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5 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果.若售价为50元/千克,则一个月可售出5000千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元/千克,则月销售量就减少10千克.设这种水果的售价为x元/千克.若要使月利润为8750元,则可列方程为
$x^2-140x+4\ 875=0$
(结果化为一般形式).答案
5. $x^2-140x+4\ 875=0$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：月总利润=每千克水果的利润×月销售量。我们先分别用售价x表示出每千克的利润和对应月销售量，再根据总利润为8750元列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
【解析】
根据销售利润的等量关系分步推导：
1. 表示每千克利润：已知进价为40元/千克，售价为x元/千克，因此每千克利润为$(x-40)$元。
2. 表示月销售量：售价为50元/千克时月销量为500千克，售价每上涨1元，月销量减少10千克。当售价为x元/千克时，相比50元上涨了$(x-50)$元，月销量减少$10(x-50)$千克，实际月销售量为：
$500 - 10(x-50) = 1000 - 10x$（千克）
3. 列方程并整理：已知月利润为8750元，可列方程：
$(x-40)(1000-10x)=8750$
展开左边：$1000x -10x^2 -40000 +400x = 8750$
合并同类项：$-10x^2 +1400x -40000 = 8750$
移项并将二次项系数化为正、化简：
$10x^2 -1400x +48750 = 0$
两边同时除以10得到一般形式：$x^2 -140x +4875 = 0$
【答案】
$x^2-140x+4\ 875=0$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题是销售类一元二次方程应用的基础题型，核心是掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，能准确用未知数表示出单件利润和销售量，整理方程时注意一般形式要求二次项系数为正数。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：月总利润=每千克水果的利润×月销售量。我们先分别用售价x表示出每千克的利润和对应月销售量，再根据总利润为8750元列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
【解析】
根据销售利润的等量关系分步推导：
1. 表示每千克利润：已知进价为40元/千克，售价为x元/千克，因此每千克利润为$(x-40)$元。
2. 表示月销售量：售价为50元/千克时月销量为500千克，售价每上涨1元，月销量减少10千克。当售价为x元/千克时，相比50元上涨了$(x-50)$元，月销量减少$10(x-50)$千克，实际月销售量为：
$500 - 10(x-50) = 1000 - 10x$（千克）
3. 列方程并整理：已知月利润为8750元，可列方程：
$(x-40)(1000-10x)=8750$
展开左边：$1000x -10x^2 -40000 +400x = 8750$
合并同类项：$-10x^2 +1400x -40000 = 8750$
移项并将二次项系数化为正、化简：
$10x^2 -1400x +48750 = 0$
两边同时除以10得到一般形式：$x^2 -140x +4875 = 0$
【答案】
$x^2-140x+4\ 875=0$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题是销售类一元二次方程应用的基础题型，核心是掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，能准确用未知数表示出单件利润和销售量，整理方程时注意一般形式要求二次项系数为正数。
【难度系数】
0.7
6 一批小型西瓜以每千克2元的价格购进，以每千克3元的价格售出，每天可售出2000千克。某经营户决定降价促销，经调查发现，当每千克每降价0.1元时，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本为24元。若该经营户要想每天盈利200元，则小型西瓜应每千克降价
0.2或0.3
元。答案
6. 0.2或0.3 【解析】设小型西瓜应每千克降价 $x$ 元.根据题意,得$(3-2-x)(200+\frac{40x}{0.1})-24=200$,即 $50x^2-25x+3=0$,解得$x_1=0.2,x_2=0.3. \therefore$ 小型西瓜应每千克降价0.2元或0.3元.
解析
【分析】
这是典型的市场营销类利润问题，解题核心是抓住“总盈利=单位利润×销售量-固定成本”的等量关系。思考步骤如下：1. 设每千克降价x元，先表示降价后的单位利润：原每千克利润为3-2=1元，降价x元后单位利润为$(1-x)$元；2. 表示降价后的销售量：每降价0.1元多售40千克，降价x元后多售的数量为$\frac{40x}{0.1}$千克，因此总销售量为原销售量加上多售的量；3. 结合总盈利要求为200元，代入等量关系列方程求解，最后检验解是否符合实际情况即可。
【解析】
设小型西瓜应每千克降价$x$元。
根据总盈利的等量关系可列方程：
$(3-2-x)(200+\frac{40x}{0.1})-24=200$
化简得：
$(1-x)(200+400x)=224$
展开并整理为标准一元二次方程形式：
$50x^2-25x+3=0$
用求根公式求解：
判别式$\Delta=(-25)^2-4×50×3=25$
$x=\frac{25\pm\sqrt{25}}{2×50}=\frac{25\pm5}{100}$
解得$x_1=0.2$，$x_2=0.3$，经检验两个解均符合实际销售情况。
【答案】
0.2或0.3
【知识点】
一元二次方程应用、利润问题计算、一元二次方程解法
【点评】
本题是营销利润类的常规应用题，解题的关键是准确梳理各个量之间的关系，正确表示出降价后的单位利润和总销售量，求解后要注意验证根是否符合实际意义，本题两个解都满足经营实际，均为有效解。
【难度系数】
0.7
这是典型的市场营销类利润问题，解题核心是抓住“总盈利=单位利润×销售量-固定成本”的等量关系。思考步骤如下：1. 设每千克降价x元，先表示降价后的单位利润：原每千克利润为3-2=1元，降价x元后单位利润为$(1-x)$元；2. 表示降价后的销售量：每降价0.1元多售40千克，降价x元后多售的数量为$\frac{40x}{0.1}$千克，因此总销售量为原销售量加上多售的量；3. 结合总盈利要求为200元，代入等量关系列方程求解，最后检验解是否符合实际情况即可。
【解析】
设小型西瓜应每千克降价$x$元。
根据总盈利的等量关系可列方程：
$(3-2-x)(200+\frac{40x}{0.1})-24=200$
化简得：
$(1-x)(200+400x)=224$
展开并整理为标准一元二次方程形式：
$50x^2-25x+3=0$
用求根公式求解：
判别式$\Delta=(-25)^2-4×50×3=25$
$x=\frac{25\pm\sqrt{25}}{2×50}=\frac{25\pm5}{100}$
解得$x_1=0.2$，$x_2=0.3$，经检验两个解均符合实际销售情况。
【答案】
0.2或0.3
【知识点】
一元二次方程应用、利润问题计算、一元二次方程解法
【点评】
本题是营销利润类的常规应用题，解题的关键是准确梳理各个量之间的关系，正确表示出降价后的单位利润和总销售量，求解后要注意验证根是否符合实际意义，本题两个解都满足经营实际，均为有效解。
【难度系数】
0.7
7 某烘焙店生产的蛋糕分为六个档次，第一档次（即最低档次）的蛋糕每天生产76件，每件的利润为10元.经调查表明：每生产高一个档次的蛋糕，该蛋糕每件的利润增加2元.
（1）若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕？
（2）由于生产工序的不同，蛋糕每提高一个档次，一天的产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕？
（1）若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕？
（2）由于生产工序的不同，蛋糕每提高一个档次，一天的产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕？
答案
7. (1) $(14-10)÷2+1=3$(档次).答:此批次蛋糕属于第三档次蛋糕
(2) 设该烘焙店生产的是第 $x$ 档次的蛋糕.根据题意,得$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1\ 080$,解得 $x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕
(2) 设该烘焙店生产的是第 $x$ 档次的蛋糕.根据题意,得$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1\ 080$,解得 $x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕
解析
【分析】
（1）首先明确档次与单件利润的对应关系：第1档次利润为10元，每提高1个档次单件利润增加2元。已知某批次蛋糕单件利润14元，先算出该批次比第1档多的利润，除以每档增加的利润2元得到提升的档次数，再加1即可得到对应档次。
（2）总利润计算公式为“总利润=单件利润×当日产量”，设生产的是第x档次的蛋糕，先用含x的代数式分别表示该档次的单件利润和产量：单件利润为第1档10元基础上加2(x-1)元，产量为第1档76件基础上减4(x-1)件，再结合总利润1080元列一元二次方程，求解后结合蛋糕共6个档次的前提，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
（1）该批次蛋糕比第1档多的利润：$14-10=4$（元）
提升的档次数：$4÷2=2$
对应档次：$2+1=3$（档次）
答：此批次蛋糕属于第三档次蛋糕。
（2）设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕，根据题意列方程：
$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080$
整理得：$(2x+8)(80-4x)=1080$
化简为标准一元二次方程形式：$x^2-16x+55=0$
因式分解得：$(x-5)(x-11)=0$
解得 $x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕仅分为6个档次，$x_2=11＞6$，不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕。
【答案】
（1）第三档次；（2）第五档次
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；利润问题计算
【点评】
本题是典型的梯度利润类应用题，解题关键是找准档次和单件利润、产量的对应关系，列方程求解后要注意结合实际题意检验根的合理性，避免出现不符合限定条件的错误解。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确档次与单件利润的对应关系：第1档次利润为10元，每提高1个档次单件利润增加2元。已知某批次蛋糕单件利润14元，先算出该批次比第1档多的利润，除以每档增加的利润2元得到提升的档次数，再加1即可得到对应档次。
（2）总利润计算公式为“总利润=单件利润×当日产量”，设生产的是第x档次的蛋糕，先用含x的代数式分别表示该档次的单件利润和产量：单件利润为第1档10元基础上加2(x-1)元，产量为第1档76件基础上减4(x-1)件，再结合总利润1080元列一元二次方程，求解后结合蛋糕共6个档次的前提，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
（1）该批次蛋糕比第1档多的利润：$14-10=4$（元）
提升的档次数：$4÷2=2$
对应档次：$2+1=3$（档次）
答：此批次蛋糕属于第三档次蛋糕。
（2）设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕，根据题意列方程：
$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080$
整理得：$(2x+8)(80-4x)=1080$
化简为标准一元二次方程形式：$x^2-16x+55=0$
因式分解得：$(x-5)(x-11)=0$
解得 $x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕仅分为6个档次，$x_2=11＞6$，不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕。
【答案】
（1）第三档次；（2）第五档次
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；利润问题计算
【点评】
本题是典型的梯度利润类应用题，解题关键是找准档次和单件利润、产量的对应关系，列方程求解后要注意结合实际题意检验根的合理性，避免出现不符合限定条件的错误解。
【难度系数】
0.7
8 某电商在网上对一款成本为每件40元的商品进行销售，如果按每件60元的价格销售，那么每天可销售20件。通过市场调查发现，每件商品的售价每降低5元，日销售量就增加10件。
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
答案
8. (1) 设每件商品的售价定为 $x$ 元,则每件商品的利润为 $(x-40)$元,日销售量为 $20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件.根据题意,得$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$. 整理,得 $x^2-110x+3\ 000=0$,解得$x_1=50,x_2=60. \because$ 商家想尽快销售完该款商品,$\therefore x=50$.答:每件商品的售价应定为50元 (2) 设该款商品打 $a$ 折销售.根据题意,得$62.5×\frac{a}{10}≤50$,解得 $a≤8$.答:该款商品至少需打8折销售
解析
【分析】
解决本题需围绕销售利润问题的核心关系展开：总利润=单件利润×销售数量。
（1）首先计算原销售模式的日总利润，再设新售价为x元，先表示出单件利润，再根据“售价每降5元，日销量增10件”的规律表示出降价后的日销售量，结合“日利润保持不变”的等量关系列一元二次方程求解，最后根据“尽快售完商品”的要求，选择对应销量更大的低售价解即可。
（2）明确打折的计算规则：打a折的实际售价=标价×$\frac{a}{10}$，根据“售价不超过（1）的结果”这一不等关系列不等式求解，即可得到最低折扣。
【解析】
(1) 设每件商品的售价定为 $x$ 元，则每件商品的利润为 $(x-40)$ 元，日销售量为 $20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$ 件。
根据题意，日利润不变，列方程得：
$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$
整理得：$x^2-110x+3000=0$
解得：$x_1=50,x_2=60$
∵ 商家想尽快销售完该款商品，售价越低日销售量越大，
∴ $x=50$。
(2) 设该款商品打 $a$ 折销售，根据售价不超过50元的要求，列不等式得：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得：$a≤8$
【答案】
（1）每件商品的售价应定为50元；（2）该款商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是典型的市场营销类实际应用题，解题关键是准确梳理数量关系，找到对应等量、不等关系列方程或不等式求解，同时需注意结合实际场景对解进行筛选，题目贴近生活，能有效考查数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需围绕销售利润问题的核心关系展开：总利润=单件利润×销售数量。
（1）首先计算原销售模式的日总利润，再设新售价为x元，先表示出单件利润，再根据“售价每降5元，日销量增10件”的规律表示出降价后的日销售量，结合“日利润保持不变”的等量关系列一元二次方程求解，最后根据“尽快售完商品”的要求，选择对应销量更大的低售价解即可。
（2）明确打折的计算规则：打a折的实际售价=标价×$\frac{a}{10}$，根据“售价不超过（1）的结果”这一不等关系列不等式求解，即可得到最低折扣。
【解析】
(1) 设每件商品的售价定为 $x$ 元，则每件商品的利润为 $(x-40)$ 元，日销售量为 $20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$ 件。
根据题意，日利润不变，列方程得：
$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20$
整理得：$x^2-110x+3000=0$
解得：$x_1=50,x_2=60$
∵ 商家想尽快销售完该款商品，售价越低日销售量越大，
∴ $x=50$。
(2) 设该款商品打 $a$ 折销售，根据售价不超过50元的要求，列不等式得：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得：$a≤8$
【答案】
（1）每件商品的售价应定为50元；（2）该款商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是典型的市场营销类实际应用题，解题关键是准确梳理数量关系，找到对应等量、不等关系列方程或不等式求解，同时需注意结合实际场景对解进行筛选，题目贴近生活，能有效考查数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
