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6.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余均相同.从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球.由此估计盒子中的白球有 （
A.10个
B.15个
C.18个
D.30个
B
）A.10个
B.15个
C.18个
D.30个
答案
6.B
解析
【分析】
这道题是用频率估计概率的典型应用题，思考步骤如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可以先通过试验数据算出摸到白球的频率，将其作为摸到白球的概率的估计值；其次设白球的个数为未知数，根据“摸到白球的概率=白球数量÷总球数”的概率公式列方程；最后解方程并检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：先计算试验中摸到白球的频率：$\frac{240}{400}=0.6$
∵大量重复试验中，事件发生的频率可近似代替其发生的概率
∴估计从盒子中摸到白球的概率为0.6
设盒子中有白球$x$个，则盒子中球的总数量为$(10+x)$个，根据概率公式列方程得：
$\frac{x}{10+x}=0.6$
解方程：
$x=0.6(10+x)$
$x=6+0.6x$
$0.4x=6$
$x=15$
检验：当$x=15$时，$10+x=25≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
即估计盒子中的白球有15个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、简单概率计算、分式方程应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对频率与概率关系的理解，解题关键是明确大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.7
这道题是用频率估计概率的典型应用题，思考步骤如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可以先通过试验数据算出摸到白球的频率，将其作为摸到白球的概率的估计值；其次设白球的个数为未知数，根据“摸到白球的概率=白球数量÷总球数”的概率公式列方程；最后解方程并检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：先计算试验中摸到白球的频率：$\frac{240}{400}=0.6$
∵大量重复试验中，事件发生的频率可近似代替其发生的概率
∴估计从盒子中摸到白球的概率为0.6
设盒子中有白球$x$个，则盒子中球的总数量为$(10+x)$个，根据概率公式列方程得：
$\frac{x}{10+x}=0.6$
解方程：
$x=0.6(10+x)$
$x=6+0.6x$
$0.4x=6$
$x=15$
检验：当$x=15$时，$10+x=25≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
即估计盒子中的白球有15个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、简单概率计算、分式方程应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对频率与概率关系的理解，解题关键是明确大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.7
7.(2025·宿迁泗洪县模拟)为了解泗洪湿地公园大白鹭的情况,从中捕捉50只大白鹭,戴上识别卡并放回,经过一段时间后发现,捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右,由此估计该湿地公园有
500
只大白鹭.答案
7.500
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率解决实际估算问题，解题思路如下：首先明确当进行大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，该数值可近似看作对应事件发生的概率；本题中带识别卡的大白鹭在种群内均匀分布，因此重捕时捕捉到带记号大白鹭的稳定频率0.1，就近似等于带记号大白鹭的数量占湿地公园大白鹭总数量的比例；接下来设总数量为未知数，根据“带记号大白鹭数量÷总数量=稳定频率”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该湿地公园共有$x$只大白鹭。
由题意可知，捕捉到带记号大白鹭的频率稳定在0.1，即带记号大白鹭的数量占总数量的比值约为0.1，据此列方程：
$\frac{50}{x}=0.1$
解得：$x=50÷0.1=500$
经检验，$x=500$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
500
【知识点】
1.用频率估计概率 2.样本估计总体
【点评】
本题结合生态调查的实际场景考查概率的实际应用，核心是理解频率稳定值和概率的对应关系，找准等量关系即可快速求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
本题考查利用频率估计概率解决实际估算问题，解题思路如下：首先明确当进行大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，该数值可近似看作对应事件发生的概率；本题中带识别卡的大白鹭在种群内均匀分布，因此重捕时捕捉到带记号大白鹭的稳定频率0.1，就近似等于带记号大白鹭的数量占湿地公园大白鹭总数量的比例；接下来设总数量为未知数，根据“带记号大白鹭数量÷总数量=稳定频率”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该湿地公园共有$x$只大白鹭。
由题意可知，捕捉到带记号大白鹭的频率稳定在0.1，即带记号大白鹭的数量占总数量的比值约为0.1，据此列方程：
$\frac{50}{x}=0.1$
解得：$x=50÷0.1=500$
经检验，$x=500$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
500
【知识点】
1.用频率估计概率 2.样本估计总体
【点评】
本题结合生态调查的实际场景考查概率的实际应用，核心是理解频率稳定值和概率的对应关系，找准等量关系即可快速求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
8.(2025·山西)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图,程序规则为:每点击一次按钮,“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“☺”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“
”回到格子A的概率是
”回到格子A的概率是$\frac{1}{2}$
.答案
8.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算连续点击两次按钮后“☺”回到格子A的概率，可通过树状图或列表法列举出两次移动的所有等可能结果，再统计出能回到A的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。首先明确第一次点击时，“☺”从A出发仅能向左或向右移动，共2种等可能情况；针对第一次的每种移动结果，第二次移动又各有2种等可能情况，梳理清楚所有情况后即可求解。
【解析】
我们用树状图分析两次移动的所有等可能结果：
第一次点击：从A出发，有2种等可能的移动方向：①向左移动到相邻左格，②向右移动到相邻右格；
第二次点击：
若第一次移动到左格，第二次有2种等可能结果：向左移动到左二格、向右移动回到A；
若第一次移动到右格，第二次有2种等可能结果：向右移动到右二格、向左移动回到A。
因此两次移动总共有 $2 × 2 = 4$ 种等可能的结果，其中能回到格子A的结果有2种（第一次左+第二次右、第一次右+第二次左）。
根据概率公式，可得回到格子A的概率为：$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过列举法梳理清楚随机事件的所有等可能情况，熟练掌握树状图或列表法是解决这类问题的关键，该类题型在考试中常以选择、填空的形式出现。
【难度系数】
0.8
要计算连续点击两次按钮后“☺”回到格子A的概率，可通过树状图或列表法列举出两次移动的所有等可能结果，再统计出能回到A的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。首先明确第一次点击时，“☺”从A出发仅能向左或向右移动，共2种等可能情况；针对第一次的每种移动结果，第二次移动又各有2种等可能情况，梳理清楚所有情况后即可求解。
【解析】
我们用树状图分析两次移动的所有等可能结果：
第一次点击：从A出发，有2种等可能的移动方向：①向左移动到相邻左格，②向右移动到相邻右格；
第二次点击：
若第一次移动到左格，第二次有2种等可能结果：向左移动到左二格、向右移动回到A；
若第一次移动到右格，第二次有2种等可能结果：向右移动到右二格、向左移动回到A。
因此两次移动总共有 $2 × 2 = 4$ 种等可能的结果，其中能回到格子A的结果有2种（第一次左+第二次右、第一次右+第二次左）。
根据概率公式，可得回到格子A的概率为：$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过列举法梳理清楚随机事件的所有等可能情况，熟练掌握树状图或列表法是解决这类问题的关键，该类题型在考试中常以选择、填空的形式出现。
【难度系数】
0.8
9.(2025·宿迁沭阳县二模)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1，$\sqrt{3}$，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0,1,2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为(x,y).
(1)请用列表法或画树状图法求出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，$\odot O$的圆心在原点，半径为2，求点P在$\odot O$内的概率.
(1)请用列表法或画树状图法求出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，$\odot O$的圆心在原点，半径为2，求点P在$\odot O$内的概率.
答案
9.解:(1)如答图
,点 P 所有可能的坐标有 6 个.(2)由答图可知共有 6 种等可能的结果,其中“点 P 在$\odot O$内”的结果有 3 种,
故$P(点P在\odot O内)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)该试验为两步随机试验，第一步从甲袋取球确定x，第二步从乙袋取球确定y，可通过画树状图按顺序列举出所有等可能的(x,y)组合，即可得到点P的所有可能坐标。
(2)首先回忆点与圆的位置关系判断规则：圆心在原点、半径为r时，点(x,y)在圆内等价于该点到原点的距离小于r，即$x^2+y^2＜r^2$。本题r=2，因此先筛选出满足$x^2+y^2＜4$的点P的个数，再根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数，即可计算出对应概率。
【解析】
(1) 画树状图分析：
第一层（x的取值）：从甲袋取球，有2种等可能结果：$1$、$\sqrt{3}$；
第二层（y的取值）：对应每个x的值，从乙袋取球都有3种等可能结果：$0$、$1$、$2$；
因此所有等可能的点P坐标为：$(1,0)$、$(1,1)$、$(1,2)$、$(\sqrt{3},0)$、$(\sqrt{3},1)$、$(\sqrt{3},2)$，共6种。
(2) 已知$\odot O$半径$r=2$，点$P(x,y)$在$\odot O$内的条件为：$\sqrt{x^2+y^2} ＜ 2$，即$x^2+y^2 ＜ 4$。
逐个判断6个点：
①$(1,0)$：$1^2+0^2=1＜4$，符合要求；
②$(1,1)$：$1^2+1^2=2＜4$，符合要求；
③$(1,2)$：$1^2+2^2=5＞4$，不符合要求；
④$(\sqrt{3},0)$：$(\sqrt{3})^2+0^2=3＜4$，符合要求；
⑤$(\sqrt{3},1)$：$(\sqrt{3})^2+1^2=4$，等于半径，在圆上，不属于圆内，不符合要求；
⑥$(\sqrt{3},2)$：$(\sqrt{3})^2+2^2=7＞4$，不符合要求。
综上，符合“点P在$\odot O$内”的结果共3种，所有等可能结果共6种，因此$P(点P在\odot O内)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)如答图,点 P 所有可能的坐标有 6 个.
(2)由答图可知共有 6 种等可能的结果,其中“点 P 在$\odot O$内”的结果有 3 种,故$P(点P在\odot O内)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
树状图法求概率，点与圆的位置关系，概率公式
【点评】
本题是概率与几何的综合基础题，考查了两步试验的概率求解方法，需要结合点和圆的位置关系的判定规则筛选符合条件的结果，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.7
(1)该试验为两步随机试验，第一步从甲袋取球确定x，第二步从乙袋取球确定y，可通过画树状图按顺序列举出所有等可能的(x,y)组合，即可得到点P的所有可能坐标。
(2)首先回忆点与圆的位置关系判断规则：圆心在原点、半径为r时，点(x,y)在圆内等价于该点到原点的距离小于r，即$x^2+y^2＜r^2$。本题r=2，因此先筛选出满足$x^2+y^2＜4$的点P的个数，再根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数，即可计算出对应概率。
【解析】
(1) 画树状图分析：
第一层（x的取值）：从甲袋取球，有2种等可能结果：$1$、$\sqrt{3}$；
第二层（y的取值）：对应每个x的值，从乙袋取球都有3种等可能结果：$0$、$1$、$2$；
因此所有等可能的点P坐标为：$(1,0)$、$(1,1)$、$(1,2)$、$(\sqrt{3},0)$、$(\sqrt{3},1)$、$(\sqrt{3},2)$，共6种。
(2) 已知$\odot O$半径$r=2$，点$P(x,y)$在$\odot O$内的条件为：$\sqrt{x^2+y^2} ＜ 2$，即$x^2+y^2 ＜ 4$。
逐个判断6个点：
①$(1,0)$：$1^2+0^2=1＜4$，符合要求；
②$(1,1)$：$1^2+1^2=2＜4$，符合要求；
③$(1,2)$：$1^2+2^2=5＞4$，不符合要求；
④$(\sqrt{3},0)$：$(\sqrt{3})^2+0^2=3＜4$，符合要求；
⑤$(\sqrt{3},1)$：$(\sqrt{3})^2+1^2=4$，等于半径，在圆上，不属于圆内，不符合要求；
⑥$(\sqrt{3},2)$：$(\sqrt{3})^2+2^2=7＞4$，不符合要求。
综上，符合“点P在$\odot O$内”的结果共3种，所有等可能结果共6种，因此$P(点P在\odot O内)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)如答图
,点 P 所有可能的坐标有 6 个.(2)由答图可知共有 6 种等可能的结果,其中“点 P 在$\odot O$内”的结果有 3 种,故$P(点P在\odot O内)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
树状图法求概率，点与圆的位置关系，概率公式
【点评】
本题是概率与几何的综合基础题，考查了两步试验的概率求解方法，需要结合点和圆的位置关系的判定规则筛选符合条件的结果，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.7
10.某批彩色球的质量检验结果如下：
(1)画出这批彩色球“优等品”频率的折线统计图.
(2)从这批彩色球中选出5个黄球，13个黑球，22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中.
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，问至少取出了多少个黑球？
(1)画出这批彩色球“优等品”频率的折线统计图.
(2)从这批彩色球中选出5个黄球，13个黑球，22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中.
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$，问至少取出了多少个黑球？
答案
10.解:(1)如答图
.(2)①
∵袋中一共有球 5+13+22=40(个),其中有5个黄球,
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$.
②设从袋中至少取出了$x$个黑球,由题意,得$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$,
解得$x≥8\frac{1}{3}$,故至少取出了 9 个黑球.
解析
【分析】
(1) 绘制频率折线统计图时，先确定横轴为抽取球数，纵轴为优等品频率，根据表格给出的5组对应数据逐一描点，再依次连接各点即可完成绘制。
(2) ①求摸出黄球的概率，依据概率公式，先计算袋中球的总个数，再用黄球个数除以总个数即可得到对应概率。
②设取出黑球的个数为$x$，由于取出$x$个黑球的同时放入$x$个黄球，因此黄球个数变为$5+x$，袋中总球数不变，结合“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”列不等式求解，最后根据$x$为正整数取最小符合条件的值即可。
【解析】
(1) 以抽取球数为横轴，优等品频率为纵轴，描出点$(200,0.940)$、$(500,0.942)$、$(1000,0.946)$、$(1500,0.951)$、$(2000,0.949)$，依次连接各点，所得折线统计图如答图所示。
(2) ①先计算袋中球的总数量：$5+13+22=40$（个），其中黄球有5个，根据概率公式，摸出一个球是黄球的概率为$\frac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
②设从袋中取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的数量为$5+x$个，总球数仍为40个。根据题意列不等式：
$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$
解不等式得：$5+x≥\frac{40}{3}$，即$x≥8\frac{1}{3}$。
由于$x$为正整数，因此$x$的最小值为9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1)如答图。
(2)①$\frac{1}{8}$；②9个
【知识点】
频率折线图绘制；概率公式；不等式实际应用
【点评】
本题结合实际检验和摸球场景，综合考查了统计图表绘制、概率计算以及不等式的实际应用，解题时需注意取出黑球和放入黄球数量相同、总球数不变，且最终结果要取符合实际意义的正整数。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制频率折线统计图时，先确定横轴为抽取球数，纵轴为优等品频率，根据表格给出的5组对应数据逐一描点，再依次连接各点即可完成绘制。
(2) ①求摸出黄球的概率，依据概率公式，先计算袋中球的总个数，再用黄球个数除以总个数即可得到对应概率。
②设取出黑球的个数为$x$，由于取出$x$个黑球的同时放入$x$个黄球，因此黄球个数变为$5+x$，袋中总球数不变，结合“摸出黄球的概率不小于$\frac{1}{3}$”列不等式求解，最后根据$x$为正整数取最小符合条件的值即可。
【解析】
(1) 以抽取球数为横轴，优等品频率为纵轴，描出点$(200,0.940)$、$(500,0.942)$、$(1000,0.946)$、$(1500,0.951)$、$(2000,0.949)$，依次连接各点，所得折线统计图如答图所示。
(2) ①先计算袋中球的总数量：$5+13+22=40$（个），其中黄球有5个，根据概率公式，摸出一个球是黄球的概率为$\frac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。
②设从袋中取出了$x$个黑球，则放入了$x$个黄球，此时袋中黄球的数量为$5+x$个，总球数仍为40个。根据题意列不等式：
$\frac{5+x}{40}≥\frac{1}{3}$
解不等式得：$5+x≥\frac{40}{3}$，即$x≥8\frac{1}{3}$。
由于$x$为正整数，因此$x$的最小值为9，即至少取出了9个黑球。
【答案】
(1)如答图
。(2)①$\frac{1}{8}$；②9个
【知识点】
频率折线图绘制；概率公式；不等式实际应用
【点评】
本题结合实际检验和摸球场景，综合考查了统计图表绘制、概率计算以及不等式的实际应用，解题时需注意取出黑球和放入黄球数量相同、总球数不变，且最终结果要取符合实际意义的正整数。
【难度系数】
0.7
