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1.(2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1.D
解析
【分析】
解答这道题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算两根之和与两根之积，也可以通过直接解方程求根后验证。解题步骤如下：第一步先明确一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目中方程的$a、b、c$的值，注意系数的符号；第二步根据韦达定理的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$分别计算两根之和与两根之积；第三步将计算结果和四个选项对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，先确定各项系数：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
逐一核对选项：
A选项$x_1+x_2=-4$，与计算结果4不符，错误；
B选项$x_1+x_2=3$，与计算结果4不符，错误；
C选项$x_1x_2=4$，与计算结果3不符，错误；
D选项$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
（也可通过因式分解解方程验证：$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，则$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确）
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握情况，解题时要注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误，若对韦达定理记忆不牢，也可通过直接求根的方法验证结果，解题思路灵活。
【难度系数】
0.9
解答这道题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算两根之和与两根之积，也可以通过直接解方程求根后验证。解题步骤如下：第一步先明确一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目中方程的$a、b、c$的值，注意系数的符号；第二步根据韦达定理的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$分别计算两根之和与两根之积；第三步将计算结果和四个选项对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，先确定各项系数：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
逐一核对选项：
A选项$x_1+x_2=-4$，与计算结果4不符，错误；
B选项$x_1+x_2=3$，与计算结果4不符，错误；
C选项$x_1x_2=4$，与计算结果3不符，错误；
D选项$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
（也可通过因式分解解方程验证：$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，则$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确）
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握情况，解题时要注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误，若对韦达定理记忆不牢，也可通过直接求根的方法验证结果，解题思路灵活。
【难度系数】
0.9
2. 下列一元二次方程中，两根之和为－4 的是 （
A.$x^2 -4x +4=0$
B.$x^2 +2x -4=0$
C.$x^2 +4x -5=0$
D.$x^2 +4x +10=0$
C
）A.$x^2 -4x +4=0$
B.$x^2 +2x -4=0$
C.$x^2 +4x -5=0$
D.$x^2 +4x +10=0$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心依据：一是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），二是韦达定理的适用前提——方程必须有两个实数根，即判别式$\Delta≥0$。解题思路如下：第一步回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，判别式$\Delta=b^2-4ac$；第二步逐个验证选项，先判断方程是否有实根，再计算两根之和是否等于$-4$，同时满足两个条件的即为正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐个分析选项：
选项A：$x^2-4x+4=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除；
选项B：$x^2+2x-4=0$中，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求，排除；
选项C：$x^2+4x-5=0$中，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，有两个实数根，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求；
选项D：$x^2+4x+10=0$中，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，无实数根，不存在两根之和，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础考查题，解题时要注意不能直接忽略判别式计算根的和，只有方程存在两个实根时，韦达定理才成立，否则容易错选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心依据：一是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），二是韦达定理的适用前提——方程必须有两个实数根，即判别式$\Delta≥0$。解题思路如下：第一步回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，判别式$\Delta=b^2-4ac$；第二步逐个验证选项，先判断方程是否有实根，再计算两根之和是否等于$-4$，同时满足两个条件的即为正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐个分析选项：
选项A：$x^2-4x+4=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除；
选项B：$x^2+2x-4=0$中，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求，排除；
选项C：$x^2+4x-5=0$中，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，有两个实数根，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求；
选项D：$x^2+4x+10=0$中，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，无实数根，不存在两根之和，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础考查题，解题时要注意不能直接忽略判别式计算根的和，只有方程存在两个实根时，韦达定理才成立，否则容易错选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
3.(1)设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-4=0$的两根，则$x_1+x_2=$
(2)已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-7x+4=0$的两根，则$x_1+x_2=$
(3)已知一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=$
(4)(2025·徐州沛县三模)已知方程$x^2-5x-2=0$的两个根分别为$x_1,x_2$，则$x_1^2x_2+x_1x_2^2$的值为
3
，$x_1x_2=$-4
；(2)已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-7x+4=0$的两根，则$x_1+x_2=$
$\frac{7}{2}$
，$x_1x_2=$2
；(3)已知一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=$
$\frac{3}{2}$
，$x_1x_2=$$\frac{1}{2}$
；(4)(2025·徐州沛县三模)已知方程$x^2-5x-2=0$的两个根分别为$x_1,x_2$，则$x_1^2x_2+x_1x_2^2$的值为
-10
。答案
3.(1)3 -4 (2)$\frac{7}{2}$ 2 (3)$\frac{3}{2}$ $\frac{1}{2}$ (4)-10
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先牢记韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。(1)(2)(3)小问可直接找准对应a、b、c的值代入公式计算；(4)小问需要先将所求代数式因式分解为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理的结果计算即可。
【解析】
首先明确一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2-3x-4=0$中，$a=1,b=-3,c=-4$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-4}{1}=-4$；
(2) 方程$2x^2-7x+4=0$中，$a=2,b=-7,c=4$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{4}{2}=2$；
(3) 方程$2x^2-3x+1=0$中，$a=2,b=-3,c=1$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$；
(4) 先对所求代数式因式分解：$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$，
方程$x^2-5x-2=0$中，$a=1,b=-5,c=-2$，则$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$，
代入得原式$=5×(-2)=-10$。
【答案】
(1)3；-4 (2)$\frac{7}{2}$；2 (3)$\frac{3}{2}$；$\frac{1}{2}$ (4)-10
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，前3小问为公式的直接识记应用，第4小问为常见的代数式变形应用，整体考查方向基础，掌握对应公式和因式分解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先牢记韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。(1)(2)(3)小问可直接找准对应a、b、c的值代入公式计算；(4)小问需要先将所求代数式因式分解为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理的结果计算即可。
【解析】
首先明确一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2-3x-4=0$中，$a=1,b=-3,c=-4$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{-4}{1}=-4$；
(2) 方程$2x^2-7x+4=0$中，$a=2,b=-7,c=4$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，$x_1x_2=\frac{4}{2}=2$；
(3) 方程$2x^2-3x+1=0$中，$a=2,b=-3,c=1$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$；
(4) 先对所求代数式因式分解：$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$，
方程$x^2-5x-2=0$中，$a=1,b=-5,c=-2$，则$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$，
代入得原式$=5×(-2)=-10$。
【答案】
(1)3；-4 (2)$\frac{7}{2}$；2 (3)$\frac{3}{2}$；$\frac{1}{2}$ (4)-10
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，前3小问为公式的直接识记应用，第4小问为常见的代数式变形应用，整体考查方向基础，掌握对应公式和因式分解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
4.若$a,b$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个根,求下列各式的值:
(1)$(a+1)(b+1)$;
(2)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$;
(3)$a^2 +b^2$.
(1)$(a+1)(b+1)$;
(2)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$;
(3)$a^2 +b^2$.
答案
4.解:$\because a,b$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个根，$\therefore a+b=3,ab=-2.$
(1)$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-2+3+1=2.$
(2)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.$
(3)$a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab=3^2 -2×(-2)=13.$
(1)$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-2+3+1=2.$
(2)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.$
(3)$a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab=3^2 -2×(-2)=13.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；第二步，将每一问的待求代数式通过展开、通分、公式变形等方式，转化为只含有$a+b$和$ab$的形式；第三步，将$a+b$和$ab$的数值代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可大幅简化计算过程。
【解析】
$\because a,b$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$a+b=3,ab=-2$。
(1) 展开代数式得：
$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=-2+3+1=2$。
(2) 通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$。
(3) 由完全平方公式变形得：
$a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=3^2 -2×(-2)=13$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{-\dfrac{3}{2}}$；(3) $\boxed{13}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求代数式转化为仅含两根和、两根积的形式，避免求解方程的根，简化运算过程，主要考查对韦达定理的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；第二步，将每一问的待求代数式通过展开、通分、公式变形等方式，转化为只含有$a+b$和$ab$的形式；第三步，将$a+b$和$ab$的数值代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可大幅简化计算过程。
【解析】
$\because a,b$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个根，根据根与系数的关系可得：
$a+b=3,ab=-2$。
(1) 展开代数式得：
$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=-2+3+1=2$。
(2) 通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$。
(3) 由完全平方公式变形得：
$a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab$，代入$a+b=3,ab=-2$得：
原式$=3^2 -2×(-2)=13$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{-\dfrac{3}{2}}$；(3) $\boxed{13}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求代数式转化为仅含两根和、两根积的形式，避免求解方程的根，简化运算过程，主要考查对韦达定理的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7
5. 下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是 （
A.$2x^2 - 3x + 1 = 0$
B.$x^2 - x + 1 = 0$
C.$x^2 + x - 1 = 0$
D.$x^2 - 3x + 1 = 0$
D
）A.$2x^2 - 3x + 1 = 0$
B.$x^2 - x + 1 = 0$
C.$x^2 + x - 1 = 0$
D.$x^2 - 3x + 1 = 0$
答案
5.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否存在两个互为倒数的实数根，需同时满足两个核心条件：第一，方程有两个实数根，即判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$；第二，两根乘积为1（互为倒数的两个数乘积为1），结合韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之积为$\frac{c}{a}$，因此只需先筛选出满足$\frac{c}{a}=1$的选项，再验证对应方程的判别式是否非负即可快速得到答案。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$：
若两根互为倒数，则$x_1x_2=1$，由韦达定理得$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即$\frac{c}{a}=1$，也就是$c=a$；
同时方程要有两个实根，需满足$\Delta = b^2-4ac≥0$。
逐一分析选项：
A选项：$a=2,c=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求，排除；
B选项：$a=1,c=1$，$\frac{c}{a}=1$，但$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实根，排除；
C选项：$a=1,c=-1$，$\frac{c}{a}=-1≠1$，不符合要求，排除；
D选项：$a=1,c=1$，$\frac{c}{a}=1$，且$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，有两个不等实根，满足所有条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 倒数的性质
【点评】
本题是根的判别式与韦达定理的综合基础题，解题时需注意先确认方程有实根的前提，切勿只看两根乘积符合条件就直接选择，避免误选无实根的B选项。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程是否存在两个互为倒数的实数根，需同时满足两个核心条件：第一，方程有两个实数根，即判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$；第二，两根乘积为1（互为倒数的两个数乘积为1），结合韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之积为$\frac{c}{a}$，因此只需先筛选出满足$\frac{c}{a}=1$的选项，再验证对应方程的判别式是否非负即可快速得到答案。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$：
若两根互为倒数，则$x_1x_2=1$，由韦达定理得$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即$\frac{c}{a}=1$，也就是$c=a$；
同时方程要有两个实根，需满足$\Delta = b^2-4ac≥0$。
逐一分析选项：
A选项：$a=2,c=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求，排除；
B选项：$a=1,c=1$，$\frac{c}{a}=1$，但$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实根，排除；
C选项：$a=1,c=-1$，$\frac{c}{a}=-1≠1$，不符合要求，排除；
D选项：$a=1,c=1$，$\frac{c}{a}=1$，且$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，有两个不等实根，满足所有条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 倒数的性质
【点评】
本题是根的判别式与韦达定理的综合基础题，解题时需注意先确认方程有实根的前提，切勿只看两根乘积符合条件就直接选择，避免误选无实根的B选项。
【难度系数】
0.7
6.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两根为$x_1,x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为 （
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A
）A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，据此先求出题干方程的两根和与两根积（用含$p$的代数式表示）；第二步，将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式；第三步，将第一步得到的两根和、积代入变形后的等式，解出$p$的值，最后验证判别式确保方程有两个实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$，其中$a=1,b=2,c=p$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=p$。
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=p$代入得：
$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，方程判别式$\Delta=2^2-4×1×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是将所求的倒数和代数式转化为两根之和、两根之积的形式再代入计算，掌握韦达定理和基础分式变形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，据此先求出题干方程的两根和与两根积（用含$p$的代数式表示）；第二步，将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根和、两根积表示的形式；第三步，将第一步得到的两根和、积代入变形后的等式，解出$p$的值，最后验证判别式确保方程有两个实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$，其中$a=1,b=2,c=p$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=p$。
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=p$代入得：
$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，方程判别式$\Delta=2^2-4×1×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是将所求的倒数和代数式转化为两根之和、两根之积的形式再代入计算，掌握韦达定理和基础分式变形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.关于$x$的一元二次方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$的两实数根互为相反数，则该方程的两根之积为
0
.答案
7.0
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的两根之积，已知两实根互为相反数，解题思路如下：1. 结合相反数的性质，可知两根之和为0；2. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），根据两根之和为0列方程求出参数a的可能取值；3. 注意题中明确方程有两个实数根，因此需要代入根的判别式验证，舍去不符合条件的a值；4. 最后将符合条件的a代入两根之积的表达式，即可得到结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两实数根互为相反数，可得$x_1+x_2=0$。
2. 根据韦达定理，对于方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$，两根之和$x_1+x_2=-(a^2-3a)$，因此列方程：
$-(a^2-3a)=0$
整理得$a^2-3a=0$，因式分解得$a(a-3)=0$，解得$a=0$或$a=3$。
3. 验证根的判别式：方程有两个实数根需满足$\Delta≥0$，其中$\Delta=(a^2-3a)^2-4×1× a$。
当$a=3$时，$\Delta=(9-9)^2-4×3=-12＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=0$时，$\Delta=(0-0)^2-4×0=0$，方程有两个相等的实数根，符合题意。
4. 由韦达定理可知，两根之积$x_1x_2=a$，代入$a=0$，得两根之积为$0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 相反数的性质
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础题，解题的易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，未通过判别式验证参数的取值，导致出现多解错误，做题时要养成检验参数合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
本题要求一元二次方程的两根之积，已知两实根互为相反数，解题思路如下：1. 结合相反数的性质，可知两根之和为0；2. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），根据两根之和为0列方程求出参数a的可能取值；3. 注意题中明确方程有两个实数根，因此需要代入根的判别式验证，舍去不符合条件的a值；4. 最后将符合条件的a代入两根之积的表达式，即可得到结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两实数根互为相反数，可得$x_1+x_2=0$。
2. 根据韦达定理，对于方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$，两根之和$x_1+x_2=-(a^2-3a)$，因此列方程：
$-(a^2-3a)=0$
整理得$a^2-3a=0$，因式分解得$a(a-3)=0$，解得$a=0$或$a=3$。
3. 验证根的判别式：方程有两个实数根需满足$\Delta≥0$，其中$\Delta=(a^2-3a)^2-4×1× a$。
当$a=3$时，$\Delta=(9-9)^2-4×3=-12＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=0$时，$\Delta=(0-0)^2-4×0=0$，方程有两个相等的实数根，符合题意。
4. 由韦达定理可知，两根之积$x_1x_2=a$，代入$a=0$，得两根之积为$0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 相反数的性质
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础题，解题的易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，未通过判别式验证参数的取值，导致出现多解错误，做题时要养成检验参数合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
若一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两根为$m,n$,则$3m^2 - 4m + n^2$的值为
6
.答案
8.6
9.若一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为
12
。答案
9.12
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路清晰：首先根据一元二次方程的系数求出两根之和，再结合题目给出的两根的倍数关系，分别计算出两个根的具体值，最后利用两根之积与系数的关系即可求出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-8$，常数项$c=m$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$；
两根之积：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子中，得$3x_2 + x_2 = 8$，即$4x_2=8$，解得$x_2=2$。
因此$x_1=3x_2=3×2=6$。
将$x_1=6$、$x_2=2$代入两根之积的式子，得$m = x_1 · x_2 = 6×2=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，结合已知的两根数量关系即可快速求解，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路清晰：首先根据一元二次方程的系数求出两根之和，再结合题目给出的两根的倍数关系，分别计算出两个根的具体值，最后利用两根之积与系数的关系即可求出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-8$，常数项$c=m$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$；
两根之积：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子中，得$3x_2 + x_2 = 8$，即$4x_2=8$，解得$x_2=2$。
因此$x_1=3x_2=3×2=6$。
将$x_1=6$、$x_2=2$代入两根之积的式子，得$m = x_1 · x_2 = 6×2=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，结合已知的两根数量关系即可快速求解，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
