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1.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10％.他明天将参加一场比赛，下列说法正确的是 （
A.小亮明天的进球率为10％
B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球
C
）A.小亮明天的进球率为10％
B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确概率的核心含义：概率是大量重复试验下，事件发生可能性大小的稳定数值，并不代表单次或少量试验中，事件一定会按照概率数值发生。接下来结合随机事件的性质，逐一判断每个选项的正误，就能推导出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐个分析：
A. 小亮10%的进球率是以往大量比赛的统计结果，单场比赛的进球率会受临场状态、对手强度等多种因素影响，不一定为10%，该选项错误；
B. 进球率10%仅代表进球的可能性大小，属于概率层面的统计规律，不代表每射球10次就必然进球1次，少量试验的结果具有随机性，该选项错误；
C. 小亮的进球概率为10%，说明他存在进球的可能性，该选项正确；
D. 进球属于随机事件，也存在不进球的可能，并不是肯定会进球，该选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义；随机事件判断
【点评】
本题是概率概念的基础应用题，易错点是容易把概率的统计规律等同于少量试验中的必然结果，解题关键是区分事件发生的可能性和必然性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确概率的核心含义：概率是大量重复试验下，事件发生可能性大小的稳定数值，并不代表单次或少量试验中，事件一定会按照概率数值发生。接下来结合随机事件的性质，逐一判断每个选项的正误，就能推导出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐个分析：
A. 小亮10%的进球率是以往大量比赛的统计结果，单场比赛的进球率会受临场状态、对手强度等多种因素影响，不一定为10%，该选项错误；
B. 进球率10%仅代表进球的可能性大小，属于概率层面的统计规律，不代表每射球10次就必然进球1次，少量试验的结果具有随机性，该选项错误；
C. 小亮的进球概率为10%，说明他存在进球的可能性，该选项正确；
D. 进球属于随机事件，也存在不进球的可能，并不是肯定会进球，该选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义；随机事件判断
【点评】
本题是概率概念的基础应用题，易错点是容易把概率的统计规律等同于少量试验中的必然结果，解题关键是区分事件发生的可能性和必然性。
【难度系数】
0.8
2.(2025·北京)一个不透明的袋子中仅有3个红球,2个黄球和1个白球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球,摸出的球是白球的概率是 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
A
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确等可能事件的概率计算规则，即某事件发生的概率等于该事件对应的结果数除以所有可能的结果总数。第一步先统计袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步找到摸出白球对应的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总数量：$ 3+2+1=6 $个，因此随机摸出1个球的等可能结果共有6种，其中摸出白球的结果有1种。
根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{摸出白球})=\frac{\mathrm{摸出白球的结果数}}{\mathrm{所有摸球的等可能结果数}}=\frac{1}{6} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考查概率公式的直接应用，只要准确统计总情况数和目标事件的情况数即可正确求解，是概率章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确等可能事件的概率计算规则，即某事件发生的概率等于该事件对应的结果数除以所有可能的结果总数。第一步先统计袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步找到摸出白球对应的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总数量：$ 3+2+1=6 $个，因此随机摸出1个球的等可能结果共有6种，其中摸出白球的结果有1种。
根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{摸出白球})=\frac{\mathrm{摸出白球的结果数}}{\mathrm{所有摸球的等可能结果数}}=\frac{1}{6} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考查概率公式的直接应用，只要准确统计总情况数和目标事件的情况数即可正确求解，是概率章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3.(2025·宿迁泗阳县三模)在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为
10
。答案
3.10
解析
【分析】
解决这道题首先要用到频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在其对应概率的附近，因此本题中摸到红球的概率约为0.4。再结合简单事件的概率计算公式：事件发生的概率=符合条件的情况数÷总情况数，本题中符合摸到红球的情况数是红球的总个数4，总情况数是球的总个数m，据此列出等式求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的概率为0.4，
根据概率公式可得：$\frac{4}{m}=0.4$
解得：$m=4÷0.4=10$
经检验，$m=10$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题是概率实际应用的基础题型，解题的关键是理解频率和概率的关系，掌握概率的计算公式，这类题型是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要用到频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在其对应概率的附近，因此本题中摸到红球的概率约为0.4。再结合简单事件的概率计算公式：事件发生的概率=符合条件的情况数÷总情况数，本题中符合摸到红球的情况数是红球的总个数4，总情况数是球的总个数m，据此列出等式求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的概率为0.4，
根据概率公式可得：$\frac{4}{m}=0.4$
解得：$m=4÷0.4=10$
经检验，$m=10$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题是概率实际应用的基础题型，解题的关键是理解频率和概率的关系，掌握概率的计算公式，这类题型是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4.(2025·宿迁泗阳县期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个,白球5个,黑球7个.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率;
(2)小明从盒子里取出$m$个白球(其他颜色球的数量没有改变),使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,请求出$m$的值.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率;
(2)小明从盒子里取出$m$个白球(其他颜色球的数量没有改变),使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,请求出$m$的值.
答案
4.解:(1)
∵红球3个,白球5个,黑球7个,
∴盒子中球的总数为 3+5+7=15(个),
∴任意摸出一个球是黑球的概率为$\frac{7}{15}$.
(2)
∵任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,
∴盒子中球的总量为$3÷\frac{1}{4}=12$(个),
∴将盒子中的白球拿出 15-12=3(个),
∴$m$的值为 3.
∵红球3个,白球5个,黑球7个,
∴盒子中球的总数为 3+5+7=15(个),
∴任意摸出一个球是黑球的概率为$\frac{7}{15}$.
(2)
∵任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,
∴盒子中球的总量为$3÷\frac{1}{4}=12$(个),
∴将盒子中的白球拿出 15-12=3(个),
∴$m$的值为 3.
解析
【分析】
（1）要计算摸出黑球的概率，首先需要求出盒子中球的总数量，再根据概率的基本计算公式，用黑球的数量除以总球数即可得到对应概率。
（2）取出白球的过程中红球数量始终不变，已知取出m个白球后摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，可以抓住红球数量不变这一关键点，先通过红球数量和对应概率算出取球后盒子的总球数，再用原总球数减去现总球数得到取出的白球数量m，也可以通过列方程建立等量关系求解。
【解析】
（1）先计算盒子中球的总个数：
$3+5+7=15$（个）
根据概率公式，任意摸出一个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{摸出黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球个数}}=\frac{7}{15}$
（2）已知仅取出白球，红球数量始终为3个，取出m个白球后摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，则此时盒子中球的总数量为：
$3÷\frac{1}{4}=12$（个）
取出的白球数量m为原总球数减去现有总球数：
$m=15-12=3$
也可列方程验证：设取出m个白球，由题意得$\frac{3}{15-m}=\frac{1}{4}$，解得$m=3$，符合题意。
【答案】
（1）$\frac{7}{15}$；（2）$m=3$
【知识点】
概率计算公式，概率的实际应用
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查对概率公式的理解和应用，解题时注意找准不变量即可快速梳理出解题思路，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）要计算摸出黑球的概率，首先需要求出盒子中球的总数量，再根据概率的基本计算公式，用黑球的数量除以总球数即可得到对应概率。
（2）取出白球的过程中红球数量始终不变，已知取出m个白球后摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，可以抓住红球数量不变这一关键点，先通过红球数量和对应概率算出取球后盒子的总球数，再用原总球数减去现总球数得到取出的白球数量m，也可以通过列方程建立等量关系求解。
【解析】
（1）先计算盒子中球的总个数：
$3+5+7=15$（个）
根据概率公式，任意摸出一个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{摸出黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球个数}}=\frac{7}{15}$
（2）已知仅取出白球，红球数量始终为3个，取出m个白球后摸出红球的概率为$\frac{1}{4}$，则此时盒子中球的总数量为：
$3÷\frac{1}{4}=12$（个）
取出的白球数量m为原总球数减去现有总球数：
$m=15-12=3$
也可列方程验证：设取出m个白球，由题意得$\frac{3}{15-m}=\frac{1}{4}$，解得$m=3$，符合题意。
【答案】
（1）$\frac{7}{15}$；（2）$m=3$
【知识点】
概率计算公式，概率的实际应用
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查对概率公式的理解和应用，解题时注意找准不变量即可快速梳理出解题思路，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
5.一个布袋中装有若干个球(仅颜色不同),分别是6个白球,b个黑球,一些红球和黄球,已知红球和黄球的总数是黑球个数的两倍,红球个数又是黄球个数的两倍,从中任意摸出一个球,把摸出白球、黑球、红球、黄球的概率绘制成如图所示的统计图(未绘制完整).
(1)请补全统计图；
(2)从中摸出一个球,摸出球的颜色是黑色或白色的概率是多少？
(1)请补全统计图；
(2)从中摸出一个球,摸出球的颜色是黑色或白色的概率是多少？
答案
5.解:(1)
∵红球和黄球的总数是黑球个数的两倍,黑球有$b$个,
∴球总个数为 6+3$b$,
∴$b=0.2(6+3b)$,
解得$b=3$,
∴红球和黄球的总数为 6 个.
∵红球个数是黄球个数的两倍,
∴红球有 4 个,黄球有 2 个.
∴球总个数是 6+4+2+3=15,
则摸出的球是白球的概率是$\frac{6}{15}=0.4$,摸出的球是红球的概率是$\frac{4}{15}$,摸出的球是黄球的概率是$\frac{2}{15}$.补全统计图如答图
.(2)摸出球的颜色是黑色或白色的概率$P=0.4+0.2=0.6$.
解析
【分析】
本题需分两小问逐步解决：①补全统计图首先要得到摸出白球、红球、黄球的概率，需要先求解未知量b：已知摸出黑球的概率为0.2，结合题目给出的数量关系，黑球共b个，红球和黄球总数为2b，总球数为6+3b，利用“概率=对应数量÷总数量”列方程即可求出b的值，再根据红球和黄球的数量关系求出二者个数，分别计算概率就能补全统计图。②求摸出黑色或白色的概率，由于摸出黑球和白球是互斥事件，直接将两个事件的概率相加即可。
【解析】
(1) 由题意得，黑球有$b$个，红球和黄球的总数为$2b$，因此布袋中球的总个数为$6 + b + 2b = 6 + 3b$。
已知摸出黑球的概率为0.2，根据概率公式列方程：
$\frac{b}{6+3b}=0.2$
解方程得：
$b=0.2×(6+3b)$
$b=1.2+0.6b$
$0.4b=1.2$
$b=3$
因此红球和黄球总个数为$2×3=6$个，又因为红球个数是黄球的2倍，可得黄球有2个，红球有4个，球的总个数为$6+3+4+2=15$个。
分别计算剩余三类球的摸出概率：
摸出白球的概率：$\frac{6}{15}=0.4$
摸出红球的概率：$\frac{4}{15}$
摸出黄球的概率：$\frac{2}{15}$
据此补全统计图即可。
(2) 摸出黑色或白色的概率为两个事件概率之和：
$P=0.4+0.2=0.6$
【答案】
(1) 补全统计图如下：
(2) 摸出球的颜色是黑色或白色的概率为$\boldsymbol{0.6}$
【知识点】
概率的计算，一元一次方程的应用，条形统计图
【点评】
本题结合方程与概率知识，考查了统计图信息提取、概率基本计算的能力，是概率应用类的典型题型，掌握概率公式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题需分两小问逐步解决：①补全统计图首先要得到摸出白球、红球、黄球的概率，需要先求解未知量b：已知摸出黑球的概率为0.2，结合题目给出的数量关系，黑球共b个，红球和黄球总数为2b，总球数为6+3b，利用“概率=对应数量÷总数量”列方程即可求出b的值，再根据红球和黄球的数量关系求出二者个数，分别计算概率就能补全统计图。②求摸出黑色或白色的概率，由于摸出黑球和白球是互斥事件，直接将两个事件的概率相加即可。
【解析】
(1) 由题意得，黑球有$b$个，红球和黄球的总数为$2b$，因此布袋中球的总个数为$6 + b + 2b = 6 + 3b$。
已知摸出黑球的概率为0.2，根据概率公式列方程：
$\frac{b}{6+3b}=0.2$
解方程得：
$b=0.2×(6+3b)$
$b=1.2+0.6b$
$0.4b=1.2$
$b=3$
因此红球和黄球总个数为$2×3=6$个，又因为红球个数是黄球的2倍，可得黄球有2个，红球有4个，球的总个数为$6+3+4+2=15$个。
分别计算剩余三类球的摸出概率：
摸出白球的概率：$\frac{6}{15}=0.4$
摸出红球的概率：$\frac{4}{15}$
摸出黄球的概率：$\frac{2}{15}$
据此补全统计图即可。
(2) 摸出黑色或白色的概率为两个事件概率之和：
$P=0.4+0.2=0.6$
【答案】
(1) 补全统计图如下：
(2) 摸出球的颜色是黑色或白色的概率为$\boldsymbol{0.6}$
【知识点】
概率的计算，一元一次方程的应用，条形统计图
【点评】
本题结合方程与概率知识，考查了统计图信息提取、概率基本计算的能力，是概率应用类的典型题型，掌握概率公式是解题的核心。
【难度系数】
0.7
