$\because BC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore OF⊥ BC.\because S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC·$$OF,\therefore OF=\frac{OB· OC}{BC}=\frac{24}{5}$
$\therefore BE=BF$. 又 $\because OB=OB,OE=OF,\therefore △ BEO≌ △ BFO$,
$\therefore ∠ BOE=∠ BOF$, 即 $∠ BOF=\frac{1}{2}∠ EOF$. 同理, 可得 $∠ COF=$$\frac{1}{2}∠ GOF.\because AB,CD$ 与 $\odot O$ 相切, $\therefore OE⊥ AB,OG⊥ CD.\because AB//$$CD,\therefore$ 点 $E,O,G$ 在一条直线上, $\therefore ∠ EOF+∠ GOF=180°$,
$\therefore ∠ BOF+∠ COF=90°$, 即 $∠ BOC=90°,\therefore △ OBC$ 为直角三角形
(2) $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中, $OB=6,OC=8,\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
$\because BC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore OF⊥ BC.\because S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC·$$OF,\therefore OF=\frac{OB· OC}{BC}=\frac{24}{5}$
解析
【分析】
（1）判断△OBC的形状可从角的关系入手：首先根据切线性质和全等三角形判定，可证OB平分∠EOF、OC平分∠GOF；再结合AB//CD可得E、O、G三点共线，即∠EOG=180°，进而推出∠BOC=90°，即可判断三角形形状。
（2）求半径OF时，先利用勾股定理求出Rt△OBC的斜边BC长度，再结合切线性质得OF⊥BC，通过三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）△OBC是直角三角形，证明如下：
∵AB、BC分别是⊙O的切线，
∴BE=BF，又OB=OB，OE=OF（都是⊙O的半径），
∴△BEO≌△BFO（SSS），
∴∠BOE=∠BOF，即$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ EOF$。
同理可得$∠ COF=\frac{1}{2}∠ GOF$。
∵AB、CD与⊙O相切，
∴OE⊥AB，OG⊥CD，
又
∵AB//CD，
∴E、O、G三点共线，$∠ EOF+∠ GOF=180°$，
∴$∠ BOF+∠ COF=\frac{1}{2}(∠ EOF+∠ GOF)=90°$，即$∠ BOC=90°$，
∴△OBC为直角三角形。
（2）在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
△OBC的面积可表示为$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）$△ OBC$是直角三角形；（2）$\odot O$的半径$OF$为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用切线相关性质推导角的数量关系，再结合面积法求解线段长度，熟练掌握切线的性质和定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）判断△OBC的形状可从角的关系入手：首先根据切线性质和全等三角形判定，可证OB平分∠EOF、OC平分∠GOF；再结合AB//CD可得E、O、G三点共线，即∠EOG=180°，进而推出∠BOC=90°，即可判断三角形形状。
（2）求半径OF时，先利用勾股定理求出Rt△OBC的斜边BC长度，再结合切线性质得OF⊥BC，通过三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）△OBC是直角三角形，证明如下：
∵AB、BC分别是⊙O的切线，
∴BE=BF，又OB=OB，OE=OF（都是⊙O的半径），
∴△BEO≌△BFO（SSS），
∴∠BOE=∠BOF，即$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ EOF$。
同理可得$∠ COF=\frac{1}{2}∠ GOF$。
∵AB、CD与⊙O相切，
∴OE⊥AB，OG⊥CD，
又
∵AB//CD，
∴E、O、G三点共线，$∠ EOF+∠ GOF=180°$，
∴$∠ BOF+∠ COF=\frac{1}{2}(∠ EOF+∠ GOF)=90°$，即$∠ BOC=90°$，
∴△OBC为直角三角形。
（2）在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
△OBC的面积可表示为$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，
解得$OF=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）$△ OBC$是直角三角形；（2）$\odot O$的半径$OF$为$\frac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用切线相关性质推导角的数量关系，再结合面积法求解线段长度，熟练掌握切线的性质和定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线,交BC于点M,切点为N,则DM的长为 (
A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题首先利用矩形和圆的切线性质确定圆的半径，再结合切线长定理得到相等的线段，最后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。第一步：根据⊙O与AD、AB、BC三边相切，可得圆的半径等于AB长度的一半，进而求出AE、ED、BG、GC的长度；第二步：根据切线长定理，得DN=DE，MN=MG，设MG为x，用含x的代数式表示DM和MC的长度；第三步：在Rt△DCM中利用勾股定理列方程求出x，即可计算DM的长度。
【解析】
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=2$，且$AE=AF=BF=BG=2$，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$，
∵DM是⊙O的切线，切点为N，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$DN=DE=3$，$MN=MG$，
设$MG=x$，则$MN=x$，$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$，
在$Rt△ DCM$中，$DC=AB=4$，由勾股定理得：
$DC^2+MC^2=DM^2$，
即$4^2+(3-x)^2=(3+x)^2$，
展开得：$16+9-6x+x^2=9+6x+x^2$，
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的常规题型，解题核心是利用切线长定理将未知线段转化为可表示的代数式，再结合勾股定理构造方程求解，对转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题首先利用矩形和圆的切线性质确定圆的半径，再结合切线长定理得到相等的线段，最后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。第一步：根据⊙O与AD、AB、BC三边相切，可得圆的半径等于AB长度的一半，进而求出AE、ED、BG、GC的长度；第二步：根据切线长定理，得DN=DE，MN=MG，设MG为x，用含x的代数式表示DM和MC的长度；第三步：在Rt△DCM中利用勾股定理列方程求出x，即可计算DM的长度。
【解析】
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=2$，且$AE=AF=BF=BG=2$，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$，
∵DM是⊙O的切线，切点为N，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$DN=DE=3$，$MN=MG$，
设$MG=x$，则$MN=x$，$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$，
在$Rt△ DCM$中，$DC=AB=4$，由勾股定理得：
$DC^2+MC^2=DM^2$，
即$4^2+(3-x)^2=(3+x)^2$，
展开得：$16+9-6x+x^2=9+6x+x^2$，
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的常规题型，解题核心是利用切线长定理将未知线段转化为可表示的代数式，再结合勾股定理构造方程求解，对转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
