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7 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E。若$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$，则$\frac{AD}{CD}$的值是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
（第7题）
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
（第7题）答案
7.B 【解析】如图,作 $CF⊥ AB$, 交 $AB$ 的延长线于点 $F$, 连接 $DE$.
$\because AB// CD,AD⊥ AB,\therefore ∠ FAD=∠ ADC=∠ F=90°,\therefore$ 四边形$ADCF$ 为矩形, $\therefore AF=DC,AD=CF.\because$ 以点 $D$ 为圆心, $AD$ 长为半径的弧恰好与 $BC$ 相切, 切点为 $E, \therefore DE⊥ BC$. 又 $\because AB⊥ AD$,
$\therefore AB$ 为 $\odot D$ 的切线, $\therefore AB=BE$. 设 $AB=BE=a,CE=x$,
$\because \frac{AB}{CD}=\frac{1}{3},\therefore CD=3a,BF=AF-AB=CD-AB=2a,BC=BE+$$CE=a+x.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中, $DE^2=CD^2-CE^2=(3a)^2-x^2$, 在$\mathrm{Rt}△ BFC$ 中, $CF^2=BC^2-BF^2=(a+x)^2-(2a)^2$, 又 $\because DE=AD=$$CF,\therefore (3a)^2-x^2=(a+x)^2-(2a)^2$, 解得 $x_1=2a,x_2=-3a$ (舍去), $\therefore CE=2a,\therefore DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(3a)^2-(2a)^2}=\sqrt{5}a=$$AD,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{5}a}{3a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的垂直、平行条件，考虑构造矩形转化线段：过点C作AB延长线的垂线CF，同时连接切线BC对应的半径DE，利用切线性质得到DE⊥BC。再根据切线长定理得到AB=BE，结合AB与CD的比值设参数简化计算，最后利用AD=DE=CF这一等量关系，结合勾股定理分别表示DE²和CF²，列方程求解未知线段，最终算出所求比值。
【解析】
作 $CF⊥ AB$, 交 $AB$ 的延长线于点 $F$, 连接 $DE$.
$\because AB// CD,AD⊥ AB,\therefore ∠ FAD=∠ ADC=∠ F=90°,\therefore$ 四边形$ADCF$ 为矩形, $\therefore AF=DC,AD=CF$.
$\because$ 以点 $D$ 为圆心, $AD$ 长为半径的弧恰好与 $BC$ 相切, 切点为 $E, \therefore DE⊥ BC$，且 $DE=AD$.
又 $\because AB⊥ AD$,$\therefore AB$ 为 $\odot D$ 的切线，根据切线长定理可得 $AB=BE$.
设 $AB=BE=a$，$\because \frac{AB}{CD}=\frac{1}{3},\therefore CD=3a$，则 $BF=AF-AB=CD-AB=3a-a=2a$.
设 $CE=x$，则 $BC=BE+CE=a+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中, 由勾股定理得 $DE^2=CD^2-CE^2=(3a)^2-x^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ BFC$ 中, 由勾股定理得 $CF^2=BC^2-BF^2=(a+x)^2-(2a)^2$.
$\because DE=AD=CF,\therefore DE^2=CF^2$，即 $(3a)^2-x^2=(a+x)^2-(2a)^2$，
解得 $x_1=2a,x_2=-3a$ (线段长度为正，舍去)，
$\therefore CE=2a$，$\therefore AD=DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(3a)^2-(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{5}a}{3a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的切线相关性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，通过设参数将线段比值问题转化为方程求解，巧妙利用等线段建立方程是解题关键，需要掌握常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知的垂直、平行条件，考虑构造矩形转化线段：过点C作AB延长线的垂线CF，同时连接切线BC对应的半径DE，利用切线性质得到DE⊥BC。再根据切线长定理得到AB=BE，结合AB与CD的比值设参数简化计算，最后利用AD=DE=CF这一等量关系，结合勾股定理分别表示DE²和CF²，列方程求解未知线段，最终算出所求比值。
【解析】
作 $CF⊥ AB$, 交 $AB$ 的延长线于点 $F$, 连接 $DE$.
$\because AB// CD,AD⊥ AB,\therefore ∠ FAD=∠ ADC=∠ F=90°,\therefore$ 四边形$ADCF$ 为矩形, $\therefore AF=DC,AD=CF$.
$\because$ 以点 $D$ 为圆心, $AD$ 长为半径的弧恰好与 $BC$ 相切, 切点为 $E, \therefore DE⊥ BC$，且 $DE=AD$.
又 $\because AB⊥ AD$,$\therefore AB$ 为 $\odot D$ 的切线，根据切线长定理可得 $AB=BE$.
设 $AB=BE=a$，$\because \frac{AB}{CD}=\frac{1}{3},\therefore CD=3a$，则 $BF=AF-AB=CD-AB=3a-a=2a$.
设 $CE=x$，则 $BC=BE+CE=a+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中, 由勾股定理得 $DE^2=CD^2-CE^2=(3a)^2-x^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ BFC$ 中, 由勾股定理得 $CF^2=BC^2-BF^2=(a+x)^2-(2a)^2$.
$\because DE=AD=CF,\therefore DE^2=CF^2$，即 $(3a)^2-x^2=(a+x)^2-(2a)^2$，
解得 $x_1=2a,x_2=-3a$ (线段长度为正，舍去)，
$\therefore CE=2a$，$\therefore AD=DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(3a)^2-(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{5}a}{3a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的切线相关性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，通过设参数将线段比值问题转化为方程求解，巧妙利用等线段建立方程是解题关键，需要掌握常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
8 [2024绵阳改编]如图，在$△ ADE$中，$∠ DAE=90°$，某圆与$△ ADE$的三边都相切，其中与$DE$相切于点$G$，当$EG=\sqrt{5}-1$，$DG=\sqrt{5}+1$时，$\dfrac{AE}{AD}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
8. $\frac{1}{2}$ 【解析】如图, 设与 $△ ADE$ 三边都相切的圆的圆心为 $O,AD$,
$AE$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $K,H$, 连接 $OG,OK,OH$, 则易得四边形$OKAH$ 为正方形。根据切线长定理可得 $DK=DG=\sqrt{5}+1,EH=$$EG=\sqrt{5}-1$。设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OK=OG=OH=r.\therefore$ 易得 $AK=$$AH=r,\therefore AD=DK+AK=\sqrt{5}+1+r,AE=\sqrt{5}-1+r$。在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $DE=DG+EG=2\sqrt{5},AD^2+AE^2=DE^2$, 即 $(\sqrt{5}+1+$$r)^2+(\sqrt{5}-1+r)^2=(2\sqrt{5})^2$. 整理, 得 $r^2+2\sqrt{5}r-4=0$, 解得 $r_1=3-$$\sqrt{5},r_2=-3-\sqrt{5}$ (不合题意, 舍去), $\therefore AD=4,AE=2,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是直角三角形内切圆相关的计算问题，解题思路如下：①首先确定与△ADE三边都相切的圆是它的内切圆，优先调用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；②先计算斜边DE的长度，它等于DG与EG的和；③设内切圆半径为r，因为∠DAE=90°，内切圆与AD、AE相切的半径与两边垂直，可知圆心、点A以及AD、AE上的切点围成正方形，因此点A到两个切点的长度均为r，即可用r表示出AD和AE的长度；④最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解r，代入即可算出AE与AD的比值。
【解析】
设△ADE的内切圆圆心为O，AD、AE分别与⊙O相切于点K、H，连接OG、OK、OH。
根据圆的切线性质，得OG⊥DE，OK⊥AD，OH⊥AE，又∠DAE=90°，且OK=OH=r，因此四边形OKAH为正方形，即AK=AH=r。
由切线长定理可得：$DK=DG=\sqrt{5}+1$，$EH=EG=\sqrt{5}-1$，
因此$AD=DK+AK=\sqrt{5}+1+r$，$AE=EH+AH=\sqrt{5}-1+r$，
又$DE=DG+EG=(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^2+AE^2=DE^2$，
代入边长表达式得：$(\sqrt{5}+1+r)^2+(\sqrt{5}-1+r)^2=(2\sqrt{5})^2$，
展开整理得：$r^2+2\sqrt{5}r-4=0$，
解得$r_1=3-\sqrt{5}$，$r_2=-3-\sqrt{5}$（半径为正，不合题意舍去），
因此$AD=\sqrt{5}+1+3-\sqrt{5}=4$，$AE=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2$，
故$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的常规计算题型，核心是利用切线长定理将三角形边长与内切圆半径建立关联，结合勾股定理列方程求解，解题时需注意舍去不合题意的负根，对整式运算和方程求解能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
这是直角三角形内切圆相关的计算问题，解题思路如下：①首先确定与△ADE三边都相切的圆是它的内切圆，优先调用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；②先计算斜边DE的长度，它等于DG与EG的和；③设内切圆半径为r，因为∠DAE=90°，内切圆与AD、AE相切的半径与两边垂直，可知圆心、点A以及AD、AE上的切点围成正方形，因此点A到两个切点的长度均为r，即可用r表示出AD和AE的长度；④最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解r，代入即可算出AE与AD的比值。
【解析】
设△ADE的内切圆圆心为O，AD、AE分别与⊙O相切于点K、H，连接OG、OK、OH。
根据圆的切线性质，得OG⊥DE，OK⊥AD，OH⊥AE，又∠DAE=90°，且OK=OH=r，因此四边形OKAH为正方形，即AK=AH=r。
由切线长定理可得：$DK=DG=\sqrt{5}+1$，$EH=EG=\sqrt{5}-1$，
因此$AD=DK+AK=\sqrt{5}+1+r$，$AE=EH+AH=\sqrt{5}-1+r$，
又$DE=DG+EG=(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^2+AE^2=DE^2$，
代入边长表达式得：$(\sqrt{5}+1+r)^2+(\sqrt{5}-1+r)^2=(2\sqrt{5})^2$，
展开整理得：$r^2+2\sqrt{5}r-4=0$，
解得$r_1=3-\sqrt{5}$，$r_2=-3-\sqrt{5}$（半径为正，不合题意舍去），
因此$AD=\sqrt{5}+1+3-\sqrt{5}=4$，$AE=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2$，
故$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的常规计算题型，核心是利用切线长定理将三角形边长与内切圆半径建立关联，结合勾股定理列方程求解，解题时需注意舍去不合题意的负根，对整式运算和方程求解能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9 [2024 通辽]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$AC$边上一点,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作圆,与$AB$相切于点$D$,连接$CD$.
(1) 求证:$∠ ABC=2∠ ACD$;
(2) 若$AC=8$,$BC=6$,求$\odot O$的半径.
(1) 求证:$∠ ABC=2∠ ACD$;
(2) 若$AC=8$,$BC=6$,求$\odot O$的半径.
答案
9. (1) 连接 $OD.\because AB$ 为 $\odot O$ 的切线, $\therefore OD⊥ AB,\therefore ∠ ODA=$$90°,\therefore ∠ AOD+∠ A=90°.\because OC=OD,\therefore ∠ ACD=∠ ODC$,
$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD,\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°$.
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OD=OC=r,OA=8-r.\because ∠ ACB=90°$,
$AC=8,BC=6,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.\because ∠ ACB=$$90°,OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线. $\because AB$ 切 $\odot O$ 于点 $D$,
$\therefore BD=BC=6,\therefore AD=AB-BD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODA$ 中, 由勾股定理,得 $OD^2+AD^2=OA^2$, 即 $r^2+4^2=(8-r)^2$, 解得 $r=3,\therefore \odot O$ 的半径为 3
$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD,\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°$.
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OD=OC=r,OA=8-r.\because ∠ ACB=90°$,
$AC=8,BC=6,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.\because ∠ ACB=$$90°,OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线. $\because AB$ 切 $\odot O$ 于点 $D$,
$\therefore BD=BC=6,\therefore AD=AB-BD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODA$ 中, 由勾股定理,得 $OD^2+AD^2=OA^2$, 即 $r^2+4^2=(8-r)^2$, 解得 $r=3,\therefore \odot O$ 的半径为 3
解析
【分析】
(1) 要证明∠ABC=2∠ACD，首先结合AB是⊙O的切线的条件，根据切线性质连接圆心O和切点D，可得OD⊥AB；再利用等腰三角形两底角相等、三角形外角的性质推导得出∠AOD=2∠ACD；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，对与∠A互余的角进行等量代换即可完成证明。
(2) 求⊙O的半径，先利用勾股定理先求出斜边AB的长度；再根据切线的判定得出BC也是⊙O的切线，由切线长定理得到BD=BC，进而求出AD的长度；最后设半径为r，在Rt△ODA中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的切线，$\therefore OD⊥ AB$，$\therefore ∠ ODA=90°$，$\therefore ∠ AOD+∠ A=90°$。
$\because OC=OD$，$\therefore ∠ ACD=∠ ODC$，$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD$，
$\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ A=90°$，$\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$。
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OD=OC=r$，$OA=8-r$。
$\because ∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中，$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because ∠ ACB=90°$，$OC$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线。
$\because AB$ 切 $\odot O$ 于点$D$，$\therefore BD=BC=6$，$\therefore AD=AB-BD=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ODA$ 中，由勾股定理，得 $OD^2+AD^2=OA^2$，即 $r^2+4^2=(8-r)^2$，
解得 $r=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题的关键是掌握连接圆心和切点构造直角三角形的常用辅助线做法，求解半径时运用了方程思想，对圆的基础性质应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ABC=2∠ACD，首先结合AB是⊙O的切线的条件，根据切线性质连接圆心O和切点D，可得OD⊥AB；再利用等腰三角形两底角相等、三角形外角的性质推导得出∠AOD=2∠ACD；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，对与∠A互余的角进行等量代换即可完成证明。
(2) 求⊙O的半径，先利用勾股定理先求出斜边AB的长度；再根据切线的判定得出BC也是⊙O的切线，由切线长定理得到BD=BC，进而求出AD的长度；最后设半径为r，在Rt△ODA中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的切线，$\therefore OD⊥ AB$，$\therefore ∠ ODA=90°$，$\therefore ∠ AOD+∠ A=90°$。
$\because OC=OD$，$\therefore ∠ ACD=∠ ODC$，$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD$，
$\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ A=90°$，$\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$。
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OD=OC=r$，$OA=8-r$。
$\because ∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中，$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because ∠ ACB=90°$，$OC$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线。
$\because AB$ 切 $\odot O$ 于点$D$，$\therefore BD=BC=6$，$\therefore AD=AB-BD=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ODA$ 中，由勾股定理，得 $OD^2+AD^2=OA^2$，即 $r^2+4^2=(8-r)^2$，
解得 $r=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题的关键是掌握连接圆心和切点构造直角三角形的常用辅助线做法，求解半径时运用了方程思想，对圆的基础性质应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
10 [2025广州]已知$\odot O$的半径为6，$\odot O$所在平面内有一动点$P$，过点$P$可以引$\odot O$的两条切线$PA$，$PB$，切点分别为$A$，$B$，连接$OP$.
（1）设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
（2）若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$（点$C$不与点$B$重合），线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x$，$CD=y$，试求出$y$关于$x$的函数表达式.
（1）设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
$d＞6$
.（2）若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$（点$C$不与点$B$重合），线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x$，$CD=y$，试求出$y$关于$x$的函数表达式.
答案
10. (1) $d＞6$ 【解析】$\because$ 过点 $P$ 可以引 $\odot O$ 的两条切线 $PA,PB$,
$\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 外, $\therefore d＞6$.
(2) 连接 $OA,OB.\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A,PB$ 切 $\odot O$ 于点 $B,\therefore PB=$$PA=x,OA⊥ PA,OB⊥ PB.\because OA=OB=6,\therefore PO$ 平分 $∠ APB$, 即$∠ APO=∠ BPO.\because OC// PA,\therefore ∠ POC=∠ APO,\therefore ∠ POC=$$∠ CPO,\therefore PC=OC=OD+CD=y+6,\therefore BC=PB-PC=x-(y+$$6)=x-y-6.\because \mathrm{Rt}△ OBC$ 中, $\therefore OC^2=BC^2+OB^2,\therefore (y+6)^2=$$(x-y-6)^2+6^2$, 化简, 得 $y=\frac{(x-6)^2}{2x}$
$\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 外, $\therefore d＞6$.
(2) 连接 $OA,OB.\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A,PB$ 切 $\odot O$ 于点 $B,\therefore PB=$$PA=x,OA⊥ PA,OB⊥ PB.\because OA=OB=6,\therefore PO$ 平分 $∠ APB$, 即$∠ APO=∠ BPO.\because OC// PA,\therefore ∠ POC=∠ APO,\therefore ∠ POC=$$∠ CPO,\therefore PC=OC=OD+CD=y+6,\therefore BC=PB-PC=x-(y+$$6)=x-y-6.\because \mathrm{Rt}△ OBC$ 中, $\therefore OC^2=BC^2+OB^2,\therefore (y+6)^2=$$(x-y-6)^2+6^2$, 化简, 得 $y=\frac{(x-6)^2}{2x}$
解析
【分析】
（1）要确定d的取值范围，需结合切线的性质判断点P的位置：只有点在圆外时，过该点才能引圆的两条切线，圆上仅能引1条切线，圆内无法引切线，已知圆半径为6，即可推出d的范围。
（2）求y关于x的函数表达式，首先作辅助线连接OA、OB，利用切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB，结合切线长定理得PA=PB=x，OP平分∠APB；再根据OC//PA，由平行线内错角相等推出∠POC=∠CPO，得到PC=OC=6+y；接着表示出BC的长度，最后在Rt△OBC中用勾股定理列等式，化简即可得到函数关系式。
【解析】
（1）
∵过点P可以引⊙O的两条切线PA、PB，
∴点P在⊙O外，
∵⊙O的半径为6，
∴点P与圆心O的距离d满足$d＞6$。
（2）连接OA、OB，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，PB是⊙O的切线，B为切点，
∴$PB=PA=x$，$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
又
∵$OA=OB=6$，
∴OP平分$∠APB$，即$∠APO=∠BPO$，
∵$OC// PA$，
∴$∠POC=∠APO$，
∴$∠POC=∠CPO$，
∴$PC=OC=OD+CD=y+6$，
∴$BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得$OC^2=BC^2+OB^2$，
将对应线段代入得：$(y+6)^2=(x-y-6)^2+6^2$，
展开化简：
$y^2+12y+36=(x-6-y)^2+36$
$12y=(x-6)^2-2(x-6)y$
$2xy=(x-6)^2$
整理得$y=\frac{(x-6)^2}{2x}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{d＞6}$；（2）$\boldsymbol{y=\dfrac{(x-6)^2}{2x}}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的切线相关综合题，解题核心是结合切线性质、平行线性质和等腰三角形判定找到线段的等量关系，再通过勾股定理列方程化简得到函数表达式，对逻辑推理和代数计算能力有一定要求，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
（1）要确定d的取值范围，需结合切线的性质判断点P的位置：只有点在圆外时，过该点才能引圆的两条切线，圆上仅能引1条切线，圆内无法引切线，已知圆半径为6，即可推出d的范围。
（2）求y关于x的函数表达式，首先作辅助线连接OA、OB，利用切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB，结合切线长定理得PA=PB=x，OP平分∠APB；再根据OC//PA，由平行线内错角相等推出∠POC=∠CPO，得到PC=OC=6+y；接着表示出BC的长度，最后在Rt△OBC中用勾股定理列等式，化简即可得到函数关系式。
【解析】
（1）
∵过点P可以引⊙O的两条切线PA、PB，
∴点P在⊙O外，
∵⊙O的半径为6，
∴点P与圆心O的距离d满足$d＞6$。
（2）连接OA、OB，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，PB是⊙O的切线，B为切点，
∴$PB=PA=x$，$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
又
∵$OA=OB=6$，
∴OP平分$∠APB$，即$∠APO=∠BPO$，
∵$OC// PA$，
∴$∠POC=∠APO$，
∴$∠POC=∠CPO$，
∴$PC=OC=OD+CD=y+6$，
∴$BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得$OC^2=BC^2+OB^2$，
将对应线段代入得：$(y+6)^2=(x-y-6)^2+6^2$，
展开化简：
$y^2+12y+36=(x-6-y)^2+36$
$12y=(x-6)^2-2(x-6)y$
$2xy=(x-6)^2$
整理得$y=\frac{(x-6)^2}{2x}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{d＞6}$；（2）$\boldsymbol{y=\dfrac{(x-6)^2}{2x}}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的切线相关综合题，解题核心是结合切线性质、平行线性质和等腰三角形判定找到线段的等量关系，再通过勾股定理列方程化简得到函数表达式，对逻辑推理和代数计算能力有一定要求，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
