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1.计算：
(1)$(x-1)(x+3)=$;
(2)$(a+5)(3-a)=$;
(3)$(2m-3)(m+4)=$.
(1)$(x-1)(x+3)=$;
(2)$(a+5)(3-a)=$;
(3)$(2m-3)(m+4)=$.
答案
解：
(1) 原式 = x·x + 3·x - 1·x - 1×3
= x² + 3x - x - 3
= x² + 2x - 3
(2) 原式 = a·3 - a·a + 5×3 - 5·a
= 3a - a² + 15 - 5a
= -a² - 2a + 15
(3) 原式 = 2m·m + 2m·4 - 3·m - 3×4
= 2m² + 8m - 3m - 12
= 2m² + 5m - 12
(1) 原式 = x·x + 3·x - 1·x - 1×3
= x² + 3x - x - 3
= x² + 2x - 3
(2) 原式 = a·3 - a·a + 5×3 - 5·a
= 3a - a² + 15 - 5a
= -a² - 2a + 15
(3) 原式 = 2m·m + 2m·4 - 3·m - 3×4
= 2m² + 8m - 3m - 12
= 2m² + 5m - 12
解析
【分析】
这三道题均为多项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先运用多项式乘法法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所有相乘得到的积相加，最后合并式子中的同类项，就能得到最终的化简结果。运算过程中要注意每一项的符号，避免出现符号错误或者漏乘某一项的问题。
【解析】
(1) 原式 = x·x + 3·x - 1·x - 1×3
= x² + 3x - x - 3
= x² + 2x - 3
(2) 原式 = a·3 - a·a + 5×3 - 5·a
= 3a - a² + 15 - 5a
= -a² - 2a + 15
(3) 原式 = 2m·m + 2m·4 - 3·m - 3×4
= 2m² + 8m - 3m - 12
= 2m² + 5m - 12
【答案】
(1) $x^2+2x-3$；(2) $-a^2-2a+15$；(3) $2m^2+5m-12$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，核心考查多项式乘法运算法则的应用，运算时需注意各项符号，不要漏乘多项式的项，合并同类项时要准确计算同类项的系数和。
【难度系数】
0.8
这三道题均为多项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先运用多项式乘法法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所有相乘得到的积相加，最后合并式子中的同类项，就能得到最终的化简结果。运算过程中要注意每一项的符号，避免出现符号错误或者漏乘某一项的问题。
【解析】
(1) 原式 = x·x + 3·x - 1·x - 1×3
= x² + 3x - x - 3
= x² + 2x - 3
(2) 原式 = a·3 - a·a + 5×3 - 5·a
= 3a - a² + 15 - 5a
= -a² - 2a + 15
(3) 原式 = 2m·m + 2m·4 - 3·m - 3×4
= 2m² + 8m - 3m - 12
= 2m² + 5m - 12
【答案】
(1) $x^2+2x-3$；(2) $-a^2-2a+15$；(3) $2m^2+5m-12$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，核心考查多项式乘法运算法则的应用，运算时需注意各项符号，不要漏乘多项式的项，合并同类项时要准确计算同类项的系数和。
【难度系数】
0.8
2.用
的面积可以验证多项式的乘法运算$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$，那么用的面积可以验证的乘法运算是()
A.$(a+4b)(a+b)=a^2+5ab+4b^2$
B.$(a-4b)(a+b)=a^2-3ab+4b^2$
C.$(a+4b)(a+b)=a^2+4ab+4b^2$
D.$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
的面积可以验证多项式的乘法运算$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$，那么用的面积可以验证的乘法运算是()A.$(a+4b)(a+b)=a^2+5ab+4b^2$
B.$(a-4b)(a+b)=a^2-3ab+4b^2$
C.$(a+4b)(a+b)=a^2+4ab+4b^2$
D.$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查利用几何图形面积验证多项式乘法，解题思路是用两种方法计算大长方形的面积：一是整体法，先确定大长方形的长和宽，用长乘宽得到含多项式乘积的面积表达式；二是分割法，计算图中所有小矩形、小正方形的面积之和，得到展开后的多项式，两个面积相等，即可得到对应的乘法运算式。解题时首先要准确读取图2的边长数据，再分别计算两种方式的面积，最后对比选项即可。
【解析】
步骤1：计算大长方形的整体面积
观察图2可得，大长方形的长为 $a + 4b$，宽为 $a + b$，根据矩形面积公式，整体面积为：
$(a + 4b)(a + b)$
步骤2：用分割法计算总面积
将大长方形分割为若干小图形，分别计算面积再求和：
边长为$a$的正方形面积：$a × a = a^2$
长为$a$、宽为$b$的长方形共有5个，总面积：$5 × a × b = 5ab$
边长为$b$的正方形共有4个，总面积：$4 × b × b = 4b^2$
因此分割法得到的总面积为 $a^2 + 5ab + 4b^2$
步骤3：建立等量关系
两种方法计算的是同一个大长方形的面积，因此相等：
$(a + 4b)(a + b) = a^2 + 5ab + 4b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；面积法验证整式运算；矩形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，通过两种不同的面积计算方式建立等式，既考查了多项式乘法的运算规则，也锻炼了读图分析的能力，解题关键是准确识别图形各段的长度，正确计算各部分面积。
【难度系数】
0.8
这道题考查利用几何图形面积验证多项式乘法，解题思路是用两种方法计算大长方形的面积：一是整体法，先确定大长方形的长和宽，用长乘宽得到含多项式乘积的面积表达式；二是分割法，计算图中所有小矩形、小正方形的面积之和，得到展开后的多项式，两个面积相等，即可得到对应的乘法运算式。解题时首先要准确读取图2的边长数据，再分别计算两种方式的面积，最后对比选项即可。
【解析】
步骤1：计算大长方形的整体面积
观察图2可得，大长方形的长为 $a + 4b$，宽为 $a + b$，根据矩形面积公式，整体面积为：
$(a + 4b)(a + b)$
步骤2：用分割法计算总面积
将大长方形分割为若干小图形，分别计算面积再求和：
边长为$a$的正方形面积：$a × a = a^2$
长为$a$、宽为$b$的长方形共有5个，总面积：$5 × a × b = 5ab$
边长为$b$的正方形共有4个，总面积：$4 × b × b = 4b^2$
因此分割法得到的总面积为 $a^2 + 5ab + 4b^2$
步骤3：建立等量关系
两种方法计算的是同一个大长方形的面积，因此相等：
$(a + 4b)(a + b) = a^2 + 5ab + 4b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；面积法验证整式运算；矩形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，通过两种不同的面积计算方式建立等式，既考查了多项式乘法的运算规则，也锻炼了读图分析的能力，解题关键是准确识别图形各段的长度，正确计算各部分面积。
【难度系数】
0.8
3. 已知多项式$x^2+ax+b$与$x^2-2x-3$的乘积中不含$x^3$与$x^2$的项，则$a,b$的值为（）
A.$a=2,b=7$
B.$a=2,b=-3$
C.$a=3,b=7$
D.$a=3,b=4$
A.$a=2,b=7$
B.$a=2,b=-3$
C.$a=3,b=7$
D.$a=3,b=4$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“乘积中不含$x^3$与$x^2$的项”的含义：即展开合并同类项后，$x^3$项和$x^2$项的系数都为0。解题思路为：第一步先根据多项式乘多项式的法则将两个多项式的乘积展开，第二步合并同类项，分别找到$x^3$、$x^2$项的系数，第三步令这两个系数等于0，列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}&(x^2+ax+b)(x^2-2x-3)\\=&x^2(x^2-2x-3)+ax(x^2-2x-3)+b(x^2-2x-3)\\=&x^4-2x^3-3x^2+ax^3-2ax^2-3ax+bx^2-2bx-3b\end{aligned}$
合并同类项后提取对应项的系数：
$x^3$项的系数为：$-2 + a$
$x^2$项的系数为：$-3 -2a + b$
因为乘积中不含$x^3$与$x^2$的项，所以这两项的系数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}a - 2 = 0\\-3 -2a + b = 0\end{cases}$
解第一个方程得$a=2$，将$a=2$代入第二个方程：$-3 - 2×2 + b = 0$，解得$b=7$。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的常考基础题型，解题核心是理解“不含某一项”等价于该项合并同类项后的系数为0，计算过程中要注意多项式乘法的符号问题，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“乘积中不含$x^3$与$x^2$的项”的含义：即展开合并同类项后，$x^3$项和$x^2$项的系数都为0。解题思路为：第一步先根据多项式乘多项式的法则将两个多项式的乘积展开，第二步合并同类项，分别找到$x^3$、$x^2$项的系数，第三步令这两个系数等于0，列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}&(x^2+ax+b)(x^2-2x-3)\\=&x^2(x^2-2x-3)+ax(x^2-2x-3)+b(x^2-2x-3)\\=&x^4-2x^3-3x^2+ax^3-2ax^2-3ax+bx^2-2bx-3b\end{aligned}$
合并同类项后提取对应项的系数：
$x^3$项的系数为：$-2 + a$
$x^2$项的系数为：$-3 -2a + b$
因为乘积中不含$x^3$与$x^2$的项，所以这两项的系数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}a - 2 = 0\\-3 -2a + b = 0\end{cases}$
解第一个方程得$a=2$，将$a=2$代入第二个方程：$-3 - 2×2 + b = 0$，解得$b=7$。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的常考基础题型，解题核心是理解“不含某一项”等价于该项合并同类项后的系数为0，计算过程中要注意多项式乘法的符号问题，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
4.若$(x+m)(x+n)=x^2 -6x +8$，则$m,n$的值分别为()
A.$m=2,n=4$,或$m=4,n=2$
B.$m=-2,n=-4$,或$m=-4,n=-2$
C.$m,n$异号
D.$m=2,n=4$,或$m=-4,n=-2$
A.$m=2,n=4$,或$m=4,n=2$
B.$m=-2,n=-4$,或$m=-4,n=-2$
C.$m,n$异号
D.$m=2,n=4$,或$m=-4,n=-2$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先运用多项式乘多项式的运算法则把等号左侧的式子展开整理；第二步，根据等式两边同类项的系数对应相等，得到m与n的和、m与n的积的数值；第三步，结合有理数的运算规律判断m、n的符号，再找出满足条件的m、n的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开左侧式子：
$(x+m)(x+n)=x^2+nx+mx+mn=x^2+(m+n)x+mn$
已知$(x+m)(x+n)=x^2-6x+8$，等式两边同类项系数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+n=-6\\mn=8\end{cases}$
由$mn=8＞0$可知m、n同号，再结合$m+n=-6＜0$，可判断m、n均为负数。
寻找满足乘积为8、和为-6的负数：
$(-2)×(-4)=8$，$(-2)+(-4)=-6$，因此m、n的取值为$m=-2,n=-4$或$m=-4,n=-2$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，系数对应相等，有理数符号判断
【点评】
本题属于整式乘法的常规题型，解题的关键是正确展开多项式并准确匹配对应项的系数，做题时需格外注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先运用多项式乘多项式的运算法则把等号左侧的式子展开整理；第二步，根据等式两边同类项的系数对应相等，得到m与n的和、m与n的积的数值；第三步，结合有理数的运算规律判断m、n的符号，再找出满足条件的m、n的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开左侧式子：
$(x+m)(x+n)=x^2+nx+mx+mn=x^2+(m+n)x+mn$
已知$(x+m)(x+n)=x^2-6x+8$，等式两边同类项系数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+n=-6\\mn=8\end{cases}$
由$mn=8＞0$可知m、n同号，再结合$m+n=-6＜0$，可判断m、n均为负数。
寻找满足乘积为8、和为-6的负数：
$(-2)×(-4)=8$，$(-2)+(-4)=-6$，因此m、n的取值为$m=-2,n=-4$或$m=-4,n=-2$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，系数对应相等，有理数符号判断
【点评】
本题属于整式乘法的常规题型，解题的关键是正确展开多项式并准确匹配对应项的系数，做题时需格外注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
5. 计算：
(1) $(2x - 3)(x^2 - x + 2)$；
(2) $5x(x^2 + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$。
(1) $(2x - 3)(x^2 - x + 2)$；
(2) $5x(x^2 + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$。
答案
解：
(1) 原式$=2x· x^2 - 2x· x + 2x· 2 - 3· x^2 + 3· x - 3×2$
$=2x^3 - 2x^2 + 4x - 3x^2 + 3x - 6$
$=2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) 原式$=5x· x^2 + 5x· 2x + 5x· 1 - (2x· x - 2x· 5 + 3· x - 3×5)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - (2x^2 - 10x + 3x - 15)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15$
$=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
(1) 原式$=2x· x^2 - 2x· x + 2x· 2 - 3· x^2 + 3· x - 3×2$
$=2x^3 - 2x^2 + 4x - 3x^2 + 3x - 6$
$=2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) 原式$=5x· x^2 + 5x· 2x + 5x· 1 - (2x· x - 2x· 5 + 3· x - 3×5)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - (2x^2 - 10x + 3x - 15)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15$
$=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
解析
【分析】
这两道题均为整式的混合运算，解题思路清晰：
(1) 属于多项式乘多项式运算，需遵循多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到最简结果；
(2) 属于整式乘法与加减的混合运算，运算顺序为先算乘法：分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号（注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2x· x^2 - 2x· x + 2x· 2 - 3· x^2 + 3· x - 3×2$
$=2x^3 - 2x^2 + 4x - 3x^2 + 3x - 6$
合并同类项得：
$=2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) 先算乘法，再去括号合并同类项：
原式$=5x· x^2 + 5x· 2x + 5x· 1 - (2x· x - 2x· 5 + 3· x - 3×5)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - (2x^2 - 10x + 3x - 15)$
去括号得：
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15$
合并同类项得：
$=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
【答案】
(1) $2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) $5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
【知识点】
多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题侧重考察整式乘法的基本运算法则，运算过程中最容易出错的是符号处理，尤其是去括号时的符号变化，合并同类项要准确识别同类项，属于整式运算的基础题型，熟练掌握可给后续整式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
这两道题均为整式的混合运算，解题思路清晰：
(1) 属于多项式乘多项式运算，需遵循多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到最简结果；
(2) 属于整式乘法与加减的混合运算，运算顺序为先算乘法：分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号（注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2x· x^2 - 2x· x + 2x· 2 - 3· x^2 + 3· x - 3×2$
$=2x^3 - 2x^2 + 4x - 3x^2 + 3x - 6$
合并同类项得：
$=2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) 先算乘法，再去括号合并同类项：
原式$=5x· x^2 + 5x· 2x + 5x· 1 - (2x· x - 2x· 5 + 3· x - 3×5)$
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - (2x^2 - 10x + 3x - 15)$
去括号得：
$=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15$
合并同类项得：
$=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
【答案】
(1) $2x^3 - 5x^2 + 7x - 6$
(2) $5x^3 + 8x^2 + 12x + 15$
【知识点】
多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题侧重考察整式乘法的基本运算法则，运算过程中最容易出错的是符号处理，尤其是去括号时的符号变化，合并同类项要准确识别同类项，属于整式运算的基础题型，熟练掌握可给后续整式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
