10.(2025·南通期末)已知关于$x$的方程$(k-1)x^2+(2k-3)x+k+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在实数$k$,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出$k$的值;如果不存在,请说明理由.

10.解:(1)由题意,得$k-1≠0$且$b^2-4ac=-12k+13＞0$,解得$k＜\frac{13}{12}$且$k≠1$.
(2)不存在.理由:假设存在两根互为相反数,则$x_1+x_2=0,\therefore \frac{-(2k-3)}{k-1}=0,\therefore k=\frac{3}{2}$.
又$\because k＜\frac{13}{12}$且$k≠1$,$\therefore k$不存在.

11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空:$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$;
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},x_1+\frac{1}{x_1}$的值;
(3)已知$x_1^2 + x_2^2=2p+1$,求$p$的值.

11.(1)$p$ 1
(2)解:$\because x_1+x_2=p,x_1x_2=1$,
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
$\therefore x_1^2 - px_1 +1=0,\therefore x_1 - p + \frac{1}{x_1}=0$,即$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)解:$\because x_1^2 + x_2^2=2p+1$,
$\therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2=2p+1$.
$\because x_1+x_2=p,x_1x_2=1$,
$\therefore p^2 -2=2p+1$,解得$p_1=3,p_2=-1$.
当$p=3$时,$b^2-4ac=p^2-4=9-4=5＞0$;
当$p=-1$时,$b^2-4ac=p^2-4=-3＜0$,不合题意.
$\therefore p=3$.

12.已知$α,β(α＞β)$是一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根，$s_1 = α + β$，$s_2 = α^2 + β^2$，…，$s_n = α^n + β^n$.
(1)直接写出$s_1,s_2$的值：$s_1 =$ ，$s_2 =$ ；
(2)经计算可得$s_3 = 4$，$s_4 =7$，$s_5=11$，当$n≥3$时，请猜想$s_n,s_{n-1},s_{n-2}$之间满足的数量关系，并给出证明.

12.(1)1 3
(2)解:猜想 $s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$. 证明如下:
根据题意,得 $α^2 - α -1=0$,
两边都乘 $α^{n-2}$,得 $α^n - α^{n-1} - α^{n-2}=0$. ①
同理,$β^n - β^{n-1} - β^{n-2}=0$. ②
①+②,得$(α^n + β^n)-(α^{n-1} + β^{n-1})-(α^{n-2} + β^{n-2})=0$.
因为 $s_n=α^n + β^n$,$s_{n-1}=α^{n-1} + β^{n-1}$,$s_{n-2}=α^{n-2} + β^{n-2}$,
所以 $s_n - s_{n-1} - s_{n-2}=0$,即 $s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$.