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8. (2024春·松山区期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=4，PB=3，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则∠APB的度数为
$150°$
。答案
8.$150°$
9. (2024秋·海港区期末)已知:如图,$△ ABC$是边长3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到这点B时,P,Q两点停止,当$t=$
1或2
时,$△ PBQ$是直角三角形.答案
9.1或2
10. (2023秋·衡阳期末)勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$本身就是一个关于$a,b,c$的方程，满足这个方程的正整数解$(a,b,c)$通常叫作勾股数组。毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),\dots$。分析上面勾股数组可以发现，$4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),\dots$分析上面规律，第5个勾股数组为
(11,60,61)
。答案
10.(11,60,61)
11. (2025春·新华区期中)如图,一架无人机旋停在空中点A处,点A与地面上点B之间的距离AB=20米,点A与地面上点C(点B,C处于同一水平面上)的距离AC=25米,且BC=15米.
(1) 求∠ABC的度数；
(2) 现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处,若点D恰好在边AC的垂直平分线上,连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
(1) 求∠ABC的度数；
(2) 现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处,若点D恰好在边AC的垂直平分线上,连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
答案
11.(1) $\because AB^2+BC^2=20^2+15^2=625$,$AC^2=25^2=625$,$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,$∠ ABC=90°$；
(2) 设$AD=x$米,若点 D 恰好在边 AC 的垂直平分线上,则$CD=AD=x$米,$BD=(20-x)$米,在$\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$DC^2=BD^2+BC^2$,$\therefore x^2=(20-x)^2+15^2$,解得 $x=\frac{125}{8}$.答:这架无人机向下飞行的距离(AD 的长)为$\frac{125}{8}$米.
(2) 设$AD=x$米,若点 D 恰好在边 AC 的垂直平分线上,则$CD=AD=x$米,$BD=(20-x)$米,在$\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$DC^2=BD^2+BC^2$,$\therefore x^2=(20-x)^2+15^2$,解得 $x=\frac{125}{8}$.答:这架无人机向下飞行的距离(AD 的长)为$\frac{125}{8}$米.
12.（2024秋·高邮市期末）《周髀算经》成书时间大约在两汉之间，小明在读《周髀算经》时，看到了如下数表：
（1）请你用含n的代数式写出：a=
（2）以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？说明理由。
（1）请你用含n的代数式写出：a=
$n^2-1$
，b=$2n$
，c=$n^2+1$
；（2）以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？说明理由。
答案
12.(1) $n^2-1$,$2n$,$n^2+1$；
(2) 以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形,理由如下:$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形.
(2) 以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形,理由如下:$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形.
