登录
6. 先化简，再求值.
(1)$(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)$，其中 $a=\dfrac{1}{2},b=8$；
(2)$(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2 -7x +13)$，其中 $x=3\dfrac{1}{2}$.
(1)$(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)$，其中 $a=\dfrac{1}{2},b=8$；
(2)$(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2 -7x +13)$，其中 $x=3\dfrac{1}{2}$.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}&(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)\\=&a^2-2ab+ab-2b^2-(a^2-ab+2ab-2b^2)\\=&a^2-ab-2b^2-a^2-ab+2b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{2},b=8$时，
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×8=-8$。
(2)
$\begin{aligned}&(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2-7x+13)\\=&3x^2-9x-2x+6-2(x^2-5x+6x-30)+3x^2-21x+39\\=&3x^2-11x+6-2x^2-2x+60+3x^2-21x+39\\=&4x^2-34x+105\end{aligned}$
当$x=3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$时，
原式$=4×(\dfrac{7}{2})^2-34×\dfrac{7}{2}+105=49-119+105=35$。
(1)
$\begin{aligned}&(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)\\=&a^2-2ab+ab-2b^2-(a^2-ab+2ab-2b^2)\\=&a^2-ab-2b^2-a^2-ab+2b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{2},b=8$时，
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×8=-8$。
(2)
$\begin{aligned}&(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2-7x+13)\\=&3x^2-9x-2x+6-2(x^2-5x+6x-30)+3x^2-21x+39\\=&3x^2-11x+6-2x^2-2x+60+3x^2-21x+39\\=&4x^2-34x+105\end{aligned}$
当$x=3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$时，
原式$=4×(\dfrac{7}{2})^2-34×\dfrac{7}{2}+105=49-119+105=35$。
解析
【分析】
这两道题属于整式化简求值类题型，解题核心思路是“先化简、后代入”，避免直接代入数值计算导致运算繁琐、出错率高。具体思考步骤如下：①首先运用多项式乘多项式的运算法则，将所有多项式乘积项展开；②根据去括号法则去掉所有括号，若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号；③合并同类项，得到最简整式；④最后将给定的字母取值代入最简式中，准确计算出最终结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)\\=&a^2-2ab+ab-2b^2-(a^2-ab+2ab-2b^2)\\=&a^2-ab-2b^2-a^2-ab+2b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{2},b=8$时，
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×8=-8$。
(2)
$\begin{aligned}&(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2 -7x +13)\\=&3x^2-9x-2x+6-2(x^2-5x+6x-30)+3x^2-21x+39\\=&3x^2-11x+6-2x^2-2x+60+3x^2-21x+39\\=&4x^2-34x+105\end{aligned}$
当$x=3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$时，
原式$=4×(\dfrac{7}{2})^2-34×\dfrac{7}{2}+105=49-119+105=35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{35}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式加减运算；化简求值
【点评】
本题重点考察整式混合运算的掌握程度，解题易错点为去括号时符号处理错误、合并同类项时系数计算偏差，熟练掌握“先化简再求值”的解题思路，可有效降低运算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式化简求值类题型，解题核心思路是“先化简、后代入”，避免直接代入数值计算导致运算繁琐、出错率高。具体思考步骤如下：①首先运用多项式乘多项式的运算法则，将所有多项式乘积项展开；②根据去括号法则去掉所有括号，若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号；③合并同类项，得到最简整式；④最后将给定的字母取值代入最简式中，准确计算出最终结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)\\=&a^2-2ab+ab-2b^2-(a^2-ab+2ab-2b^2)\\=&a^2-ab-2b^2-a^2-ab+2b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
当$a=\dfrac{1}{2},b=8$时，
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×8=-8$。
(2)
$\begin{aligned}&(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2 -7x +13)\\=&3x^2-9x-2x+6-2(x^2-5x+6x-30)+3x^2-21x+39\\=&3x^2-11x+6-2x^2-2x+60+3x^2-21x+39\\=&4x^2-34x+105\end{aligned}$
当$x=3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$时，
原式$=4×(\dfrac{7}{2})^2-34×\dfrac{7}{2}+105=49-119+105=35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{35}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式加减运算；化简求值
【点评】
本题重点考察整式混合运算的掌握程度，解题易错点为去括号时符号处理错误、合并同类项时系数计算偏差，熟练掌握“先化简再求值”的解题思路，可有效降低运算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
7. 在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片（如图1）按图2、图3两种方式放置（图2、图3中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设图2中阴影部分的面积为S₁，图3中阴影部分的面积为S₂，当AD−AB=2时，求S₂−S₁的值.
答案
解：
由题意得：
$S_1 = AB· AD - a^2 - b(AD - a)$
$= AB· AD - a^2 - b· AD + ab$
$S_2 = AB· AD - a^2 - b(AB - a)$
$= AB· AD - a^2 - b· AB + ab$
则$S_2 - S_1$
$=(AB· AD - a^2 - b· AB + ab) - (AB· AD - a^2 - b· AD + ab)$
$= b· AD - b· AB$
$= b(AD - AB)$
将$AD - AB = 2$代入，得：
$S_2 - S_1 = 2b$
由题意得：
$S_1 = AB· AD - a^2 - b(AD - a)$
$= AB· AD - a^2 - b· AD + ab$
$S_2 = AB· AD - a^2 - b(AB - a)$
$= AB· AD - a^2 - b· AB + ab$
则$S_2 - S_1$
$=(AB· AD - a^2 - b· AB + ab) - (AB· AD - a^2 - b· AD + ab)$
$= b· AD - b· AB$
$= b(AD - AB)$
将$AD - AB = 2$代入，得：
$S_2 - S_1 = 2b$
解析
【分析】
要计算$S_2-S_1$的值，首先需要分别用长方形$ABCD$的边长$AB$、$AD$以及正方形边长$a$、$b$表示出$S_1$和$S_2$的表达式。阴影部分面积等于长方形总面积减去两张正方形纸片覆盖的面积，写出两个阴影面积的表达式后，通过整式的加减运算化简两者的差，化简过程中相同的项会相互抵消，最后将已知条件$AD-AB=2$整体代入即可得到结果，无需单独求出$AB$、$AD$、$a$的具体值。
【解析】
设长方形$ABCD$的长为$AB$，宽为$AD$，根据题意可得：
$\begin{aligned}S_1 &= AB· AD - a^2 - b(AD - a)\\&= AB· AD - a^2 - b· AD + ab\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_2 &= AB· AD - a^2 - b(AB - a)\\&= AB· AD - a^2 - b· AB + ab\end{aligned}$
计算$S_2-S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(AB· AD - a^2 - b· AB + ab) - (AB· AD - a^2 - b· AD + ab)\\&= AB· AD - a^2 - b· AB + ab - AB· AD + a^2 + b· AD - ab\\&= b· AD - b· AB\\&= b(AD - AB)\end{aligned}$
将$AD - AB = 2$代入上式，得：
$S_2 - S_1 = b×2 = 2b$
【答案】
$2b$
【知识点】
列代数式；整式的加减；面积和差计算
【点评】
本题属于代数式化简求值类的几何综合题，解题核心是结合图形正确写出阴影面积的表达式，整式化简时要注意去括号的符号规则，合并同类项后大部分项会相互抵消，最后利用整体代入思想代入已知条件即可，无需计算各个未知量的具体数值，有效降低了运算难度。
【难度系数】
0.7
要计算$S_2-S_1$的值，首先需要分别用长方形$ABCD$的边长$AB$、$AD$以及正方形边长$a$、$b$表示出$S_1$和$S_2$的表达式。阴影部分面积等于长方形总面积减去两张正方形纸片覆盖的面积，写出两个阴影面积的表达式后，通过整式的加减运算化简两者的差，化简过程中相同的项会相互抵消，最后将已知条件$AD-AB=2$整体代入即可得到结果，无需单独求出$AB$、$AD$、$a$的具体值。
【解析】
设长方形$ABCD$的长为$AB$，宽为$AD$，根据题意可得：
$\begin{aligned}S_1 &= AB· AD - a^2 - b(AD - a)\\&= AB· AD - a^2 - b· AD + ab\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_2 &= AB· AD - a^2 - b(AB - a)\\&= AB· AD - a^2 - b· AB + ab\end{aligned}$
计算$S_2-S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(AB· AD - a^2 - b· AB + ab) - (AB· AD - a^2 - b· AD + ab)\\&= AB· AD - a^2 - b· AB + ab - AB· AD + a^2 + b· AD - ab\\&= b· AD - b· AB\\&= b(AD - AB)\end{aligned}$
将$AD - AB = 2$代入上式，得：
$S_2 - S_1 = b×2 = 2b$
【答案】
$2b$
【知识点】
列代数式；整式的加减；面积和差计算
【点评】
本题属于代数式化简求值类的几何综合题，解题核心是结合图形正确写出阴影面积的表达式，整式化简时要注意去括号的符号规则，合并同类项后大部分项会相互抵消，最后利用整体代入思想代入已知条件即可，无需计算各个未知量的具体数值，有效降低了运算难度。
【难度系数】
0.7
