7 [2025青岛]如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ADC=90°,DC=BC,直线EA与⊙O相切于点A.若∠BCD=128°,则∠DAE的度数为 ()

A.52°
B.54°
C.64°
D.74°

7. C

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：① 首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BCD的度数求出∠BAD的度数；② 由∠ADC=90°可判定AC是⊙O的直径，再根据切线的性质得到EA⊥AC，即∠EAC=90°；③ 结合DC=BC可得弧DC与弧BC相等，进而推出∠DAC=∠BAC，求出∠DAC的度数；④ 最后用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
1. 求∠BAD的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
已知∠BCD=128°，代入得：∠BAD=180°-128°=52°。
2. 判定AC为直径，推导∠EAC=90°：
∵ ∠ADC=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，
∴ AC是⊙O的直径，
∵ 直线EA与⊙O相切于点A，根据切线的性质：切线垂直于过切点的直径，
∴ EA⊥AC，即∠EAC=90°，可得∠DAE + ∠DAC = 90°。
3. 求∠DAC的度数：
∵ DC=BC，根据“同圆中相等的弦所对的弧相等”，
∴ 弧DC = 弧BC，
根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”，得∠DAC=∠BAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×52°=26°。
4. 计算∠DAE：
∠DAE = 90° - ∠DAC = 90° - 26° = 64°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，解题的核心是结合已知条件推出AC为直径，再利用弦、弧、圆周角的对应关系推导角度，需要熟练掌握圆的基础性质，理清角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

8 新考向 条件开放题 如图，CD是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长DC到点A，使$∠ ABD=120°$，连接BC.有下列条件:① $AC=BC$;② $AC=OC$;③ $OC=BC$;④ $AB=BD$.从中添加一个条件，能使AB是$\odot O$的切线的为________(填序号).

8. ①②③④

【分析】
要判断AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明$OB⊥ AB$（即$∠ ABO=90°$）即可。首先连接OB，已知CD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ CBD=90°$，结合已知$∠ ABD=120°$，可算出$∠ ABC=30°$。接下来逐个验证4个条件能否推导出$∠ ABO=90°$即可。
【解析】
连接OB，
∵CD是$\odot O$的直径，
∴$∠ CBD=90°$，
∵$∠ ABD=120°$，
∴$∠ ABC=∠ ABD - ∠ CBD=30°$。
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$。
逐个分析条件：
①若$AC=BC$：则$∠ A=∠ ABC=30°$，$∠ BCD$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ BCD=∠ A+∠ ABC=60°$，
又$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，$∠ OBC=60°$，
∴$∠ ABO=∠ ABC+∠ OBC=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，①符合要求；
②若$AC=OC$：设$\odot O$半径为r，则$AC=OC=OB=r$，$AO=AC+OC=2r$，
由①的推导可知，当AB是切线时，$∠ A=30°$，在$Rt△ ABO$中，斜边$AO=2OB$，满足$AO=2r$、$OB=r$，反过来可推得$∠ ABO=90°$，AB是$\odot O$的切线，②符合要求；
③若$OC=BC$：又$OB=OC$，
∴$OB=OC=BC$，$△ OBC$是等边三角形，$∠ OBC=60°$，
∴$∠ ABO=∠ ABC+∠ OBC=30°+60°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，③符合要求；
④若$AB=BD$：则$∠ A=∠ D$，
∵$OB=OD$，
∴$∠ OBD=∠ D$，
∴$∠ A=∠ OBD$，
在$△ ABD$中，$∠ A+∠ D+∠ ABD=180°$，$∠ ABD=120°$，
∴$∠ A+∠ D=60°$，即$2∠ D=60°$，$∠ D=30°$，
∴$∠ OBD=30°$，
∴$∠ ABO=∠ ABD - ∠ OBD=120°-30°=90°$，即$OB⊥ AB$，AB是$\odot O$的切线，④符合要求。
综上，①②③④都符合要求。
【答案】
①②③④
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于条件开放类题型，需要结合圆的基础性质和特殊三角形的性质，正向或逆向推导所给条件是否满足切线的判定条件，能有效考查综合分析能力。
【难度系数】
0.65

9 [2025 吴江区段考]如图，AB为$\odot O$的直径，$OC⊥ AB$交$\odot O$于点$C$，$D$为$OB$上一点，延长$CD$交$\odot O$于点$E$，延长$OB$至点$F$，使$DF=FE$，连接$EF$。
（1）求证：$EF$为$\odot O$的切线；
（2）若$OD=1$且$BD=BF$，求$\odot O$的半径。

9. (1) 连接OE, $\because OE = OC$, $\therefore ∠ OEC = ∠ OCE$. $\because DF = FE$, $\therefore ∠ FED = ∠ FDE$. $\because ∠ FDE = ∠ CDO$, $∠ CDO + ∠ OCD = 90°$, $\therefore ∠ FED + ∠ OEC = 90°$,即$∠ FEO = 90°$, $\therefore OE⊥ FE$. $\because OE$是$\odot O$的半径, $\therefore EF$为$\odot O$的切线
(2) 设$\odot O$的半径$EO = OB = r$,则$BD = BF = OB - OD = r - 1$, $\therefore FE = DF = 2BD = 2(r - 1) = 2r - 2$, $\therefore OF = DF + OD = 2r - 2 + 1 = 2r - 1$. 在$\mathrm{Rt}△ FEO$中,由勾股定理,得$FE^2 + OE^2 = OF^2$, $\therefore (2r - 2)^2 + r^2 = (2r - 1)^2$,解得$r = 3$或$r = 1$(不合题意,舍去), $\therefore \odot O$的半径为3

【分析】
（1）要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需连接半径OE，证明$OE⊥ EF$即可。可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余，推导$∠ FEO=90°$，从而得到垂直关系。
（2）求$\odot O$的半径，可设半径为$r$，将图中BD、BF、FE、OF等相关线段都用含$r$的代数式表示，再在$\mathrm{Rt}△ FEO$中利用勾股定理列方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到半径长度。
【解析】
（1）证明：连接$OE$，
$\because OE = OC$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ OEC = ∠ OCE$（等腰三角形等边对等角）。
$\because DF = FE$（已知），
$\therefore ∠ FED = ∠ FDE$（等腰三角形等边对等角）。
$\because ∠ FDE = ∠ CDO$（对顶角相等），且$OC⊥ AB$，即$∠ COF=90°$，
$\therefore ∠ CDO + ∠ OCD = 90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠ FED + ∠ OEC = ∠ CDO + ∠ OCD = 90°$，即$∠ FEO = 90°$，
$\therefore OE⊥ FE$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
（2）解：设$\odot O$的半径为$r$，则$EO = OB = r$。
已知$OD=1$，$\therefore BD = OB - OD = r-1$，
$\because BD=BF$，$\therefore BF=r-1$，
$\therefore FE=DF=BD+BF=2(r-1)=2r-2$，
$OF=OD+DF=1+2r-2=2r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ FEO$中，由勾股定理得$FE^2 + OE^2 = OF^2$，
代入得$(2r-2)^2 + r^2 = (2r-1)^2$，
整理得$r^2-4r+3=0$，解得$r=3$或$r=1$。
当$r=1$时，点$D$与点$B$重合，不符合题意，舍去，
$\therefore \odot O$的半径为3。
【答案】
（1）$EF$为$\odot O$的切线，证明成立；（2）$\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线判定的常规辅助线作法，以及结合方程思想利用勾股定理求线段长度的方法，是圆章节的典型常考题，需要熟练掌握切线判定的思路和方程法求解几何线段的技巧。
【难度系数】
0.7

10 [2025 资阳]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB$是$\odot O$的直径，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，过点$D$作$BC$的平行线，交$AC$的延长线于点$E$。
（1）求证：$DE$是$\odot O$的切线；
（2）若$∠ BAC=60°$，$CE=\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径。

10. (1) 如图,连接OD. $\because OD = OA$, $\therefore ∠ ODA = ∠ BAD$. $\because ∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点D, $\therefore ∠ CAD = ∠ BAD$, $\therefore ∠ ODA = ∠ CAD$, $\therefore OD// AC$, $\therefore ∠ ODE + ∠ E = 180°$. $\because AB$是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ ACB = 90°$. $\because DE// BC$, $\therefore ∠ E = ∠ ACB = 90°$, $\therefore ∠ ODE = 180° - ∠ E = 90°$,即$DE⊥ OD$. $\because OD$是$\odot O$的半径, $\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图,连接BD,设OD交BC于点F. $\because ∠ ACB = 90°$, $\therefore ∠ FCE = 90°$. $\because ∠ ODE = ∠ E = 90°$, $\therefore$ 四边形CEDF是矩形, $\therefore DF = CE = \sqrt{3}$, $∠ CFD = 90°$,即$BF⊥ OD$. $\because OD// AC$, $\therefore ∠ BOD = ∠ BAC = 60°$. $\because OD = OB$, $\therefore △ DOB$是等边三角形, $\therefore OB = DB$, $\therefore OD = 2DF = 2\sqrt{3}$,即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$

【分析】
（1）要证DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$DE⊥ OD$。首先利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导$OD// AC$；再结合AB是直径可得$∠ ACB=90°$，结合$DE// BC$可证$∠ E=90°$，进而推出$OD⊥ DE$，完成切线证明。
（2）求$\odot O$的半径，可连接BD，设OD交BC于点F。先证明四边形CEDF是矩形，得到$DF=CE=\sqrt{3}$；再由$OD// AC$推出$∠ BOD=∠ BAC=60°$，可得$△ DOB$是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，可知$OD=2DF$，即可求出半径长度。
【解析】
（1）证明：如图，连接OD。
$\because OD = OA$，$\therefore ∠ ODA = ∠ BAD$。
$\because ∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点D，$\therefore ∠ CAD = ∠ BAD$，
$\therefore ∠ ODA = ∠ CAD$，$\therefore OD// AC$，
$\therefore ∠ ODE + ∠ E = 180°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB = 90°$。
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ E = ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ODE = 180° - ∠ E = 90°$，即$DE⊥ OD$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
（2）解：如图，连接BD，设OD交BC于点F。
$\because ∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ FCE = 90°$。
$\because ∠ ODE = ∠ E = 90°$，$\therefore$ 四边形CEDF是矩形，
$\therefore DF = CE = \sqrt{3}$，$∠ CFD = 90°$，即$BF⊥ OD$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ BOD = ∠ BAC = 60°$。
$\because OD = OB$，$\therefore △ DOB$是等边三角形，$\therefore OB = DB$，
$\therefore OD = 2DF = 2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$

【知识点】
切线的判定，圆周角定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线，将切线判定、特殊三角形与四边形的性质结合使用，考查了学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65