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1 下列选项中，满足三角形的内心在MN上的是（
A
）答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此内心一定在三角形的任意一条内角角平分线上。接下来只需判断每个选项中MN是否为三角形的内角角平分线即可：先识别各选项的尺规作图类型，A是标准的角平分线作图，B是过边上一点作边的垂线，C是作底边的垂直平分线，D是过顶点作底边的垂直平分线，只有角平分线符合要求。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此内心必然在三角形的内角角平分线上：
选项A：作图为作∠M的角平分线MN，MN是三角形的内角角平分线，故内心在MN上，符合要求；
选项B：MN是过点N且垂直于N所在边的垂线，不是角平分线，不符合要求；
选项C：MN是三角形底边的垂直平分线，无等腰三角形的前提时不是角平分线，不符合要求；
选项D：MN是过点M作的底边的垂直平分线，无等腰三角形的前提时不是角平分线，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的尺规作图
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形内心性质的理解和常见尺规作图的识别，掌握内心是角平分线的交点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此内心一定在三角形的任意一条内角角平分线上。接下来只需判断每个选项中MN是否为三角形的内角角平分线即可：先识别各选项的尺规作图类型，A是标准的角平分线作图，B是过边上一点作边的垂线，C是作底边的垂直平分线，D是过顶点作底边的垂直平分线，只有角平分线符合要求。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此内心必然在三角形的内角角平分线上：
选项A：作图为作∠M的角平分线MN，MN是三角形的内角角平分线，故内心在MN上，符合要求；
选项B：MN是过点N且垂直于N所在边的垂线，不是角平分线，不符合要求；
选项C：MN是三角形底边的垂直平分线，无等腰三角形的前提时不是角平分线，不符合要求；
选项D：MN是过点M作的底边的垂直平分线，无等腰三角形的前提时不是角平分线，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的尺规作图
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形内心性质的理解和常见尺规作图的识别，掌握内心是角平分线的交点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，连接 EF，DE，DF，作∠ABC 的平分线 BP。有下列说法：① 射线 BP 一定过点 O；② O 是△DEF 三条中线的交点；③ 若△ABC 是等边三角形，则 DE = $\frac{1}{2}$BC；④ O 不是△DEF 三条边的垂直平分线的交点。其中，正确的是
①③
（填序号）。答案
2.①③
解析
【分析】
解决本题需结合三角形内心、外心的性质逐一判断各结论：首先明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等；其次内切圆的半径相等，可知内心是切点三角形△DEF的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点；再结合等边三角形的性质、中位线定理判断第三个结论即可。
【解析】
1. 判断①：三角形内切圆的圆心O是△ABC的内心，即三条内角平分线的交点，已知BP是∠ABC的平分线，因此射线BP一定经过点O，故①正确；
2. 判断②：由⊙O是△ABC的内切圆，可得OD=OE=OF（均为⊙O的半径），因此点O是△DEF的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，不是三条中线的交点（中线交点为重心），故②错误；
3. 判断③：若△ABC是等边三角形，其内切圆与各边的切点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质可得DE=$\frac{1}{2}$BC，故③正确；
4. 判断④：由步骤2可知O是△DEF的外心，即△DEF三条边的垂直平分线的交点，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查三角形内心与外心的性质区分，结合等边三角形的性质、中位线定理进行判断即可，解题时注意区分重心、外心、内心的定义与性质是关键。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合三角形内心、外心的性质逐一判断各结论：首先明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等；其次内切圆的半径相等，可知内心是切点三角形△DEF的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点；再结合等边三角形的性质、中位线定理判断第三个结论即可。
【解析】
1. 判断①：三角形内切圆的圆心O是△ABC的内心，即三条内角平分线的交点，已知BP是∠ABC的平分线，因此射线BP一定经过点O，故①正确；
2. 判断②：由⊙O是△ABC的内切圆，可得OD=OE=OF（均为⊙O的半径），因此点O是△DEF的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，不是三条中线的交点（中线交点为重心），故②错误；
3. 判断③：若△ABC是等边三角形，其内切圆与各边的切点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，因此DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质可得DE=$\frac{1}{2}$BC，故③正确；
4. 判断④：由步骤2可知O是△DEF的外心，即△DEF三条边的垂直平分线的交点，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查三角形内心与外心的性质区分，结合等边三角形的性质、中位线定理进行判断即可，解题时注意区分重心、外心、内心的定义与性质是关键。
【难度系数】
0.7
3 已知直角三角形的两条直角边的长分别是8和15，则该三角形内切圆的直径为
6
。答案
3.6
4 如图，△ABC 的内心为点 I，连接 AI 并延长，交△ABC 的外接圆于点 D，连接 BD.
（1）求证：DI＝DB；
（2）直接写出点 D 是连接图中哪三个点构成的三角形的外心.
（1）求证：DI＝DB；
（2）直接写出点 D 是连接图中哪三个点构成的三角形的外心.
答案
(1) 如图,连接 BI,
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI.
∴ DI=DB
(2) 点 D 是连接点 B,C,I 构成的三角形的外心
解析
【分析】
（1）要证明DI=DB，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证∠DBI=∠DIB即可。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组角相等；再结合同弧所对圆周角相等，完成角的等量代换；最后通过三角形外角的性质，分别表示出∠DIB和∠DBI，证明二者相等即可得证。
（2）三角形外心的核心性质是到三角形三个顶点的距离相等，结合第一问得到的DI=DB，同理可推导得DC=DI，即点D到B、C、I三点距离相等，即可确定对应的三角形。
【解析】
(1) 证明：连接BI，
∵ △ABC的内心为点I，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，即∠1=∠2，∠5=∠6。
∵ ∠3和∠1都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠3=∠1，等量代换得∠3=∠2。
∵ ∠4是△ABI的外角，由三角形外角性质可得∠4=∠2+∠6，
又
∵ ∠DBI=∠3+∠5，
将∠3=∠2、∠5=∠6代入，可得∠4=∠DBI，
根据等角对等边，得DI=DB。
(2) 由(1)得DI=DB，同理可证DI=DC，因此DB=DC=DI，即点D到B、C、I三点距离相等，所以点D是连接B、C、I三点构成的三角形的外心。
【答案】
(1) 如图,连接 BI,
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI.
∴ DI=DB
(2) 点 D 是连接点 B,C,I 构成的三角形的外心
【知识点】
三角形内心性质、圆周角定理、三角形外心定义
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的典型基础题，解题核心是利用三角形内心的角平分线性质，结合圆周角定理、外角性质完成角的等量转化，外心的判断需要紧扣“到三个顶点距离相等”的特征。
【难度系数】
0.7
（1）要证明DI=DB，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证∠DBI=∠DIB即可。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组角相等；再结合同弧所对圆周角相等，完成角的等量代换；最后通过三角形外角的性质，分别表示出∠DIB和∠DBI，证明二者相等即可得证。
（2）三角形外心的核心性质是到三角形三个顶点的距离相等，结合第一问得到的DI=DB，同理可推导得DC=DI，即点D到B、C、I三点距离相等，即可确定对应的三角形。
【解析】
(1) 证明：连接BI，
∵ △ABC的内心为点I，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，即∠1=∠2，∠5=∠6。
∵ ∠3和∠1都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠3=∠1，等量代换得∠3=∠2。
∵ ∠4是△ABI的外角，由三角形外角性质可得∠4=∠2+∠6，
又
∵ ∠DBI=∠3+∠5，
将∠3=∠2、∠5=∠6代入，可得∠4=∠DBI，
根据等角对等边，得DI=DB。
(2) 由(1)得DI=DB，同理可证DI=DC，因此DB=DC=DI，即点D到B、C、I三点距离相等，所以点D是连接B、C、I三点构成的三角形的外心。
【答案】
(1) 如图,连接 BI,
∵ △ABC 的内心为点 I,
∴ ∠1=∠2,∠5=∠6.
∵ ∠3=∠1,
∴ ∠3=∠2.
∵ ∠4=∠2+∠6,∠DBI=∠3+∠5,
∴ ∠4=∠DBI.
∴ DI=DB
(2) 点 D 是连接点 B,C,I 构成的三角形的外心
【知识点】
三角形内心性质、圆周角定理、三角形外心定义
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的典型基础题，解题核心是利用三角形内心的角平分线性质，结合圆周角定理、外角性质完成角的等量转化，外心的判断需要紧扣“到三个顶点距离相等”的特征。
【难度系数】
0.7
5 [2025滨州]如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路：首先利用正方形的性质，结合已知AF=BG=CH=DE，可推出AE=BF=CG=DH，得到四个边角边全等的直角三角形，因此GH=EF=13。接下来设AF=CH=x，用含x的代数式表示出Rt△AEF的另一条直角边AE=17-x，再利用勾股定理列方程求出x的值，即可得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=17，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AB-AF=BC-BG=CD-CH=DA-DE，即BF=CG=DH=AE。
设AF=CH=x，则CG=AE=17-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$AF^2 + AE^2 = EF^2$，
代入数据得：$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$，
整理得：$x^2 -17x +60=0$，
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=12$，
即Rt△GCH的两条直角边长分别为5和12，
由△AEF≌△CGH（SAS）得斜边GH=EF=13，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得：$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形内切圆计算
【点评】
本题属于几何综合题，将正方形性质、勾股定理、三角形内切圆知识点结合考查，解题的突破口是通过正方形边的相等关系建立方程求出直角三角形的边长，整体解题思路清晰，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用正方形的性质，结合已知AF=BG=CH=DE，可推出AE=BF=CG=DH，得到四个边角边全等的直角三角形，因此GH=EF=13。接下来设AF=CH=x，用含x的代数式表示出Rt△AEF的另一条直角边AE=17-x，再利用勾股定理列方程求出x的值，即可得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=17，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AB-AF=BC-BG=CD-CH=DA-DE，即BF=CG=DH=AE。
设AF=CH=x，则CG=AE=17-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$AF^2 + AE^2 = EF^2$，
代入数据得：$x^2 + (17-x)^2 = 13^2$，
整理得：$x^2 -17x +60=0$，
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=12$，
即Rt△GCH的两条直角边长分别为5和12，
由△AEF≌△CGH（SAS）得斜边GH=EF=13，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得：$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形内切圆计算
【点评】
本题属于几何综合题，将正方形性质、勾股定理、三角形内切圆知识点结合考查，解题的突破口是通过正方形边的相等关系建立方程求出直角三角形的边长，整体解题思路清晰，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为 （
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
6.C
解析
【分析】
要求三角形内切圆半径，可采用面积法求解，核心公式为三角形面积$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（其中$r$为内切圆半径，$a,b,c$为三角形三边长），变形得$r=\frac{2S}{a+b+c}$。因此解题分为两步：第一步先求出三角形的面积，已知三边长度可通过作高，结合勾股定理求出高进而计算面积；第二步代入公式即可求出$r$。
【解析】
设三边长分别为$a=5,b=7,c=8$，首先计算三角形周长：$a+b+c=5+7+8=20$。
选长度为8的边为底边，作底边上的高$h$，高将底边分为长度为$x$和$8-x$的两段，根据勾股定理可得：
$5^2 - x^2 = h^2$，$7^2 - (8-x)^2 = h^2$
联立两式得：$25 - x^2 = 49 - (64 - 16x + x^2)$
化简得：$25 = -15 + 16x$，解得$x=\frac{5}{2}$
代入求高：$h^2=25 - (\frac{5}{2})^2=\frac{75}{4}$，得$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
计算三角形面积：$S=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$
将$S=10\sqrt{3}$、周长20代入$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$得：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}× r×20$，解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题型，核心考查面积法在内切圆半径求解中的应用，解题的关键是熟练掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过作高用勾股定理求面积的方法也能帮助巩固直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
要求三角形内切圆半径，可采用面积法求解，核心公式为三角形面积$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（其中$r$为内切圆半径，$a,b,c$为三角形三边长），变形得$r=\frac{2S}{a+b+c}$。因此解题分为两步：第一步先求出三角形的面积，已知三边长度可通过作高，结合勾股定理求出高进而计算面积；第二步代入公式即可求出$r$。
【解析】
设三边长分别为$a=5,b=7,c=8$，首先计算三角形周长：$a+b+c=5+7+8=20$。
选长度为8的边为底边，作底边上的高$h$，高将底边分为长度为$x$和$8-x$的两段，根据勾股定理可得：
$5^2 - x^2 = h^2$，$7^2 - (8-x)^2 = h^2$
联立两式得：$25 - x^2 = 49 - (64 - 16x + x^2)$
化简得：$25 = -15 + 16x$，解得$x=\frac{5}{2}$
代入求高：$h^2=25 - (\frac{5}{2})^2=\frac{75}{4}$，得$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
计算三角形面积：$S=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$
将$S=10\sqrt{3}$、周长20代入$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$得：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}× r×20$，解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型题型，核心考查面积法在内切圆半径求解中的应用，解题的关键是熟练掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过作高用勾股定理求面积的方法也能帮助巩固直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
