9. 聚焦 中考 跨学科主题学习 「2025江苏宿迁宿城二模改编，★☆」如图，入射光线MN满足的一次函数关系式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，照射到平面镜(y轴)上的点N后，反射光线NP交x轴于点P，则点P的坐标为 ()

A.$(-2,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(-\frac{3}{2},0)$
D.$(-\frac{1}{2},0)$

9.B 如图,延长 $MN$ 交 $x$ 轴于点 $Q$,若 $y=0$,则$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$=0,
∴ $x=1$,
∴ $Q(1,0)$,由反射的性质可得$∠2=∠PNO$,
∵ $∠2 = ∠QNO$,
∴ $∠QNO = ∠PNO$,易得$△QNO≌△PNO$,
∴ $OQ=OP$,故点 $P(-1,0)$.故选 B.

10.「2025江苏扬州中考，★★」已知$m^{2025} + 2025m = 2025$，则一次函数$y=(1 - m)x + m$的图象不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

10.D

∵ $m^{2025} + 2 025m = 2 025$,
∴ $m＞0$ 且 $2 025m ＜2 025$,
∴ $0＜m＜1$,
∴ $1-m＞0$,
∴ 一次函数 $y=(1-m)x+m$ 的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选 D.

11.「2026江苏徐州睢宁月考，★☆」关于一次函数$y=kx+k+5(k≠0)$，给出下列说法，正确的是。（填序号）
①若点$A(m-1,y_1),B(m+3,y_2)$在该函数图象上，且$y_1＜y_2$，则$k＞0$；②若该函数图象不经过第二象限，则$k＜-5$；③该函数图象恒过定点$(-1,5)$；④若该函数图象向下平移5个单位得到的一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则$k=4$。

11.答案 ①③
解析 ①
∵ $m-1＜m+3$,$y_1＜y_2$,
∴ $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
∴ $k＞0$,故①说法正确.
②当 $k＞0$ 时,$k+5＞0$,函数图象经过第二象限;当 $k＜0$时,函数图象必经过第二象限,故②说法错误.
③【解法一】当 $x=-1$ 时,$y=k×(-1)+k+5=5$,
∴ 函数图象恒过定点$(-1,5)$,故③说法正确.
【解法二】$y=kx+k+5=k(x+1)+5$,当 $x=-1$ 时,$y$ 的取值与 $k$ 无关,此时 $y=5$,
∴ 函数图象恒过定点$(-1,5)$,故③说法正确.
④函数图象向下平移 5 个单位得到直线 $y=kx+k$,当 $x=0$ 时,$y=k$,故与 $y$ 轴交于点$(0,k)$,
当 $y=0$ 时,$kx+k=0$,解得 $x=-1$,故与 $x$ 轴交于点$(-1,0)$,故围成的三角形面积为$\frac{1}{2}×|k|×1=\frac{|k|}{2}$,
令$\frac{|k|}{2}=2$,得$|k|=4$,即 $k=4$ 或 $k=-4$,故④说法错误.
综上所述,说法正确的有①③,故答案为①③.

12. 核心素养 推理能力 「2026江苏连云港期末改编」如图,一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.
(1)求点$A,B$的坐标.
(2)若点$C$是坐标轴上一点,且$CA=CB$,求点$C$的坐标.
(3)$x$轴上$A$点右侧有一点$D$,当$∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ BAO$时,请直接写出符合条件的$D$点坐标.

12.解析 (1)当 $y=0$ 时,$-\frac{4}{3}x+4=0$,解得 $x=3$,
∴ 点 $A$ 的坐标为$(3,0)$;
当 $x=0$ 时,$y=4$,
∴ 点 $B$ 的坐标为$(0,4)$.
(2)如图1,当点 $C$ 在 $x$ 轴上时,设 $C(x,0)$,连接 $BC$.
∵ $A(3,0)$,$B(0,4)$,
∴ $CA^2=(3-x)^2$,$CB^2=x^2+4^2$,
∵ $CA^2=CB^2$,
∴ $(3-x)^2=x^2+4^2$,解得 $x=-\frac{7}{6}$,
∴ $C(-\frac{7}{6},0)$.
如图2,当点 $C$ 在 $y$ 轴上时,设 $C(0,y)$,连接 $AC$.
∵ $A(3,0)$,$B(0,4)$,
∴ $CA^2=3^2+y^2$,$CB^2=(4-y)^2$,
∵ $CA^2=CB^2$,
∴ $3^2+y^2=(4-y)^2$,解得 $y=\frac{7}{8}$,
∴ $C(0,\frac{7}{8})$.
综上所述,点 $C$ 的坐标为$(-\frac{7}{6},0)$或$(0,\frac{7}{8})$.
(3)$D(8,0)$.详解:如图3,
∵ $A(3,0)$,$B(0,4)$,
∴ $AB=5$.
∵ $∠BAO=∠ABD+∠ADB$,
$∠ABD=\frac{1}{2}∠BAO$,
∴ $∠ABD=∠ADB$,
∴ $AD=AB=5$,
∴ $D$ 点的坐标为$(8,0)$.

1. 学科
特色
多解法「2026江苏盐城鹿鸣路初级中学月考」将一次函数$y=x+3$的图象以$y$轴为对称轴进行翻折，翻折后的图象对应的函数表达式是。

1.答案 $y=-x+3$
解析 【解法一】待定系数法:设翻折后的函数图象表达式是 $y=kx+b$,点$(m,n)$是该图象上的点,则点$(-m,n)$是一次函数 $y=x+3$ 的图象上一点,
∴ $n=-m+3$,将点$(m,-m+3)$代入 $y=kx+b$,得 $km+b=-m+3$,该等式恒成立,故 $k=-1,b=3$,
∴ 翻折后的图象对应的函数表达式是 $y=-x+3$.
【解法二】令 $x=0$,则 $y=x+3=3$,令 $y=0$,则 $x=-3$,即一次函数 $y=x+3$ 的图象上有两点$(0,3)$,$(-3,0)$,这两点关于 $y$ 轴的对称点分别为$(0,3)$,$(3,0)$,由翻折的性质可得点$(0,3)$,$(3,0)$在翻折后的一次函数图象上,设所求函数表达式为 $y=px+q$,将$(0,3)$,$(3,0)$分别代入 $y=px+q$,得$\begin{cases}3=q,\\0=3p+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-1,\\q=3,\end{cases}$
∴ 翻折后的图象对应的函数表达式是 $y=-x+3$.

2.「2026江苏南京玄武外国语学校月考」一次函数$y=2x-b$的图象向左平移8个单位后经过点$(1,2)$，则$b$的值为。

2.答案 16
解析 将一次函数 $y=2x-b$ 的图象向左平移 8 个单位后得到直线 $y=2(x+8)-b=2x+16-b$,将$(1,2)$代入,得 $2=2×1+16-b$,解得 $b=16$.

3.「2026江苏扬州宝应月考」如图，点A(0,4),B(2,6),C(3,3)在平面直角坐标系中，将直线$y=\frac{1}{2}x$向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线A—B—C只有一个交点时，满足条件的n的取值范围为。

3.答案 $\frac{3}{2}≤n＜4$ 或 $n=5$
解析 将直线$y=\frac{1}{2}x$向上平移 $n$ 个单位长度,得到直线$y=\frac{1}{2}x+n$,
将$(0,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+n$,得 $n=4$,将$(2,6)$代入$y=\frac{1}{2}x+n$,解得 $n=5$,将$(3,3)$代入$y=\frac{1}{2}x+n$,解得 $n=\frac{3}{2}$,
如图,由示意图可知,当平移后的直线与折线 $A—B—C$只有一个交点时,$\frac{3}{2}≤n＜4$ 或 $n=5$.

4.学科特色 一线三等角模型 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=3x+3$与坐标轴分别交于A,B两点,将直线AB绕点A逆时针旋转$45°$,则旋转后的直线与x轴的交点坐标为.

4.答案 $(\frac{3}{2},0)$
解析 设直线 $y=3x+3$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45°$得到直线 $AC$:$y=kx+b(k≠0)$,
如图,过点 $B$ 作 $BC⊥AB$ 交 $AC$ 于点 $C$,过点 $C$ 作 $CD⊥x$ 轴于点 $D$,
∵ 直线 $y=3x+3$ 与坐标轴分别交于$A,B$两点,当 $x=0$ 时,$y=3$,当 $y=0$时,$x=-1$,
∴ $A(0,3)$,$B(-1,0)$,
∴ $OA=3$,$OB=1$,
∵ $∠BAC=45°$,$∠ABC=90°$,
∴ $△ABC$ 为等腰直角三角形,
∴ $AB=BC$,
∵ $∠AOB=∠ABC=90°$,
∴ $∠BAO+∠ABO=∠ABO+∠DBC=90°$,
∴ $∠BAO=∠DBC$,
∵ $∠AOB=∠BDC=90°$,
∴ $△ABO≌△BCD(AAS)$,
∴ $OB=DC=1$,$OA=DB=3$,
∴ $OD=BD-OB=3-1=2$,
∴ $C(2,-1)$,
将$(0,3)$,$(2,-1)$代入 $y=kx+b(k≠0)$,
得$\begin{cases}b=3,\\2k+b=-1,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
∴ $y=-2x+3$,当 $y=0$ 时,$x=\frac{3}{2}$,
∴ 旋转后的直线与 $x$ 轴的交点坐标为$(\frac{3}{2},0)$.

5.「2025江苏淮安中考」如图,直线$l_1:y=-x+6$经过点$A(1,a)$,将$l_1$绕$A$点顺时针旋转,旋转角为$α(45°＜α＜135°)$,得到直线$l_2$,点$B(m,n)$在$l_2$上,若$m＞1$,则$n$的值可以是.(填写一个值即可)

5.答案 6 (答案不唯一,大于5均可)
解析

∵ 直线$l_1$:$y=-x+6$ 经过点 $A(1,a)$,
∴ $a=-1+6=5$,即 $A(1,5)$,
设直线$l_1$分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于 $D,C$ 两点,
当 $x=0$ 时,$y=6$;当 $y=0$ 时,$x=6$,
即 $D(6,0)$,$C(0,6)$,
∴ $OD=OC=6$,
∴ $∠ODC=∠OCD=45°$,
过点 $A$ 分别作直线 $EF⊥x$ 轴,交 $x$ 轴于点 $F$,直线 $MN⊥y$ 轴,交 $y$ 轴于点 $M$,如图,
则 $EF//y$ 轴,$∠MAF=90°$,$M(0,5)$,
∴ $∠DAF=∠OCD=45°$,
∴ $∠MAD=∠DAF+∠MAF=45°+90°=135°$,
∵ 直线$l_1$绕 $A$ 点顺时针旋转,旋转角为 $α(45°＜α＜135°)$,
∴ 直线$l_2$的位置如图所示,
∵ 点 $B(m,n)$在直线$l_2$上,$m＞1$,
∴ $n＞5$,
故答案可以为6.(答案不唯一,大于5均可)