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例1 计算：
(1)$(a - 2b)(5a + 3b)$；
(2)$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$；
(3)$(x - y)(x^2 + xy + y^2)$。
【思路导析】用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
【请你解答】
(1)$(a - 2b)(5a + 3b)$；
(2)$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$；
(3)$(x - y)(x^2 + xy + y^2)$。
【思路导析】用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式 = a·5a + a·3b - 2b·5a - 2b·3b
= 5a² + 3ab - 10ab - 6b²
= 5a² - 7ab - 6b²
(2) 原式 = 2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) - 7y·3x - 7y·4y - 7y·(-1)
= 6x² + 8xy - 2x - 21xy - 28y² + 7y
= 6x² - 13xy - 28y² - 2x + 7y
(3) 原式 = x·x² + x·xy + x·y² - y·x² - y·xy - y·y²
= x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³
= x³ - y³
(1) 原式 = a·5a + a·3b - 2b·5a - 2b·3b
= 5a² + 3ab - 10ab - 6b²
= 5a² - 7ab - 6b²
(2) 原式 = 2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) - 7y·3x - 7y·4y - 7y·(-1)
= 6x² + 8xy - 2x - 21xy - 28y² + 7y
= 6x² - 13xy - 28y² - 2x + 7y
(3) 原式 = x·x² + x·xy + x·y² - y·x² - y·xy - y·y²
= x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³
= x³ - y³
解析
【分析】
这三道题均为多项式乘多项式的计算题型，解题需严格遵循多项式乘多项式的运算法则：第一步，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，乘的时候要携带每一项的符号，避免符号出错，也不要漏乘任意一项；第二步，把所有相乘得到的积相加；第三步，合并式子中的同类项，最终得到最简整式结果即可。
【解析】
(1) 计算$\boldsymbol{(a - 2b)(5a + 3b)}$
原式$=a·5a + a·3b - 2b·5a - 2b·3b$
$=5a^2 + 3ab - 10ab - 6b^2$
$=5a^2 - 7ab - 6b^2$
(2) 计算$\boldsymbol{(2x - 7y)(3x + 4y - 1)}$
原式$=2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) - 7y·3x - 7y·4y - 7y·(-1)$
$=6x^2 + 8xy - 2x - 21xy - 28y^2 + 7y$
$=6x^2 - 13xy - 28y^2 - 2x + 7y$
(3) 计算$\boldsymbol{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$
原式$=x·x^2 + x·xy + x·y^2 - y·x^2 - y·xy - y·y^2$
$=x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$
$=x^3 - y^3$
【答案】
(1) $5a^2 - 7ab - 6b^2$
(2) $6x^2 - 13xy - 28y^2 - 2x + 7y$
(3) $x^3 - y^3$
【知识点】
多项式乘多项式法则；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础典型题，核心考查多项式乘多项式运算法则的掌握与应用，计算过程中需注意不要漏乘项、不要弄错各项符号，最终要合并同类项得到最简结果，是整式运算的核心基础题型，熟练掌握可为后续整式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这三道题均为多项式乘多项式的计算题型，解题需严格遵循多项式乘多项式的运算法则：第一步，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，乘的时候要携带每一项的符号，避免符号出错，也不要漏乘任意一项；第二步，把所有相乘得到的积相加；第三步，合并式子中的同类项，最终得到最简整式结果即可。
【解析】
(1) 计算$\boldsymbol{(a - 2b)(5a + 3b)}$
原式$=a·5a + a·3b - 2b·5a - 2b·3b$
$=5a^2 + 3ab - 10ab - 6b^2$
$=5a^2 - 7ab - 6b^2$
(2) 计算$\boldsymbol{(2x - 7y)(3x + 4y - 1)}$
原式$=2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) - 7y·3x - 7y·4y - 7y·(-1)$
$=6x^2 + 8xy - 2x - 21xy - 28y^2 + 7y$
$=6x^2 - 13xy - 28y^2 - 2x + 7y$
(3) 计算$\boldsymbol{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$
原式$=x·x^2 + x·xy + x·y^2 - y·x^2 - y·xy - y·y^2$
$=x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$
$=x^3 - y^3$
【答案】
(1) $5a^2 - 7ab - 6b^2$
(2) $6x^2 - 13xy - 28y^2 - 2x + 7y$
(3) $x^3 - y^3$
【知识点】
多项式乘多项式法则；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础典型题，核心考查多项式乘多项式运算法则的掌握与应用，计算过程中需注意不要漏乘项、不要弄错各项符号，最终要合并同类项得到最简结果，是整式运算的核心基础题型，熟练掌握可为后续整式化简、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
例2 先化简,再求值:
(1) $4x · x + (2x - 1)(1 - 2x)$, 其中 $x = \frac{1}{40}$;
(2) $(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)$, 其中 $x = -1, y = 2$.
【思路导析】先去括号,再合并同类项,然后代入求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1) $4x · x + (2x - 1)(1 - 2x)$, 其中 $x = \frac{1}{40}$;
(2) $(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)$, 其中 $x = -1, y = 2$.
【思路导析】先去括号,再合并同类项,然后代入求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}4x· x + (2x-1)(1-2x)&=4x^2 + 2x - 4x^2 -1 + 2x\\&=4x - 1\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{40}$时，
原式$=4×\frac{1}{40} - 1=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)\\=&2x^2 + 2xy - xy - y^2 + 4x^2 - 6xy - 6x^2 - 15xy\\=&-20xy - y^2\end{aligned}$
当$x=-1,y=2$时，
原式$=-20×(-1)×2 - 2^2=40 - 4=36$。
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}4x· x + (2x-1)(1-2x)&=4x^2 + 2x - 4x^2 -1 + 2x\\&=4x - 1\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{40}$时，
原式$=4×\frac{1}{40} - 1=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)\\=&2x^2 + 2xy - xy - y^2 + 4x^2 - 6xy - 6x^2 - 15xy\\=&-20xy - y^2\end{aligned}$
当$x=-1,y=2$时，
原式$=-20×(-1)×2 - 2^2=40 - 4=36$。
解析
【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可减少运算量，提升正确率。解题思路分为三步：第一步根据整式乘法法则（单项式乘单项式、多项式乘多项式、单项式乘多项式）展开所有乘法项，展开过程中需重点注意每一项的符号，避免符号出错；第二步合并同类项，将整式化为最简形式；第三步将给定的未知数取值代入最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}4x· x + (2x-1)(1-2x)&=4x^2 + 2x - 4x^2 -1 + 2x\\&=4x - 1\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{40}$时，代入得：
原式$=4×\frac{1}{40} - 1=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)\\=&2x^2 + 2xy - xy - y^2 + 4x^2 - 6xy - 6x^2 - 15xy\\=&-20xy - y^2\end{aligned}$
当$x=-1,y=2$时，代入得：
原式$=-20×(-1)×2 - 2^2=40 - 4=36$
【答案】
(1) $-\frac{9}{10}$；(2) $36$
【知识点】
整式的乘法运算、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查整式乘法运算法则的应用和合并同类项的能力，解题的易错点为多项式乘法展开、去括号时的符号处理，计算时可逐项核对符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可减少运算量，提升正确率。解题思路分为三步：第一步根据整式乘法法则（单项式乘单项式、多项式乘多项式、单项式乘多项式）展开所有乘法项，展开过程中需重点注意每一项的符号，避免符号出错；第二步合并同类项，将整式化为最简形式；第三步将给定的未知数取值代入最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}4x· x + (2x-1)(1-2x)&=4x^2 + 2x - 4x^2 -1 + 2x\\&=4x - 1\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{40}$时，代入得：
原式$=4×\frac{1}{40} - 1=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2x - y)(x + y) - 2x(-2x + 3y) + 6x(-x - \frac{5}{2}y)\\=&2x^2 + 2xy - xy - y^2 + 4x^2 - 6xy - 6x^2 - 15xy\\=&-20xy - y^2\end{aligned}$
当$x=-1,y=2$时，代入得：
原式$=-20×(-1)×2 - 2^2=40 - 4=36$
【答案】
(1) $-\frac{9}{10}$；(2) $36$
【知识点】
整式的乘法运算、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查整式乘法运算法则的应用和合并同类项的能力，解题的易错点为多项式乘法展开、去括号时的符号处理，计算时可逐项核对符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
例3 甲、乙二人共同计算一道整式乘法：$(2x+a)(3x+b)$，由于甲抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2+11x-10$；由于乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2-9x+10$.
(1)你能知道式子中$a,b$的值各是多少吗？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【思路导析】甲抄错了$a$的符号，则有$(2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab$，对比题目中的结果可得$-(3a-2b)=11$；乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，则有$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$，对比题目中的结果可得$a+2b=-9$，进而可求出$a,b$的值.
【示范解答】(1)$(2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab=6x^2+11x-10$.
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$.
$\therefore \begin{cases} -(3a-2b)=11, \\ a+2b=-9, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-5, \\ b=-2. \end{cases}$
(2)原式$=(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10$.
(1)你能知道式子中$a,b$的值各是多少吗？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【思路导析】甲抄错了$a$的符号，则有$(2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab$，对比题目中的结果可得$-(3a-2b)=11$；乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，则有$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$，对比题目中的结果可得$a+2b=-9$，进而可求出$a,b$的值.
【示范解答】(1)$(2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab=6x^2+11x-10$.
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$.
$\therefore \begin{cases} -(3a-2b)=11, \\ a+2b=-9, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-5, \\ b=-2. \end{cases}$
(2)原式$=(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10$.
答案
解：
(1) 甲抄错第一个多项式中$a$的符号，计算的式子为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2+11x-10$
乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，计算的式子为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$
对比对应项系数，可得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11\\a+2b=-9\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-5\\b=-2\end{cases}$
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式，得：
$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
(1) 甲抄错第一个多项式中$a$的符号，计算的式子为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2+11x-10$
乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，计算的式子为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$
对比对应项系数，可得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11\\a+2b=-9\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-5\\b=-2\end{cases}$
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式，得：
$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
解析
【分析】
这是一道整式乘法的错中求解问题，解题思路如下：第一步，先根据甲、乙两人的错误操作，分别写出两人实际计算的整式乘法算式；第二步，将两个错误的算式分别展开，根据多项式相等时同次项的系数对应相等的性质，把展开后的结果和两人得到的错误结果对比，得到关于a、b的两个一次方程，组成二元一次方程组；第三步，解方程组求出a、b的值，最后代入原式计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 甲抄错了第一个多项式中$a$的符号，他实际计算的算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
已知甲的计算结果为$6x^2+11x-10$，对应系数相等可得：$2b-3a=11$ ①
乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，他实际计算的算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
已知乙的计算结果为$2x^2-9x+10$，对应系数相等可得：$a+2b=-9$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11\\a+2b=-9\end{cases}$
用②-①得$4a=-20$，解得$a=-5$，将$a=-5$代入②，得$-5+2b=-9$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
【答案】
(1)$a=-5$，$b=-2$；(2)正确结果为$6x^2-19x+10$
【知识点】
整式乘法运算，二元一次方程组求解，多项式系数对应相等
【点评】
本题是整式运算与方程结合的典型题型，解题核心是根据错误操作还原计算式，利用多项式相等的性质建立方程求解，能有效考查学生的运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
这是一道整式乘法的错中求解问题，解题思路如下：第一步，先根据甲、乙两人的错误操作，分别写出两人实际计算的整式乘法算式；第二步，将两个错误的算式分别展开，根据多项式相等时同次项的系数对应相等的性质，把展开后的结果和两人得到的错误结果对比，得到关于a、b的两个一次方程，组成二元一次方程组；第三步，解方程组求出a、b的值，最后代入原式计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 甲抄错了第一个多项式中$a$的符号，他实际计算的算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
已知甲的计算结果为$6x^2+11x-10$，对应系数相等可得：$2b-3a=11$ ①
乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，他实际计算的算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
已知乙的计算结果为$2x^2-9x+10$，对应系数相等可得：$a+2b=-9$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11\\a+2b=-9\end{cases}$
用②-①得$4a=-20$，解得$a=-5$，将$a=-5$代入②，得$-5+2b=-9$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
【答案】
(1)$a=-5$，$b=-2$；(2)正确结果为$6x^2-19x+10$
【知识点】
整式乘法运算，二元一次方程组求解，多项式系数对应相等
【点评】
本题是整式运算与方程结合的典型题型，解题核心是根据错误操作还原计算式，利用多项式相等的性质建立方程求解，能有效考查学生的运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
设$M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8)$,则$M$与$N$的大小关系为()
A.$M＜N$
B.$M＞N$
C.$M=N$
D.不能确定
A.$M＜N$
B.$M＞N$
C.$M=N$
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则二者相等。本题可先根据多项式乘多项式的运算法则分别展开M、N，再计算M-N的结果，通过判断结果的正负即可确定M与N的大小关系。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开M和N：
$M=(x-3)(x-7)=x^2 -7x -3x +21 = x^2 -10x +21$
$N=(x-2)(x-8)=x^2 -8x -2x +16 = x^2 -10x +16$
计算M与N的差：
$M-N=(x^2 -10x +21)-(x^2 -10x +16)$
去括号得：
$M-N=x^2 -10x +21 -x^2 +10x -16$
合并同类项后得：
$M-N=5$
因为$5＞0$，所以$M-N＞0$，即$M＞N$。
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小；多项式乘多项式；整式加减运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题核心是掌握作差法比较大小的逻辑，同时要熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，化简差式后即可快速判断大小。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小通常采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则二者相等。本题可先根据多项式乘多项式的运算法则分别展开M、N，再计算M-N的结果，通过判断结果的正负即可确定M与N的大小关系。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开M和N：
$M=(x-3)(x-7)=x^2 -7x -3x +21 = x^2 -10x +21$
$N=(x-2)(x-8)=x^2 -8x -2x +16 = x^2 -10x +16$
计算M与N的差：
$M-N=(x^2 -10x +21)-(x^2 -10x +16)$
去括号得：
$M-N=x^2 -10x +21 -x^2 +10x -16$
合并同类项后得：
$M-N=5$
因为$5＞0$，所以$M-N＞0$，即$M＞N$。
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小；多项式乘多项式；整式加减运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题核心是掌握作差法比较大小的逻辑，同时要熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，化简差式后即可快速判断大小。
【难度系数】
0.8
