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1 若$x=-1$是方程$x^2 + x + m = 0$的一个根，则此方程的另一个根是（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
B
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
1. B
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的公式计算另一个根，这种方法更简便，不需要求解参数。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵x=-1是方程$x^2 + x + m = 0$的根，将x=-1代入方程得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
即$1 - 1 + m = 0$，解得$m=0$
∴原方程为$x^2 + x = 0$，因式分解得$x(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=0$，即另一个根为$x=0$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，因此：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$，即另一个根为0。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法均为一元二次方程的核心考点，其中运用根与系数的关系可以跳过求参数的步骤，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题有两种常用思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的公式计算另一个根，这种方法更简便，不需要求解参数。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵x=-1是方程$x^2 + x + m = 0$的根，将x=-1代入方程得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
即$1 - 1 + m = 0$，解得$m=0$
∴原方程为$x^2 + x = 0$，因式分解得$x(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=0$，即另一个根为$x=0$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，因此：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$，即另一个根为0。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法均为一元二次方程的核心考点，其中运用根与系数的关系可以跳过求参数的步骤，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2 若关于$x$的方程$x^2+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$的一个实数根的倒数恰是它本身，则$m$的值是（
A.$-\frac{5}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$
D.1
C
）A.$-\frac{5}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
首先明确倒数恰好等于本身的实数只有1和-1，题中说明方程的一个实数根满足该条件，因此这个根只能是1或-1。接下来依据一元二次方程根的定义，把根分别代入原方程，即可求出对应的m的值，解题时要注意两种情况都需考虑，避免漏解。
【解析】
解：
∵一个实数的倒数恰是它本身，
∴这个实数为1或-1，即方程的这个实数根为1或-1。
① 当根为1时，将$x=1$代入方程$x^2+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$得：
$1^2 + (m+1)×1 + \frac{1}{2} = 0$
$1 + m + 1 + \frac{1}{2} = 0$
解得：$m=-\frac{5}{2}$
② 当根为-1时，将$x=-1$代入方程$x^2+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$得：
$(-1)^2 + (m+1)×(-1) + \frac{1}{2} = 0$
$1 - m -1 + \frac{1}{2} = 0$
解得：$m=\frac{1}{2}$
综上，m的值为$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，倒数的概念，代入求值
【点评】
本题解题的核心是先确定倒数等于本身的所有可能值，再结合方程根的定义代入求解，解题时需注意分情况讨论，避免漏掉根为-1的情况。
【难度系数】
0.7
首先明确倒数恰好等于本身的实数只有1和-1，题中说明方程的一个实数根满足该条件，因此这个根只能是1或-1。接下来依据一元二次方程根的定义，把根分别代入原方程，即可求出对应的m的值，解题时要注意两种情况都需考虑，避免漏解。
【解析】
解：
∵一个实数的倒数恰是它本身，
∴这个实数为1或-1，即方程的这个实数根为1或-1。
① 当根为1时，将$x=1$代入方程$x^2+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$得：
$1^2 + (m+1)×1 + \frac{1}{2} = 0$
$1 + m + 1 + \frac{1}{2} = 0$
解得：$m=-\frac{5}{2}$
② 当根为-1时，将$x=-1$代入方程$x^2+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$得：
$(-1)^2 + (m+1)×(-1) + \frac{1}{2} = 0$
$1 - m -1 + \frac{1}{2} = 0$
解得：$m=\frac{1}{2}$
综上，m的值为$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，倒数的概念，代入求值
【点评】
本题解题的核心是先确定倒数等于本身的所有可能值，再结合方程根的定义代入求解，解题时需注意分情况讨论，避免漏掉根为-1的情况。
【难度系数】
0.7
3 [2025 苏州工业园区期中]一元二次方程$(x-2)(x+3)=2$化成一般形式$(a＞0)$为
$x^2+x-8=0$
。答案
3. $x^2+x-8=0$
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程化成$a＞0$的一般形式，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。解题时先利用多项式乘多项式的法则展开方程左侧的乘积，再将右侧的常数项移到左侧，合并同类项后即可得到符合要求的结果，注意最终要保证二次项系数为正。
【解析】
第一步：展开方程左侧的多项式乘积：
$(x-2)(x+3)=x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$
第二步：将展开结果代入原方程，得：
$x^2 + x - 6 = 2$
第三步：将右侧的2移到等号左侧（移项需变号），合并同类项：
$x^2 + x - 6 - 2 = 0$
整理得$x^2 + x - 8 = 0$，此时二次项系数为1＞0，符合题目要求。
【答案】
$x^2+x-8=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意展开多项式不要漏乘，移项时注意符号变化，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.9
要将给定的一元二次方程化成$a＞0$的一般形式，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。解题时先利用多项式乘多项式的法则展开方程左侧的乘积，再将右侧的常数项移到左侧，合并同类项后即可得到符合要求的结果，注意最终要保证二次项系数为正。
【解析】
第一步：展开方程左侧的多项式乘积：
$(x-2)(x+3)=x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$
第二步：将展开结果代入原方程，得：
$x^2 + x - 6 = 2$
第三步：将右侧的2移到等号左侧（移项需变号），合并同类项：
$x^2 + x - 6 - 2 = 0$
整理得$x^2 + x - 8 = 0$，此时二次项系数为1＞0，符合题目要求。
【答案】
$x^2+x-8=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意展开多项式不要漏乘，移项时注意符号变化，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.9
4 若一元二次方程$(x-2)^2=3$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$2a+b$的值为
$6+\sqrt{3}$
。答案
4. $6+\sqrt{3}$ 【解析】解方程$(x-2)^2=3$,得$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$.
由$a＞b$,得$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3},\therefore 2a+b=2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$.
由$a＞b$,得$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3},\therefore 2a+b=2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题要求代数式$2a+b$的值，解题思路可分为三步：首先求解给定的一元二次方程得到两个根，再根据$a＞b$的大小关系确定$a$、$b$分别对应的根，最后将$a$、$b$代入代数式计算即可。观察方程结构为$(x-2)^2=3$，属于可直接开平方求解的一元二次方程形式，用直接开平方法解方程更简便。
【解析】
解：解方程$(x-2)^2=3$，
开平方得$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项得$x=2\pm\sqrt{3}$，
即方程的两根为$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
$\because a＞b$，
$\therefore a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将$a$、$b$代入$2a+b$得：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、代数式求值、二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的解法及代数式的代入计算，核心是熟练掌握直接开平方法解特殊形式的一元二次方程，解题时注意区分两根大小，计算二次根式时避免运算错误即可。
【难度系数】
0.85
本题要求代数式$2a+b$的值，解题思路可分为三步：首先求解给定的一元二次方程得到两个根，再根据$a＞b$的大小关系确定$a$、$b$分别对应的根，最后将$a$、$b$代入代数式计算即可。观察方程结构为$(x-2)^2=3$，属于可直接开平方求解的一元二次方程形式，用直接开平方法解方程更简便。
【解析】
解：解方程$(x-2)^2=3$，
开平方得$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项得$x=2\pm\sqrt{3}$，
即方程的两根为$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
$\because a＞b$，
$\therefore a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将$a$、$b$代入$2a+b$得：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、代数式求值、二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的解法及代数式的代入计算，核心是熟练掌握直接开平方法解特殊形式的一元二次方程，解题时注意区分两根大小，计算二次根式时避免运算错误即可。
【难度系数】
0.85
5 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x - 2)^2 = 16$；
(2) $x(x - 7) = 8(7 - x)$；
(3) $5x^2 - 5x + 1 = 0$；
(4) $9(x - 2)^2 - (2x + 3)^2 = 0$。
(1) $(x - 2)^2 = 16$；
(2) $x(x - 7) = 8(7 - x)$；
(3) $5x^2 - 5x + 1 = 0$；
(4) $9(x - 2)^2 - (2x + 3)^2 = 0$。
答案
5. (1) $x_1=-2,x_2=6$ (2) $x_1=7,x_2=-8$ (3) $x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$ (4) $x_1=\frac{3}{5},x_2=9$
解析
【分析】
本题可根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左侧是完全平方式，右侧为非负常数，适合用直接开平方法求解，两边开平方转化为两个一元一次方程即可得解；
(2) 方程左右两侧都含有公因式相关的结构，移项后可提取公因式$(x-7)$，用因式分解法求解，避免展开后计算更复杂；
(3) 方程为一元二次方程的一般形式，无法直接因式分解，适合用公式法，先确定$a,b,c$的值，计算判别式后再代入求根公式求解；
(4) 方程左侧是两个平方的差，符合平方差公式的结构，用因式分解法分解为两个一次式的乘积，再分别解一次方程即可。
【解析】
(1) 解：对$(x - 2)^2 = 16$两边直接开平方，得
$x-2=\pm4$
即$x-2=4$或$x-2=-4$
解得$x_1=-2$，$x_2=6$
(2) 解：移项，得
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得
$(x-7)(x+8)=0$
$\therefore x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$
(3) 解：在$5x^2 - 5x + 1 = 0$中，$a=5$，$b=-5$，$c=1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-5)^2-4×5×1=25-20=5＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2×5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
(4) 解：将$9(x - 2)^2 - (2x + 3)^2 = 0$变形为$[3(x-2)]^2-(2x+3)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[3(x-2)+(2x+3)][3(x-2)-(2x+3)]=0$
分别化简两个因式：
$3(x-2)+(2x+3)=5x-3$，$3(x-2)-(2x+3)=x-9$
$\therefore (5x-3)(x-9)=0$
即$5x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=9$
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=6$；(2) $x_1=7,x_2=-8$；(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$；(4) $x_1=\frac{3}{5},x_2=9$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，解题时需根据方程的形式优先选择简便方法，可有效减少计算量、降低出错概率，比如能直接开平方或因式分解的优先选对应方法，无简便方法时可选用通用的公式法。
【难度系数】
0.75
本题可根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左侧是完全平方式，右侧为非负常数，适合用直接开平方法求解，两边开平方转化为两个一元一次方程即可得解；
(2) 方程左右两侧都含有公因式相关的结构，移项后可提取公因式$(x-7)$，用因式分解法求解，避免展开后计算更复杂；
(3) 方程为一元二次方程的一般形式，无法直接因式分解，适合用公式法，先确定$a,b,c$的值，计算判别式后再代入求根公式求解；
(4) 方程左侧是两个平方的差，符合平方差公式的结构，用因式分解法分解为两个一次式的乘积，再分别解一次方程即可。
【解析】
(1) 解：对$(x - 2)^2 = 16$两边直接开平方，得
$x-2=\pm4$
即$x-2=4$或$x-2=-4$
解得$x_1=-2$，$x_2=6$
(2) 解：移项，得
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得
$(x-7)(x+8)=0$
$\therefore x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$
(3) 解：在$5x^2 - 5x + 1 = 0$中，$a=5$，$b=-5$，$c=1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-5)^2-4×5×1=25-20=5＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2×5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
(4) 解：将$9(x - 2)^2 - (2x + 3)^2 = 0$变形为$[3(x-2)]^2-(2x+3)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[3(x-2)+(2x+3)][3(x-2)-(2x+3)]=0$
分别化简两个因式：
$3(x-2)+(2x+3)=5x-3$，$3(x-2)-(2x+3)=x-9$
$\therefore (5x-3)(x-9)=0$
即$5x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=9$
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=6$；(2) $x_1=7,x_2=-8$；(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$；(4) $x_1=\frac{3}{5},x_2=9$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，解题时需根据方程的形式优先选择简便方法，可有效减少计算量、降低出错概率，比如能直接开平方或因式分解的优先选对应方法，无简便方法时可选用通用的公式法。
【难度系数】
0.75
6 若关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 2x + m = 0$有两个根，其中一个根为$x=1$，则这两根之积为（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\dfrac{1}{3}$
D
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\dfrac{1}{3}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题可分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，求出参数m的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应数值即可求出两根之积。
【解析】
1. 求参数m的值：
将x=1代入方程$3x^2 - 2x + m = 0$，得：
$3×1^2 - 2×1 + m = 0$
计算得：$3 - 2 + m = 0$，解得$m=-1$。
2. 计算两根之积：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中$a=3$，$c=m=-1$，因此两根之积为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，解题时先利用已知根求出未知参数，再结合韦达定理即可快速得到结果，注意区分两根之和与两根之积的公式，避免因记混公式出错。
【难度系数】
0.7
解题可分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，求出参数m的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应数值即可求出两根之积。
【解析】
1. 求参数m的值：
将x=1代入方程$3x^2 - 2x + m = 0$，得：
$3×1^2 - 2×1 + m = 0$
计算得：$3 - 2 + m = 0$，解得$m=-1$。
2. 计算两根之积：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中$a=3$，$c=m=-1$，因此两根之积为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质的应用，解题时先利用已知根求出未知参数，再结合韦达定理即可快速得到结果，注意区分两根之和与两根之积的公式，避免因记混公式出错。
【难度系数】
0.7
7 [2025 内江]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则实数a的取值范围是
（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
（
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式需大于等于0。先分别根据这两个条件列出关于a的限制，再合并两个限制就能得到a的取值范围，注意不要漏掉二次项系数不为0这个前提条件。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 该方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为2，常数项为1
代入得：$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1≥0$
化简：$4 - 4(a-1)≥0$
$4 -4a +4≥0$
$8-4a≥0$
解得$a≤2$
综合两个条件，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数取值范围的典型题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需同时兼顾方程的定义和根的情况两个限制条件，避免漏解错选。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需同时满足两个条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式需大于等于0。先分别根据这两个条件列出关于a的限制，再合并两个限制就能得到a的取值范围，注意不要漏掉二次项系数不为0这个前提条件。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 该方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为2，常数项为1
代入得：$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1≥0$
化简：$4 - 4(a-1)≥0$
$4 -4a +4≥0$
$8-4a≥0$
解得$a≤2$
综合两个条件，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数取值范围的典型题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需同时兼顾方程的定义和根的情况两个限制条件，避免漏解错选。
【难度系数】
0.6
8 一次函数$y=kx+b$的大致图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - kb + 1 = 0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个根是0
B
）A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个根是0
答案
8. B
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步先根据一次函数的图象特征，判断斜率k和y轴截距b的正负，进而得到kb的符号；第二步回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系，计算给定方程的判别式，结合kb的符号判断判别式的正负，即可确定方程根的情况。
【解析】
首先观察一次函数$y=kx+b$的图象：
1. 图象从左下向右上倾斜，说明斜率$k＞0$；
2. 图象与y轴的交点在y轴负半轴，说明截距$b＜0$；
由此可得$kb＜0$。
接下来判断一元二次方程$x^2 - 2x - kb + 1 = 0$的根的情况，计算其判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-kb + 1)$
$=4 -4(-kb +1)$
$=4 +4kb -4$
$=4kb$
因为$kb＜0$，所以$4kb＜0$，即$\Delta ＜0$，因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程的综合基础题，核心是先通过一次函数图象得到参数的符号，再利用判别式判断方程根的情况，考查学生对跨章节知识点的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：第一步先根据一次函数的图象特征，判断斜率k和y轴截距b的正负，进而得到kb的符号；第二步回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系，计算给定方程的判别式，结合kb的符号判断判别式的正负，即可确定方程根的情况。
【解析】
首先观察一次函数$y=kx+b$的图象：
1. 图象从左下向右上倾斜，说明斜率$k＞0$；
2. 图象与y轴的交点在y轴负半轴，说明截距$b＜0$；
由此可得$kb＜0$。
接下来判断一元二次方程$x^2 - 2x - kb + 1 = 0$的根的情况，计算其判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-kb + 1)$
$=4 -4(-kb +1)$
$=4 +4kb -4$
$=4kb$
因为$kb＜0$，所以$4kb＜0$，即$\Delta ＜0$，因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程的综合基础题，核心是先通过一次函数图象得到参数的符号，再利用判别式判断方程根的情况，考查学生对跨章节知识点的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
