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如图,在△ABC中,点D在BC边上,点B关于直线AD的对称点B'落在AC的延长线上,若BC垂直平分AB',则$\frac{BD}{CD}$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件对应相关性质：首先看到线段垂直平分线，想到垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，且垂直平分线垂直平分对应线段；看到轴对称，想到成轴对称的图形对应边相等、对应角相等。先利用垂直平分线性质得到线段相等和直角，再结合轴对称性质推出等边三角形，得到角度关系，最后用直角三角形30°角的性质推导BD和CD的数量关系即可。
【解析】
解：
∵BC垂直平分AB'，
∴AC=B'C，∠ACB=90°，AB=B'B（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵点B与点B'关于直线AD对称，
∴AB=AB'，∠BAD=∠B'AD（轴对称的对应边、对应角相等）。
∴AB=AB'=B'B，即△AB'B是等边三角形，
∴∠B'AB=60°，∠ABB'=60°。
∵BC是等边△AB'B的高，
∴BC平分∠ABB'，即∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=60°。
∵AD平分∠B'AB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABC=30°，
∴AD=BD（等角对等边）。
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴AD=2CD，
∴BD=2CD，即$\frac{BD}{CD}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 轴对称的性质
3. 直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将多个基础几何性质结合考查，解题核心是通过线段相等关系推导等边三角形，再结合角度关系得到边的倍数关系，需要熟练掌握各性质的适用场景。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件对应相关性质：首先看到线段垂直平分线，想到垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，且垂直平分线垂直平分对应线段；看到轴对称，想到成轴对称的图形对应边相等、对应角相等。先利用垂直平分线性质得到线段相等和直角，再结合轴对称性质推出等边三角形，得到角度关系，最后用直角三角形30°角的性质推导BD和CD的数量关系即可。
【解析】
解：
∵BC垂直平分AB'，
∴AC=B'C，∠ACB=90°，AB=B'B（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵点B与点B'关于直线AD对称，
∴AB=AB'，∠BAD=∠B'AD（轴对称的对应边、对应角相等）。
∴AB=AB'=B'B，即△AB'B是等边三角形，
∴∠B'AB=60°，∠ABB'=60°。
∵BC是等边△AB'B的高，
∴BC平分∠ABB'，即∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=60°。
∵AD平分∠B'AB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABC=30°，
∴AD=BD（等角对等边）。
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴AD=2CD，
∴BD=2CD，即$\frac{BD}{CD}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 轴对称的性质
3. 直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将多个基础几何性质结合考查，解题核心是通过线段相等关系推导等边三角形，再结合角度关系得到边的倍数关系，需要熟练掌握各性质的适用场景。
【难度系数】
0.6
1. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB=6 m，∠A=30°，则立柱BC的长度为 m.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
首先观察图形，立柱BC垂直于横梁AD，可得出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。已知∠A=30°，AB为直角三角形的斜边，结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，即可直接求出BC的长度。
【解析】
∵ BC⊥AD，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6m，
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3（m）。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角的性质、垂直的定义
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是从图形中提取出直角三角形的边角关系，熟练运用特殊直角三角形的性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，立柱BC垂直于横梁AD，可得出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。已知∠A=30°，AB为直角三角形的斜边，结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，即可直接求出BC的长度。
【解析】
∵ BC⊥AD，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6m，
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3（m）。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角的性质、垂直的定义
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是从图形中提取出直角三角形的边角关系，熟练运用特殊直角三角形的性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°$,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若$CD=3$,则BD的长为,DE的长为.
答案
BD的长为$\boldsymbol{6}$，DE的长为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
解题思路：首先观察到ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接AD可得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°；再结合Rt△ABC的内角和求出∠BAC=60°，推导得出∠CAD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，即可得到BD的长；求DE的长时，可利用角平分线的性质（AD平分∠CAB，点D到角两边的距离相等），或者再次利用直角三角形30°角的性质求解。
【解析】
解：连接AD，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC - ∠DAB=60°-30°=30°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
∵CD=3，
∴AD=2×3=6，
∴BD=AD=6。
求DE的长：
方法1：
∵∠CAD=∠BAD=30°，即AD平分∠CAB，
又
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CD=3。
方法2：在Rt△BED中，∠BED=90°，∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
6；3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过连接辅助线AD，结合垂直平分线、直角三角形特殊角、角平分线的性质实现线段长度的转化，对几何性质的灵活应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察到ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接AD可得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°；再结合Rt△ABC的内角和求出∠BAC=60°，推导得出∠CAD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，即可得到BD的长；求DE的长时，可利用角平分线的性质（AD平分∠CAB，点D到角两边的距离相等），或者再次利用直角三角形30°角的性质求解。
【解析】
解：连接AD，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC - ∠DAB=60°-30°=30°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
∵CD=3，
∴AD=2×3=6，
∴BD=AD=6。
求DE的长：
方法1：
∵∠CAD=∠BAD=30°，即AD平分∠CAB，
又
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CD=3。
方法2：在Rt△BED中，∠BED=90°，∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
6；3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过连接辅助线AD，结合垂直平分线、直角三角形特殊角、角平分线的性质实现线段长度的转化，对几何性质的灵活应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
3.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若BC=4，则BE+CF=。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，BC=4。结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可知△BDE和△CDF都是含30°角的直角三角形，可利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”的性质，分别把BE、CF用BD、CD表示，再结合BD+CD=BC的线段和关系，整体代入即可求出BE+CF的和。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=4
∴∠B=∠C=60°，BD+CD=BC=4
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，则∠BDE=90°-∠B=30°
在Rt△BDE中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得$BE=\frac{1}{2}BD$
同理，DF⊥AC，
∴∠CFD=90°，则∠CDF=90°-∠C=30°
在Rt△CDF中，得$CF=\frac{1}{2}CD$
∴$BE+CF=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(BD+CD)=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用特殊直角三角形的性质将所求线段转化为底边线段的一半，通过整体代换求和即可，不需要单独计算BE、CF的具体数值，体现了数学中的整体思想，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.7
首先根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，BC=4。结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可知△BDE和△CDF都是含30°角的直角三角形，可利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”的性质，分别把BE、CF用BD、CD表示，再结合BD+CD=BC的线段和关系，整体代入即可求出BE+CF的和。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=4
∴∠B=∠C=60°，BD+CD=BC=4
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，则∠BDE=90°-∠B=30°
在Rt△BDE中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得$BE=\frac{1}{2}BD$
同理，DF⊥AC，
∴∠CFD=90°，则∠CDF=90°-∠C=30°
在Rt△CDF中，得$CF=\frac{1}{2}CD$
∴$BE+CF=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(BD+CD)=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用特殊直角三角形的性质将所求线段转化为底边线段的一半，通过整体代换求和即可，不需要单独计算BE、CF的具体数值，体现了数学中的整体思想，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.7
4.如图，一棵大树在离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成$30°$夹角，这棵大树在折断前的高度为()
A.10 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
A.10 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m
答案
B
解析
【分析】
我们可以将大树折断的场景抽象为直角三角形模型：未折断的树干垂直地面，是30°夹角所对的直角边，长度为5m，倒下的树干是直角三角形的斜边。解题时先利用直角三角形中30°角的性质求出斜边（倒下部分）的长度，再将未折断部分和倒下部分的长度相加，即可得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，未折断的树干长度为5m，且与地面垂直，倒下的树干与地面成30°角，三者构成直角三角形。
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此倒下部分的树干长度为 $ 2 × 5 = 10 \, \mathrm{m} $。
大树折断前的总高度 = 未折断部分长度 + 折断倒下部分长度 = $ 5 + 10 = 15 \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角性质，解直角三角形应用
【点评】
本题是直角三角形性质在实际生活中的基础应用，解题核心是将实际场景转化为几何模型，结合已知角度和边长的关系求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
我们可以将大树折断的场景抽象为直角三角形模型：未折断的树干垂直地面，是30°夹角所对的直角边，长度为5m，倒下的树干是直角三角形的斜边。解题时先利用直角三角形中30°角的性质求出斜边（倒下部分）的长度，再将未折断部分和倒下部分的长度相加，即可得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，未折断的树干长度为5m，且与地面垂直，倒下的树干与地面成30°角，三者构成直角三角形。
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此倒下部分的树干长度为 $ 2 × 5 = 10 \, \mathrm{m} $。
大树折断前的总高度 = 未折断部分长度 + 折断倒下部分长度 = $ 5 + 10 = 15 \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角性质，解直角三角形应用
【点评】
本题是直角三角形性质在实际生活中的基础应用，解题核心是将实际场景转化为几何模型，结合已知角度和边长的关系求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
