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1.一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题为不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验为等可能的不放回两次摸球试验，适合用树状图或列表法列举所有等可能的结果；接着筛选出“两次摸到的球恰好有一个红球”的符合条件的结果；最后根据概率公式计算所求概率即可，解题时要注意区分“不放回”和“放回”的差异，避免多算重复结果。
【解析】
用树状图列举所有等可能的结果：
第一次摸球有3种可能：红、白、绿
若第一次摸出红球，第二次只能摸出白球或绿球，得到2种结果：(红,白)、(红,绿)
若第一次摸出白球，第二次只能摸出红球或绿球，得到2种结果：(白,红)、(白,绿)
若第一次摸出绿球，第二次只能摸出红球或白球，得到2种结果：(绿,红)、(绿,白)
综上，总共有$3×2=6$种等可能的结果。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果有：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)，共4种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；不放回事件概率；概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确梳理不放回试验的所有可能结果，避免将“不放回”误判为“放回”导致计算错误，熟练掌握树状图或列表法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题为不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验为等可能的不放回两次摸球试验，适合用树状图或列表法列举所有等可能的结果；接着筛选出“两次摸到的球恰好有一个红球”的符合条件的结果；最后根据概率公式计算所求概率即可，解题时要注意区分“不放回”和“放回”的差异，避免多算重复结果。
【解析】
用树状图列举所有等可能的结果：
第一次摸球有3种可能：红、白、绿
若第一次摸出红球，第二次只能摸出白球或绿球，得到2种结果：(红,白)、(红,绿)
若第一次摸出白球，第二次只能摸出红球或绿球，得到2种结果：(白,红)、(白,绿)
若第一次摸出绿球，第二次只能摸出红球或白球，得到2种结果：(绿,红)、(绿,白)
综上，总共有$3×2=6$种等可能的结果。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果有：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)，共4种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；不放回事件概率；概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确梳理不放回试验的所有可能结果，避免将“不放回”误判为“放回”导致计算错误，熟练掌握树状图或列表法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.(宿城区一模)小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色.她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 (
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{5}{6}$
C
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是两步试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步明确试验的两个步骤：选帽子有3种等可能结果，选围巾有2种等可能结果；第二步通过列表法或树状图法列举出所有搭配的等可能结果；第三步统计符合“红色帽子和红色围巾”的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
我们可以通过列表法列出所有等可能的搭配情况：
|帽子\围巾|白色|红色|
|---|---|---|
|白色|白帽+白围|白帽+红围|
|红色|红帽+白围|红帽+红围|
|粉色|粉帽+白围|粉帽+红围|
由上表可得，共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础题，解题核心是正确列举出所有等可能的事件结果，再代入公式计算即可，是概率板块的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
本题是两步试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步明确试验的两个步骤：选帽子有3种等可能结果，选围巾有2种等可能结果；第二步通过列表法或树状图法列举出所有搭配的等可能结果；第三步统计符合“红色帽子和红色围巾”的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
我们可以通过列表法列出所有等可能的搭配情况：
|帽子\围巾|白色|红色|
|---|---|---|
|白色|白帽+白围|白帽+红围|
|红色|红帽+白围|红帽+红围|
|粉色|粉帽+白围|粉帽+红围|
由上表可得，共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础题，解题核心是正确列举出所有等可能的事件结果，再代入公式计算即可，是概率板块的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
3.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“
”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确每个小正方形的涂色结果是独立的，均有黑、白2种选择，我们需要先统计所有等可能的涂色总结果数，再统计恰好为两黑一白的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：首先列举所有等可能的涂色结果，记黑色为黑，白色为白，三个小正方形从左到右的涂色结果共有以下8种：
（黑，黑，黑）、（黑，黑，白）、（黑，白，黑）、（黑，白，白）、（白，黑，黑）、（白，黑，白）、（白，白，黑）、（白，白，白）
其中满足“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的结果有：（黑，黑，白）、（黑，白，黑）、（白，黑，黑），共3种。
根据概率计算公式，所求概率为 $\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、枚举法计数
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是不重不漏地枚举出所有等可能的结果，掌握简单的计数方法就能快速求解，也可以通过分步乘法计数原理快速得到总结果数，避免枚举遗漏。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确每个小正方形的涂色结果是独立的，均有黑、白2种选择，我们需要先统计所有等可能的涂色总结果数，再统计恰好为两黑一白的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：首先列举所有等可能的涂色结果，记黑色为黑，白色为白，三个小正方形从左到右的涂色结果共有以下8种：
（黑，黑，黑）、（黑，黑，白）、（黑，白，黑）、（黑，白，白）、（白，黑，黑）、（白，黑，白）、（白，白，黑）、（白，白，白）
其中满足“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的结果有：（黑，黑，白）、（黑，白，黑）、（白，黑，黑），共3种。
根据概率计算公式，所求概率为 $\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、枚举法计数
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是不重不漏地枚举出所有等可能的结果，掌握简单的计数方法就能快速求解，也可以通过分步乘法计数原理快速得到总结果数，避免枚举遗漏。
【难度系数】
0.7
4.“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分.某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本)开展“名著共读”活动,则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
4.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道不放回抽样的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的抽取结果总数，本题是从4本名著中不放回抽取2本，第一次抽取有4种选择，不放回后第二次抽取只剩3种选择，可通过列举、树状图或组合法统计总结果数；其次找出“恰好抽到《三国演义》和《西游记》”的符合条件的结果数；最后代入古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
我们将四本名著分别记为：A《红楼梦》、B《水浒传》、C《三国演义》、D《西游记》。
方法1：用列举法统计所有结果
不放回抽取两本的所有等可能有序结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共12种。
其中恰好抽到C和D的结果有(C,D)、(D,C)，共2种。
代入概率公式得：$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
方法2：用组合法统计（不考虑抽取顺序）
从4本名著中任选2本的组合数为$\mathrm{C}_{4}^{2}=\frac{4×3}{2×1}=6$种等可能结果，其中恰好是《三国演义》和《西游记》的组合只有1种，因此$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型概率计算、不放回抽样、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，核心是准确区分放回与不放回抽样的差异，正确统计总结果数和符合要求的结果数，用列举法、树状图法、组合法均可快速求解，是概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽样的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的抽取结果总数，本题是从4本名著中不放回抽取2本，第一次抽取有4种选择，不放回后第二次抽取只剩3种选择，可通过列举、树状图或组合法统计总结果数；其次找出“恰好抽到《三国演义》和《西游记》”的符合条件的结果数；最后代入古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
我们将四本名著分别记为：A《红楼梦》、B《水浒传》、C《三国演义》、D《西游记》。
方法1：用列举法统计所有结果
不放回抽取两本的所有等可能有序结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共12种。
其中恰好抽到C和D的结果有(C,D)、(D,C)，共2种。
代入概率公式得：$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
方法2：用组合法统计（不考虑抽取顺序）
从4本名著中任选2本的组合数为$\mathrm{C}_{4}^{2}=\frac{4×3}{2×1}=6$种等可能结果，其中恰好是《三国演义》和《西游记》的组合只有1种，因此$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型概率计算、不放回抽样、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，核心是准确区分放回与不放回抽样的差异，正确统计总结果数和符合要求的结果数，用列举法、树状图法、组合法均可快速求解，是概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5.(2025·宿迁期末)从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率.
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
(2)任意选取2名学生参加比赛，求乙被选中的概率.(用画树状图或列表的方法求解)
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)任意选取2名学生参加比赛，求乙被选中的概率.(用画树状图或列表的方法求解)
答案
5.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | | 甲、乙 | 甲、丙 | 甲、丁 |
| 乙 | 乙、甲 | | 乙、丙 | 乙、丁 |
| 丙 | 丙、甲 | 丙、乙 | | 丙、丁 |
| 丁 | 丁、甲 | 丁、乙 | 丁、丙 | |
由表可知,一共有12种等可能的结果,其中乙被选中的结果有6种,所以乙被选中的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2)解:列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | | 甲、乙 | 甲、丙 | 甲、丁 |
| 乙 | 乙、甲 | | 乙、丙 | 乙、丁 |
| 丙 | 丙、甲 | 丙、乙 | | 丙、丁 |
| 丁 | 丁、甲 | 丁、乙 | 丁、丙 | |
由表可知,一共有12种等可能的结果,其中乙被选中的结果有6种,所以乙被选中的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知甲确定参加比赛，此时只需从剩余乙、丙、丁3名学生中选1人，总共有3种等可能的选择结果，其中恰好选到丙的结果只有1种，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 求解第二问时，首先用列表法枚举所有选取2名学生的等可能结果，统计出总结果数，再统计出包含乙的结果数，最后代入概率公式计算即可，列表时要注意避免重复、遗漏情况。
【解析】
(1) 甲一定参加比赛，剩余可选学生共3名，从中任意选1名，共有3种等可能的结果，其中恰好选中丙的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表枚举所有等可能的选取结果如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | | 甲、乙 | 甲、丙 | 甲、丁 |
| 乙 | 乙、甲 | | 乙、丙 | 乙、丁 |
| 丙 | 丙、甲 | 丙、乙 | | 丙、丁 |
| 丁 | 丁、甲 | 丁、乙 | 丁、丙 | |
由表可知，一共有12种等可能的结果，其中乙被选中的结果有6种，所以乙被选中的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是一步概率计算，直接套用公式即可求解；第二问需要通过列表法完整枚举所有等可能结果，再统计符合条件的结果计算概率，掌握列表或树状图的枚举方法是解题核心，解题时注意不要重复、遗漏计数。
【难度系数】
0.8
(1) 已知甲确定参加比赛，此时只需从剩余乙、丙、丁3名学生中选1人，总共有3种等可能的选择结果，其中恰好选到丙的结果只有1种，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 求解第二问时，首先用列表法枚举所有选取2名学生的等可能结果，统计出总结果数，再统计出包含乙的结果数，最后代入概率公式计算即可，列表时要注意避免重复、遗漏情况。
【解析】
(1) 甲一定参加比赛，剩余可选学生共3名，从中任意选1名，共有3种等可能的结果，其中恰好选中丙的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表枚举所有等可能的选取结果如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | | 甲、乙 | 甲、丙 | 甲、丁 |
| 乙 | 乙、甲 | | 乙、丙 | 乙、丁 |
| 丙 | 丙、甲 | 丙、乙 | | 丙、丁 |
| 丁 | 丁、甲 | 丁、乙 | 丁、丙 | |
由表可知，一共有12种等可能的结果，其中乙被选中的结果有6种，所以乙被选中的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是一步概率计算，直接套用公式即可求解；第二问需要通过列表法完整枚举所有等可能结果，再统计符合条件的结果计算概率，掌握列表或树状图的枚举方法是解题核心，解题时注意不要重复、遗漏计数。
【难度系数】
0.8
6. 在－1，2，－3，4 四个数中，随机选择两个数代入$|a+b|=|a|+|b|$中，使得该式成立的概率为（
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
C
）A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步先统计从四个数中随机选两个数的所有等可能总情况数；第二步结合绝对值的运算性质，推导得出$|a+b|=|a|+|b|$成立的条件是$a$、$b$同号（即同为正数或同为负数），再统计满足该条件的选法数量；第三步利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先列举从$-1,2,-3,4$中任选两个数的所有等可能组合：$(-1,2)$、$(-1,-3)$、$(-1,4)$、$(2,-3)$、$(2,4)$、$(-3,4)$，共6种情况。
根据绝对值的性质：当两个数同号时，两数和的绝对值等于两数绝对值的和。本题中满足$|a+b|=|a|+|b|$的组合为$(-1,-3)$、$(2,4)$，共2种。
根据概率计算公式可得：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；列举法求概率
【点评】
本题将绝对值运算和概率计算相结合，核心是先明确等式成立的条件，再准确列举所有组合，注意选两个数时不考虑顺序，避免重复或漏算情况。
【难度系数】
0.7
解题可分三步进行：第一步先统计从四个数中随机选两个数的所有等可能总情况数；第二步结合绝对值的运算性质，推导得出$|a+b|=|a|+|b|$成立的条件是$a$、$b$同号（即同为正数或同为负数），再统计满足该条件的选法数量；第三步利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先列举从$-1,2,-3,4$中任选两个数的所有等可能组合：$(-1,2)$、$(-1,-3)$、$(-1,4)$、$(2,-3)$、$(2,4)$、$(-3,4)$，共6种情况。
根据绝对值的性质：当两个数同号时，两数和的绝对值等于两数绝对值的和。本题中满足$|a+b|=|a|+|b|$的组合为$(-1,-3)$、$(2,4)$，共2种。
根据概率计算公式可得：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；列举法求概率
【点评】
本题将绝对值运算和概率计算相结合，核心是先明确等式成立的条件，再准确列举所有组合，注意选两个数时不考虑顺序，避免重复或漏算情况。
【难度系数】
0.7
7.班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两位同学座位相邻的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
7.A
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确班长位置固定，4位同学随机坐4个座位属于等可能事件，我们需要分别算出所有可能的坐法总数，以及A、B两位同学座位相邻的坐法数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。注意判断相邻座位时，①和④之间隔了班长的⑤号座位，不属于相邻座位，不要误判。
【解析】
解：1. 计算总情况数：4位同学随机坐在①②③④4个座位，所有等可能的坐法共有 $4×3×2×1=24$ 种。
2. 确定相邻座位组合：观察座位分布，相邻的学生座位组合为①②、②③、③④，共3组。
3. 计算A、B相邻的坐法数：每组相邻座位中，A、B可互换位置，有$2$种坐法；剩余2个座位由C、D就坐，也可互换位置，有$2$种坐法，因此每组对应 $2×2=4$ 种坐法，3组共 $3×4=12$ 种符合条件的坐法。
4. 计算概率：$P(\mathrm{A、B相邻})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，排列计数，相邻问题处理
【点评】
本题结合圆桌会议的生活场景考查概率计算，易错点是误将①和④当作相邻座位，只要准确识别相邻座位组合，正确计数总情况数和符合条件的情况数即可顺利求解，属于概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确班长位置固定，4位同学随机坐4个座位属于等可能事件，我们需要分别算出所有可能的坐法总数，以及A、B两位同学座位相邻的坐法数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。注意判断相邻座位时，①和④之间隔了班长的⑤号座位，不属于相邻座位，不要误判。
【解析】
解：1. 计算总情况数：4位同学随机坐在①②③④4个座位，所有等可能的坐法共有 $4×3×2×1=24$ 种。
2. 确定相邻座位组合：观察座位分布，相邻的学生座位组合为①②、②③、③④，共3组。
3. 计算A、B相邻的坐法数：每组相邻座位中，A、B可互换位置，有$2$种坐法；剩余2个座位由C、D就坐，也可互换位置，有$2$种坐法，因此每组对应 $2×2=4$ 种坐法，3组共 $3×4=12$ 种符合条件的坐法。
4. 计算概率：$P(\mathrm{A、B相邻})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，排列计数，相邻问题处理
【点评】
本题结合圆桌会议的生活场景考查概率计算，易错点是误将①和④当作相邻座位，只要准确识别相邻座位组合，正确计数总情况数和符合条件的情况数即可顺利求解，属于概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
