例1 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=60°$,$∠ BAC$ 的平分线 $AM$ 长为15 cm,求 $BC$ 的长.

【思路导析】
$ \begin{array}{l}AM\mathrm{ 平分}∠ BAC\\∠ BAC=60°\end{array}\}⇒$
$∠ BAM=∠ B=∠ CAM=30°⇒\{\begin{array}{l}CM=\frac{1}{2}AM\\AM=BM\end{array}\}$
$BC=CM+MB$
$⇒ BC$ 的长.
【请你解答】

解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ B=90° - 60°=30°$。
$\because AM$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAM=∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
$\therefore ∠ BAM=∠ B=30°$，
$\therefore BM=AM=15\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ C=90°$，$∠ CAM=30°$，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×15=7.5\ \mathrm{cm}$。
$\therefore BC=CM+BM=7.5+15=22.5\ \mathrm{cm}$。
答：$BC$的长为$22.5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时先从直角三角形两锐角互余的性质出发，结合已知∠BAC=60°算出∠B的度数；再利用角平分线的定义得到∠CAM和∠BAM的度数，可发现∠BAM=∠B，根据等角对等边推出BM=AM；接着在Rt△ACM中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出CM的长度；最后根据BC=CM+BM，代入数值即可算出BC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ B=90° - 60°=30°$。
$\because AM$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAM=∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
$\therefore ∠ BAM=∠ B=30°$，
$\therefore BM=AM=15\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ C=90°$，$∠ CAM=30°$，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×15=7.5\ \mathrm{cm}$。
$\therefore BC=CM+BM=7.5+15=22.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$22.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是通过角度推导得到等角，再结合特殊三角形的性质将角度关系转化为线段的数量关系，解题逻辑清晰，侧重对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8

例2 如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1,求AB的长.

【思路导析】因为BD是等边△ABC的角平分线,所以BD⊥AC.又因为BC是直角三角形的斜边,所以BC=2DC.又因为在△DEC中,EC=$\frac{1}{2}$DC,从而求得BC的值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠C = 60°，AB = BC = AC。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEC = 90°，
∴ 在Rt△DEC中，∠EDC = 90° - ∠C = 30°，
∴ CE = $\frac{1}{2}$CD。
∵ CE = 1，
∴ CD = 2。
∵ BD平分∠ABC，△ABC是等边三角形，
∴ BD⊥AC，AD = CD = 2，
∴ AC = AD + CD = 4，
又∵ AB = AC，
∴ AB = 4。

【分析】
要求AB的长度，首先由等边三角形的性质可知AB=AC，因此只需先求出AC的长度即可。第一步先观察Rt△DEC：已知△ABC是等边三角形，所以∠C=60°，结合DE⊥BC可得∠EDC=30°，根据含30°角的直角三角形的边的关系，由CE=1可求出CD的长度；第二步，BD是等边△ABC的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可知D是AC的中点，因此AC=2CD，即可求出AC的长度，进而得到AB的长度。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠C = 60°，AB = BC = AC。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEC = 90°，
∴ 在Rt△DEC中，∠EDC = 90° - ∠C = 30°，
∴ CE = $\frac{1}{2}$CD。
∵ CE = 1，
∴ CD = 2。
∵ BD平分∠ABC，△ABC是等边三角形，
∴ BD⊥AC，AD = CD = 2，
∴ AC = AD + CD = 4，
又
∵ AB = AC，
∴ AB = 4。
【答案】
AB的长为4
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于等边三角形应用的基础题，重点考查特殊直角三角形的边角关系与等边三角形性质的结合运用，解题时只要逐步推导已知条件和所求边的关联即可顺利求解，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

例3 如图,已知在$△ ABC$中,BD是AC边上的中线,$DB ⊥ BC$于B,$∠ ABC=120°$,求证:$AB=2BC$.

【思路导析】

【示范解答】证明:如下图,过A作$AE // BC$
交BD的延长线于E. $\because DB ⊥ BC$(已知),
$\therefore ∠ AED=90°$(两直线平行,内错角相等).

在$△ ADE$和$△ CDB$中,
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ CBD(\mathrm{已证}),\\∠ ADE=∠ BDC(\mathrm{对顶角相等}),\\AD=CD(\mathrm{已知}),\end{array} $
$\therefore △ ADE ≌ △ CDB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AE=CB(\mathrm{全等三角形的对应边相等}).$
$\because ∠ ABC=120°, DB ⊥ BC,$
$\therefore ∠ ABD=30°.$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ ABD=30°,$
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB,$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,\mathrm{即}AB=2BC.$

证明：过A作$AE// BC$交BD的延长线于E。
$\because DB ⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ AED = 90°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADE$和$△ CDB$中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CBD(\mathrm{已证}), \\∠ ADE = ∠ BDC(\mathrm{对顶角相等}), \\AD = CD(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ CDB(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AE = CB$（全等三角形的对应边相等）。
$\because ∠ ABC = 120°$，$DB ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABD = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABD = 30°$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB$，即$AB = 2BC$。

【分析】
要证明$AB=2BC$，可联想到直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，因此需要将$AB$、$BC$转化到同一个含30°角的直角三角形中。已知BD是AC边上的中线，可通过作平行线构造全等三角形实现线段的等量转化：过A作$AE// BC$交BD的延长线于E，先证$△ ADE≌△ CDB$得到$AE=BC$，再求出$∠ ABD=30°$，在$Rt△ ABE$中利用30°角的性质即可推出结论。
【解析】
过A作$AE// BC$交BD的延长线于E。
$\because DB ⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ AED = 90°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADE$和$△ CDB$中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CBD(\mathrm{已证}), \\∠ ADE = ∠ BDC(\mathrm{对顶角相等}), \\AD = CD(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ CDB(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AE = CB$（全等三角形的对应边相等）。
$\because ∠ ABC = 120°$，$DB ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABD = 120°-90°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABD = 30°$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB$，即$AB = 2BC$。
【答案】
过A作$AE// BC$交BD的延长线于E。
$\because DB ⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ AED = 90°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADE$和$△ CDB$中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CBD(\mathrm{已证}), \\∠ ADE = ∠ BDC(\mathrm{对顶角相等}), \\AD = CD(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ CDB(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AE = CB$（全等三角形的对应边相等）。
$\because ∠ ABC = 120°$，$DB ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABD = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABD = 30°$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB$，即$AB = 2BC$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于线段倍分关系的证明题，解题核心是利用中线的特点构造全等三角形完成线段转化，将分散的条件集中到同一个直角三角形中，再结合特殊直角三角形的性质求证，辅助线的构造是解题的突破口。
【难度系数】
0.6