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9（易错题）[2025广元]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2} = 0$有两个相等的实数根，则a的值为
$-1$
。答案
9. $-1$
【易错分析】解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件。
【易错分析】解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件。
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：①首先题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程，这是隐含的前提条件；②方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。我们先根据判别式等于0列出方程求解a的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta = (a-1)^2 - 4 × (a-1) × (-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$：
$(a-1)(a-1 + 2) = 0$
即$(a-1)(a+1) = 0$
解得$a = 1$或$a = -1$
结合前提$a ≠ 1$，舍去$a=1$，故$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用，因式分解法解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到a=1或a=-1的错误结果，因此解决此类问题时要先确定方程类型对应的系数限制条件，再结合根的情况列算式求解，最后对结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：①首先题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程，这是隐含的前提条件；②方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。我们先根据判别式等于0列出方程求解a的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta = (a-1)^2 - 4 × (a-1) × (-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$：
$(a-1)(a-1 + 2) = 0$
即$(a-1)(a+1) = 0$
解得$a = 1$或$a = -1$
结合前提$a ≠ 1$，舍去$a=1$，故$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用，因式分解法解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到a=1或a=-1的错误结果，因此解决此类问题时要先确定方程类型对应的系数限制条件，再结合根的情况列算式求解，最后对结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.6
10 [2024 泸州]已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是________。
答案
10. 14 【解析】$\because x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-5=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=-5,\therefore (x_1-x_2)^2+3x_1x_2=x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=3^2-(-5)=14$.
解析
【分析】
本题是关于一元二次方程两根的代数式求值问题，无需计算两根的具体值，解题思路如下：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接根据方程系数求出两根之和、两根之积；再将所求代数式通过完全平方公式展开变形，整理为仅含两根之和、两根之积的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$，
对所求代数式变形化简：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$
$=x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2$
$=x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2$
$=(x_1+x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=3^2 - (-5)=9+5=14$
【答案】
14
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，核心是掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的变形技巧，解题时要注意负数的符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
本题是关于一元二次方程两根的代数式求值问题，无需计算两根的具体值，解题思路如下：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接根据方程系数求出两根之和、两根之积；再将所求代数式通过完全平方公式展开变形，整理为仅含两根之和、两根之积的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$，
对所求代数式变形化简：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$
$=x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2$
$=x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2$
$=(x_1+x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=3^2 - (-5)=9+5=14$
【答案】
14
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，核心是掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的变形技巧，解题时要注意负数的符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
11 [2025 泸州]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为α,β,则$2α^2 -3α +3β$的值为
$10$
.答案
11. 10 【解析】将$x=α$代入,得$2α^2-6α-1=0,\therefore 2α^2-6α=1$.
$\because$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,\therefore α+β=3$,
$\therefore 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
$\because$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,\therefore α+β=3$,
$\therefore 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
解析
【分析】
本题要求代数式的值，首先观察所求代数式中含有α的二次项，已知α是一元二次方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将α代入方程得到关于α的二次式的等量关系，实现降次；再观察代数式剩余部分含有α和β的一次项，可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，最后将代数式变形为可整体代入的形式，代入计算即可。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2 -6α=1$。
又
∵ 一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为α,β，由根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对所求代数式变形可得：
$2α^2 -3α +3β=(2α^2 -6α)+3α +3β=(2α^2 -6α)+3(α+β)$
将$2α^2 -6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题的核心是灵活运用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，无需直接求解方程的根，大大简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式的值，首先观察所求代数式中含有α的二次项，已知α是一元二次方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将α代入方程得到关于α的二次式的等量关系，实现降次；再观察代数式剩余部分含有α和β的一次项，可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，最后将代数式变形为可整体代入的形式，代入计算即可。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2 -6α=1$。
又
∵ 一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为α,β，由根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对所求代数式变形可得：
$2α^2 -3α +3β=(2α^2 -6α)+3α +3β=(2α^2 -6α)+3(α+β)$
将$2α^2 -6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题的核心是灵活运用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，无需直接求解方程的根，大大简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
12 已知关于 x 的一元二次方程$x^2 -6x +m +4=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
（1）求 m 的取值范围；
（2）若$x_1,x_2$满足$3x_1=|x_2|+2$,求 m 的值.
（1）求 m 的取值范围；
（2）若$x_1,x_2$满足$3x_1=|x_2|+2$,求 m 的值.
答案
12. (1) 由题意,得$b^2-4ac=(-6)^2-4(m+4)=20-4m≥0$,解得$m≤5$. $\therefore m$的取值范围是$m≤5$ (2) 根据题意,得$x_1+x_2=6$①,$x_1x_2=m+4$②.$\because 3x_1=|x_2|+2$,$\therefore$ 当$x_2≥0$时,有$3x_1=x_2+2$③.联立①③,解得$x_1=2,x_2=4$.代入②,得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_2＜0$时,有$3x_1=-x_2+2$④.联立①④,解得$x_1=-2,x_2=8$(不合题意,舍去).综上所述,$m$的值为4
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此只需代入对应系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围。
（2）题目给出两根满足的含绝对值的等式，首先利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，再对绝对值分类讨论：当x₂≥0时直接去绝对值，当x₂＜0时将绝对值变形为-x₂，分别与两根之和的式子联立求解两根的值，排除不符合分类前提的解，最后将符合条件的两根代入两根之积的表达式即可求出m的值，注意要验证m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -6x +m +4=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4×1×(m+4) = 36 - 4m -16 = 20 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ 5$。
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$ ①，$x_1x_2 = m + 4$ ②，
已知$3x_1 = |x_2| + 2$，分两种情况讨论：
① 当$x_2 ≥ 0$时，去绝对值得$3x_1 = x_2 + 2$ ③，
联立①③，将$x_2 = 6 - x_1$代入③得：$3x_1 = 6 - x_1 + 2$，
解得$x_1 = 2$，则$x_2 = 6 - 2 = 4$，
将$x_1=2,x_2=4$代入②得：$2×4 = m + 4$，解得$m=4$，符合$m≤5$的取值范围。
② 当$x_2 ＜ 0$时，去绝对值得$3x_1 = -x_2 + 2$ ④，
联立①④，将$x_2 = 6 - x_1$代入④得：$3x_1 = -(6 - x_1) + 2$，
解得$x_1 = -2$，则$x_2 = 6 - (-2) = 8$，与$x_2 ＜ 0$的前提矛盾，故舍去该组解。
综上，m的值为4。
【答案】
（1）$m≤5$；（2）$m=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的化简
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用类题目，解题时要注意结合方程根的个数对应的判别式限制条件，处理含绝对值的等式时需根据绝对值内代数式的正负分类讨论，求出根后要验证是否符合分类前提，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此只需代入对应系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围。
（2）题目给出两根满足的含绝对值的等式，首先利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，再对绝对值分类讨论：当x₂≥0时直接去绝对值，当x₂＜0时将绝对值变形为-x₂，分别与两根之和的式子联立求解两根的值，排除不符合分类前提的解，最后将符合条件的两根代入两根之积的表达式即可求出m的值，注意要验证m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -6x +m +4=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4×1×(m+4) = 36 - 4m -16 = 20 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ 5$。
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$ ①，$x_1x_2 = m + 4$ ②，
已知$3x_1 = |x_2| + 2$，分两种情况讨论：
① 当$x_2 ≥ 0$时，去绝对值得$3x_1 = x_2 + 2$ ③，
联立①③，将$x_2 = 6 - x_1$代入③得：$3x_1 = 6 - x_1 + 2$，
解得$x_1 = 2$，则$x_2 = 6 - 2 = 4$，
将$x_1=2,x_2=4$代入②得：$2×4 = m + 4$，解得$m=4$，符合$m≤5$的取值范围。
② 当$x_2 ＜ 0$时，去绝对值得$3x_1 = -x_2 + 2$ ④，
联立①④，将$x_2 = 6 - x_1$代入④得：$3x_1 = -(6 - x_1) + 2$，
解得$x_1 = -2$，则$x_2 = 6 - (-2) = 8$，与$x_2 ＜ 0$的前提矛盾，故舍去该组解。
综上，m的值为4。
【答案】
（1）$m≤5$；（2）$m=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的化简
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用类题目，解题时要注意结合方程根的个数对应的判别式限制条件，处理含绝对值的等式时需根据绝对值内代数式的正负分类讨论，求出根后要验证是否符合分类前提，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
13 [2024绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元/盒.因销量持续攀升，超市在3月提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4月，5月按照相同的降价率r连续降价.已知5月礼盒的售价为486元/盒，则r的值为
$10\%$
.答案
13. $10\%$
解析
【分析】
解题需先梳理价格的变化流程：首先计算3月提价20%后的售价，提价后价格=原价×(1+提价率)；再根据4月、5月连续两次相同降价率的条件，利用“连续两次降价后价格=降价前基数×(1-降价率)²”的关系，结合5月已知售价列一元二次方程，最后结合降价率的实际取值范围（0＜r＜1）舍去不合理解，即可得到r的值。
【解析】
第一步：计算3月提价后的售价
礼盒原价为500元/盒，3月提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%) = 600$元/盒
第二步：列方程
设降价率为$r$，4月、5月在3月售价基础上连续两次降价后售价为486元/盒，可列方程：
$600(1-r)^2 = 486$
第三步：解方程并验根
方程两边同时除以600，得：
$(1-r)^2 = 0.81$
开平方得：$1-r = \pm0.9$
① 当$1-r=0.9$时，$r=0.1=10\%$，符合降价率的实际意义；
② 当$1-r=-0.9$时，$r=1.9$，降价率不能大于1，不符合实际，舍去。
【答案】
$10\%$
【知识点】
变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于变化率类的常规应用题，解题关键是准确区分提价、降价两个不同的变化阶段，正确套用变化率公式列方程，同时要注意结合实际意义对求解出的根进行取舍，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
解题需先梳理价格的变化流程：首先计算3月提价20%后的售价，提价后价格=原价×(1+提价率)；再根据4月、5月连续两次相同降价率的条件，利用“连续两次降价后价格=降价前基数×(1-降价率)²”的关系，结合5月已知售价列一元二次方程，最后结合降价率的实际取值范围（0＜r＜1）舍去不合理解，即可得到r的值。
【解析】
第一步：计算3月提价后的售价
礼盒原价为500元/盒，3月提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%) = 600$元/盒
第二步：列方程
设降价率为$r$，4月、5月在3月售价基础上连续两次降价后售价为486元/盒，可列方程：
$600(1-r)^2 = 486$
第三步：解方程并验根
方程两边同时除以600，得：
$(1-r)^2 = 0.81$
开平方得：$1-r = \pm0.9$
① 当$1-r=0.9$时，$r=0.1=10\%$，符合降价率的实际意义；
② 当$1-r=-0.9$时，$r=1.9$，降价率不能大于1，不符合实际，舍去。
【答案】
$10\%$
【知识点】
变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于变化率类的常规应用题，解题关键是准确区分提价、降价两个不同的变化阶段，正确套用变化率公式列方程，同时要注意结合实际意义对求解出的根进行取舍，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
14 新考向 探究题 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图，甲、乙分别从直径的两端点A，B按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程$l$(cm)与时间$t$(s)满足关系：$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t(t≥0)$，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆弧的长度为21 cm.
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
（第14题）
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
（第14题）答案
14. (1) 当$t=4$时,$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t=8+6=14$,$\therefore$ 甲运动4 s的路程是14 cm (2) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第一次相遇,运动的路程和为21 cm,则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_1=3,t_2=-14$(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了3 s (3) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第二次相遇,运动的路程和为三个半圆弧的长,则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_1=7,t_2=-18$(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了7 s
解析
【分析】
（1）第一问已知甲的路程与时间的函数关系式，直接将t=4代入关系式计算即可得到甲运动4s的路程。
（2）分析第一次相遇的路程关系：甲顺时针、乙逆时针运动，初始位置为直径两端，半圆弧长21cm，因此第一次相遇时两人走过的路程之和恰好等于半圆弧长，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
（3）分析第二次相遇的路程关系：第一次相遇后到第二次相遇，两人需要再共同走完一整圈（即2个半圆弧长），因此从出发到第二次相遇，两人总路程和为3个半圆弧长，同理列方程求解，舍去负根得到结果。
【解析】
（1）把$t=4$代入$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t$，得：
$l=\frac{1}{2}×4^2+\frac{3}{2}×4=8+6=14(\mathrm{cm})$
（2）设第一次相遇时运动了$t$ s，由题意得两人路程和为21 cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$
整理得$t^2+11t-42=0$，解得$t_1=3$，$t_2=-14$，因时间非负，舍去$t_2=-14$。
（3）设第二次相遇时运动了$t$ s，由题意得两人总路程和为$21×3=63$ cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=63$
整理得$t^2+11t-126=0$，解得$t_1=7$，$t_2=-18$，因时间非负，舍去$t_2=-18$。
【答案】
（1）14 cm；（2）3 s；（3）7 s
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合圆周运动的探究情境考查行程问题的实际应用，解题关键是准确分析不同相遇阶段两人的总路程和，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，能有效锻炼学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知甲的路程与时间的函数关系式，直接将t=4代入关系式计算即可得到甲运动4s的路程。
（2）分析第一次相遇的路程关系：甲顺时针、乙逆时针运动，初始位置为直径两端，半圆弧长21cm，因此第一次相遇时两人走过的路程之和恰好等于半圆弧长，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
（3）分析第二次相遇的路程关系：第一次相遇后到第二次相遇，两人需要再共同走完一整圈（即2个半圆弧长），因此从出发到第二次相遇，两人总路程和为3个半圆弧长，同理列方程求解，舍去负根得到结果。
【解析】
（1）把$t=4$代入$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t$，得：
$l=\frac{1}{2}×4^2+\frac{3}{2}×4=8+6=14(\mathrm{cm})$
（2）设第一次相遇时运动了$t$ s，由题意得两人路程和为21 cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$
整理得$t^2+11t-42=0$，解得$t_1=3$，$t_2=-14$，因时间非负，舍去$t_2=-14$。
（3）设第二次相遇时运动了$t$ s，由题意得两人总路程和为$21×3=63$ cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=63$
整理得$t^2+11t-126=0$，解得$t_1=7$，$t_2=-18$，因时间非负，舍去$t_2=-18$。
【答案】
（1）14 cm；（2）3 s；（3）7 s
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合圆周运动的探究情境考查行程问题的实际应用，解题关键是准确分析不同相遇阶段两人的总路程和，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，能有效锻炼学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
